精品解析：四川省遂宁市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2026年上期期末教学水平监测 八年级数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2．1-18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第Ⅰ卷的机读卡和第Ⅱ卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题都有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一个最简分式，则△可以是（　　） A. x B. C. 3 D. 3. 中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 5. 如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ） A. 本次测试的最高分是99分 B. 本次测试的平均分是79分 C. 本次测试成绩的上四分位数是88分 D. 本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 7. 下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 8. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 9. 如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 11. 若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 12. 截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 《乌鸦喝水》的故事告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．现在我们把故事中的瓶子看作如图的形状，瓶子里水位高度为，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为（假设每一颗石子的体积一样，每颗石子都浸没在水中），水位高度为，下图中最符合情境的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 14. 如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（ ） A. B. C. D. 1 15. 若将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中、为菱形的两个相邻内角的度数，那么下列说法不正确的是（ ） A. 有一个内角等于的菱形的接近度 B. 接近度越大的菱形越接近于正方形 C. 当时，该菱形是正方形 D. 菱形的接近度的取值范围是 16. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 17. 如图，正方形纸片的边长为，点是的中点，在边上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 18. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，平分交于点，延长、相交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④；⑤若连接，则 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，满分96分） 二、填空题（每题4分，共24分） 19. 计算：_________． 20. 若分式方程有增根，则的值为_______． 21. 2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫停留”为题的点赞．小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为，，则“车”的坐标为_____． 22. 在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是______． 23. 如图，在平行四边形中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，的最大值为_________． 24. 如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 三、解答题：（共72分） 25. 计算： （1）； （2）解分式方程：． 26. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 27. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①______ 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 ②______ 8 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56．（填“”或“”或“”） 28. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 29. 遂宁市博物馆是我国唯一的宋瓷专题博物馆，其陆续开发的“遂小荷”、“宋小瓷”等系列文创产品备受游客喜爱．已知购进一个宋瓷书签礼盒比一个荷叶盖罐摆件便宜170元，某文旅商店用5400元购进书签礼盒的数量是用7800元购进荷叶盖罐摆件数量的2倍． （1）求购进一个宋瓷书签礼盒、一个荷叶盖罐摆件各需多少元？ （2）商店计划一次性购进两种文创产品共100个，进货总费用不超过22000元．售卖时，书签礼盒售价105元一个，荷叶盖罐摆件售价290元一个．请问购进多少个荷叶盖罐摆件时，商店获利最大？最大利润是多少元？ 30. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 裁剪平行四边形木板的方法 如图1，是一块平行四边形木板，工人师傅想在这块木板上裁剪一块小平行四边形木板，若要使顶点在平行四边形的对角线上，你有哪些裁剪办法？请写出来． 方法一：如图2，作的平分线交于点，作的平分线交于点，连接，只要沿着裁剪，那么四边形就是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，, ，．，分别是和的平分线，，，，，，易证，四边形是平行四边形（依据）． 方法二：如图3，分别过点和点作，垂足分别为点，点，连接，，只要沿着裁剪，那么四边形就是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，，， 任务： （1）材料中的依据是指___________； （2）请将材料中方法二的证明过程补充完整； （3）方法三：如图4，在上取两点，使，且，连接．只要沿着裁剪，那么四边形就是平行四边形．这种方法___________．（填“合理”或“不合理”） 31. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移3个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点F，G．连接， ①若，求点G的坐标． ②若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期期末教学水平监测 八年级数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，满分54分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用黑色签字笔涂写在机读卡上； 2．1-18小题选出答案后，用2B铅笔把机读卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上； 3．考试结束后，将第Ⅰ卷的机读卡和第Ⅱ卷的答题卡一并交回． 一、选择题（每小题都有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项是正确的，每小题3分，共54分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可． 【详解】解： ∵符合分式定义，是分式， ∴A符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴B不符合题意， ∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义 ∴C不符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴D不符合题意． 故选：A． 2. 若是一个最简分式，则△可以是（　　） A. x B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式． 【详解】解：A. ，是最简分式，故该选项符合题意； B. ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C.，不是最简分式，故该选项不符合题意； D. ，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键． 3. 中国芯片技术已实现多项重大突破，其中最引人注目的是芯片工艺的量产，这一成就标志着中国在全球半导体领域的竞争力显著提升．已知用科学记数法表示为，则用小数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于（，为正整数）形式的数，还原为原数只需把的小数点向左移动位即可，解题关键是明确小数点移动的位数． 【详解】 需将还原为小数，指数为，即要把的小数点向左移动位， ． 4. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据二次根式有意义的条件和分式的定义，列出不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】要使函数 有意义， ∵二次根式的被开方数需非负，分式的分母不能为， ∴可得两个条件 且 ， 解不等式 得 ， 因此自变量 的取值范围是 且 ． 5. 如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据题意得，一次函数图象经过一、二、三象限，进而可求解，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交， ∴， 故选：A． 6. 如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ） A. 本次测试的最高分是99分 B. 本次测试的平均分是79分 C. 本次测试成绩的上四分位数是88分 D. 本次测试成绩在65~88分的人数占了50% 【答案】B 【解析】 【分析】准确识别箱线图中五个关键统计量：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值，同时理解四分位数间距（箱体部分）所代表的数据占比，据此逐一分析各个选项的判断即可． 【详解】A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意； B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意； C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意； D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意． 7. 下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可． 【详解】解：A.，则，， ，， ，但， 与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意； D.，，且，可得， ，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意． 故选：C． 8. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 9. 如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形性质得出，，再利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边性质即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是对角线上的中点， ∴． 10. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（ ） A. 只能表示绫布的长度 B. 只能表示罗布每尺的价格 C. 既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D. 既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 11. 若关于的分式方程的解不大于2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式方程，再根据题意列出不等式，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的解不大于2， ∴， ∴， ∴， ∵分式方程的分母不为， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 12. 截至2026年4月9日晚，嫦娥七号探测器已安全运抵中国文昌航天发射场，计划今年下半年择机发射，其将进行月球南极环境与资源勘查．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等求解即可. 【详解】解：∵轴，点，点， ∴， 即：． 13. 《乌鸦喝水》的故事告诉人们遇到困难不要放弃，终会看到胜利的曙光．现在我们把故事中的瓶子看作如图的形状，瓶子里水位高度为，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为（假设每一颗石子的体积一样，每颗石子都浸没在水中），水位高度为，下图中最符合情境的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】初始石子个数时，水位高度固定为，每投入一颗体积相同的石子，排开水的体积相等，瓶子下宽上窄，越靠近瓶口瓶身横截面积越小，相同体积石子使水位上升的高度越来越大，因此水位上升速度逐渐变快，图像曲线向上弯曲，直至水位到达瓶口高度． 【详解】解：当放入石子个数，还未投入石子时，水位高度，因此图像起点纵坐标为，排除B（初始水位不变）、D（水位随石子增多下降）． 每颗石子体积相同，排开水的体积固定；瓶子下粗上细，随着水位升高，瓶内横截面积不断变小．根据，横截面积越小，相同体积对应的水位升高量越大，即随着石子数量增加，水位上升得越来越快，函数图像呈向上弯曲的曲线． 选项C是直线，代表水位匀速上升，对应瓶身粗细均匀的圆柱瓶，不符合本题下宽上窄的瓶子形状； A是向上弯曲的递增曲线，水位上升速度逐渐加快，完全匹配题意． 14. 如图，有三个全等的菱形构成的木制活动衣帽架，若，之间的距离为，上下两排挂钩，之间的距离为，则制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度（衔接重叠处材料不计）是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理；掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可求，根据勾股定理求出长解题即可． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∴， ∵是菱形， ∴，，， ∴， ∴制作这样一个活动的衣帽架需要用的材料长度是， 故选：D． 15. 若将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中、为菱形的两个相邻内角的度数，那么下列说法不正确的是（ ） A. 有一个内角等于的菱形的接近度 B. 接近度越大的菱形越接近于正方形 C. 当时，该菱形是正方形 D. 菱形的接近度的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】结合菱形邻角互补的性质，逐一验证选项即可得到不正确的结论． 【详解】解：∵菱形对边平行， ∴菱形相邻内角满足， 对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为， ，A正确； 对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确； 对选项C：当时，，即，结合，得， 此时菱形是正方形，C正确； 对选项D：∵菱形的内角满足，， ， 可得， ∴的最大值为， 因此的取值范围是，不包含，D错误． 16. 如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，进而求出点坐标，再结合图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∴一次函数为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数为， 由，解得或， ∴， 由图象可得，当或时，， 故选：． 17. 如图，正方形纸片的边长为，点是的中点，在边上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据折叠的性质可得，，从而表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设， 正方形纸片的边长为，点是的中点， ，， 由折叠的性质得：，， ，， 在中，， 即， 整理得：，解得， ． 18. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，，，平分交于点，延长、相交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ） ①四边形为矩形；②为的中位线；③；④；⑤若连接，则 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出四边形为平行四边形，再由即可得到四边形为矩形，由此可判断①；根据点是中点，点是中点，由此可判断②；根据，为矩形的对角线，得到面积的关系，由此可判断③；根据三角形全等，对应边相等判断④即可；根据是的中位线，得到边的关系，由此可判断⑤． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴，由勾股定理得， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， ①∵平分，得， 又，得， ∴， ∴， 可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形，①正确； ②由①得， ∴点是中点， ∵平行四边形中是中点， ∴是的中位线，②正确； ③四边形是矩形，对角线，交于，得是中点， 因此， 由得， 又是中点，得， 因此，③正确； ④∵，，， 因此和不全等，④错误； ⑤连接，如图， ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， 可得， 而， 因此，⑤正确， 综上，正确的结论共个． 第Ⅱ卷（非选择题，满分96分） 二、填空题（每题4分，共24分） 19. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的加法运算求解即可． 【详解】解： ． 20. 若分式方程有增根，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】在分式方程变形的过程中得到的适合整式方程，但不适合原方程的解叫做分式方程的增根，解分式方程，可得，因为分式方程有增根，可得． 【详解】解：分式方程两边都乘，得 ． 解方程，得 ． 因为分式方程有增根，可得 ． 解方程，得 ． 所以． 解方程，得 ． 21. 2026年3月，张雪机车在世界超级摩托车锦标赛连续夺得两回合冠军，是中国品牌首次在此级别领跑完赛，获得人民日报以“追风赶月莫停留”为题的点赞．小军将“张”“雪”“机”“车”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“张”“雪”的坐标分别为，，则“车”的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给坐标建立平面直角坐标系，则“车”的坐标可得. 【详解】解：∵“张”“雪”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系，“车”的坐标为. 22. 在一次密码传输过程中，某小组约定用一次函数设置为加密规则（自变量的值是明文英文字母对应的数字，其中26个英文小写字母依次对应阿拉伯数字，例如，，；函数值是加密数）．现有加密传输过程中得到的加密数“40；25；7；13”，你破译出原始明文是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；根据加密函数，然后把，，，分别代入函数进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： 当时，则有，解得：，对应字母n； 当时，则有，解得：，对应字母i； 当时，则有，解得：，对应字母c； 当时，，解得：，对应字母e； 故明文为， 故答案为． 23. 如图，在平行四边形中，，，过点作于点，且．点是边上的一动点，连接，过点作所在直线的垂线，垂足为点，当点在边上运动时，的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质和三角形的面积公式可得，进而转化为的最小值问题，再得出当点与点重合时，的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴要使得的值最大，则需的值最小， 又∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点在的延长线上， ∴点在边上运动的过程中，当点与点重合时，的值最小，最小值为， ∴的最大值为． 24. 如图，一组等腰三角形的底边均在轴的非负半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…的面积分别为，，，…，，则的值_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 三、解答题：（共72分） 25. 计算： （1）； （2）解分式方程：． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：方程两边同乘最简公分母，得   解得  经检验：当时，，原分式方程分母为0无意义， ∴原分式方程无解． 26. 先化简，再求值：，再从0，1，2中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当，2时，分式无意义，所以， 当时，原式． 27. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①______ 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 ②______ 8 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______0.56．（填“”或“”或“”） 【答案】（1）①，② （2）选甲，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据甲得分的折线图，对甲得分进行排序即可求出中位数，根据丙得分的扇形统计图，即可求出丙的平均数； （2）比较三人差异以及相同点即可得到答案； （3）重新计算出方差，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分从小到大排序为：8，8，9，9，10， 则甲得分的中位数为9； 根据丙得分的扇形统计图可知，打分为10分的评委有（人），打分为8分的评委为（人）， 则丙得分的平均数为． 【小问2详解】 解：选甲更合适，理由如下： 因为甲、乙、丙三人得分的平均数相同，说明三人实力相当，但甲、乙两人的中位数高于丙且甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲． 【小问3详解】 解：根据题意，去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差， ． 28. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 29. 遂宁市博物馆是我国唯一的宋瓷专题博物馆，其陆续开发的“遂小荷”、“宋小瓷”等系列文创产品备受游客喜爱．已知购进一个宋瓷书签礼盒比一个荷叶盖罐摆件便宜170元，某文旅商店用5400元购进书签礼盒的数量是用7800元购进荷叶盖罐摆件数量的2倍． （1）求购进一个宋瓷书签礼盒、一个荷叶盖罐摆件各需多少元？ （2）商店计划一次性购进两种文创产品共100个，进货总费用不超过22000元．售卖时，书签礼盒售价105元一个，荷叶盖罐摆件售价290元一个．请问购进多少个荷叶盖罐摆件时，商店获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） 购进一个宋瓷书签礼盒需要90元，一个荷叶盖罐摆件需要260元 （2） 购进76个荷叶盖罐摆件时，商店获利最大，最大利润是2640元 【解析】 【分析】（1）利用数量关系列分式方程求解，设出书签礼盒的进价，根据“5400元购进书签礼盒的数量是7800元购进摆件数量的2倍”建立方程，解分式方程即可得到结果； （2）设购进荷叶盖罐摆件的数量，根据进货总费用不超过22000元列一元一次不等式得到摆件数量的取值范围，再结合利润公式得到总利润关于摆件数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：设购进一个宋瓷书签礼盒需要元，则购进一个荷叶盖罐摆件需要元， 根据题意得， 可得，化简得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：购进一个宋瓷书签礼盒需要90元，一个荷叶盖罐摆件需要260元； 【小问2详解】 解：设购进个荷叶盖罐摆件，则购进个宋瓷书签礼盒，总利润为元， 根据题意得，化简得， 解得， 为正整数， ， 总利润， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进76个荷叶盖罐摆件时，商店获利最大，最大利润是2640元． 30. 阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应任务． 裁剪平行四边形木板的方法 如图1，是一块平行四边形木板，工人师傅想在这块木板上裁剪一块小平行四边形木板，若要使顶点在平行四边形的对角线上，你有哪些裁剪办法？请写出来． 方法一：如图2，作的平分线交于点，作的平分线交于点，连接，只要沿着裁剪，那么四边形就是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，, ，．，分别是和的平分线，，，，，，易证，四边形是平行四边形（依据）． 方法二：如图3，分别过点和点作，垂足分别为点，点，连接，，只要沿着裁剪，那么四边形就是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形，，， 任务： （1）材料中的依据是指___________； （2）请将材料中方法二的证明过程补充完整； （3）方法三：如图4，在上取两点，使，且，连接．只要沿着裁剪，那么四边形就是平行四边形．这种方法___________．（填“合理”或“不合理”） 【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （2）见解析 （3）合理 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行四边形的判定定理，即可求解； （2）根据，证明，证明，得出，即可证明四边形是平行四边形； （3）连接，结合已知证明，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证． 【小问1详解】 解：（1）材料中的依据是指两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【小问2详解】 （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 合理，理由如下： 如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴，即 ∴四边形是平行四边形； 故答案为：合理． 31. 【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线，相交于点． 【构建联系】 （1）如图1，若将矩形向右平移3个单位长度，使得双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深入探究】 （2）如图2，若将矩形ABCD向右平移个单位长度，使过点的双曲线分别与，交于点F，G．连接， ①若，求点G的坐标． ②若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①；②t的值为6或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数解析式、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，据此求解即可； （2）①由题可得，由题设条件可知，则，，可得，解得，求出k值，点，据此求解即可； ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论：、、，据此分别求解即可． 【详解】解：（1）由题设条件可知， ∴，， ∵对角线，相交于点E， ∴点E为的中点， ∴， 把代入，得， 解得． 故该反比例函数的解析式为：； （2）①由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， 由题设条件可知，则，， ∵反比例函数的图象经过点E、F， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， ②当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得； 当时，此时点F与点D重合， ∴， ∵将矩形向右平移t（）个单位长度， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得； 当时，设， ∵将矩形ABCD向右平移t（）个单位长度， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 将点F，点E的坐标分别代入双曲线得：， 解得， ∵， ∴与题意不符，故舍去； 综上所述，t的值为6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $