专题 02勾股定理的应用（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册.

专题02勾股定理的应用 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.建模核心：掌握本节核心解题思想，学会在无直角的几何场景、生活实际问题中构造直角三角形，完成问题转化与建模。 2.题型专项：系统掌握立体最短路径、折叠几何、梯子滑动、航海方位角、不规则图形求解五类必考经典题型，熟练对应解题套路。 3.易错辨析：归纳各类题型高频易错点，辨析直斜边判定、立体展开、折叠等量替换等易混考点，规避解题失误。 4.综合应用：融合勾股定理及逆定理，将建模方法与题型思路结合，灵活解决几何计算与生活实际测距问题。 ✅本节遵循“建模核心—题型专项—易错辨析—综合应用”的递进逻辑，先掌握转化建模的核心解题思想，再专项突破必考经典题型，依托易错辨析细化解题细节，最终达成勾股定理在几何与实际场景中的综合运用，完全匹配本节知识理解、技能运用、思维素养三维学习目标。 ✺学习目标 1.知识理解：掌握“无直角、构直角”的建模核心思想，理解勾股定理各类应用场景原理，熟悉五大经典题型的图形特征与解题逻辑，明晰常见易错考点。 2.技能运用：能自主在各类场景构造直角三角形，熟练运用建模方法，规范完成立体最短路径、折叠、梯子滑动、航海测距、不规则图形求解等经典题型的计算与解题步骤。 3.思维素养：巩固数形结合、转化建模的核心思想，通过题型训练与易错点辨析，提升几何转化、逻辑推理与精准运算能力，适配综合题型应用。 ✺题型归纳 题型1.勾股定理与网格问题 题型2.勾股定理与折叠问题 题型3.求梯子滑落高度 题型4.解决水杯中筷子问题 题型5.解决航海问题 题型6.求河宽 题型7.求台阶上地毯长度 题型8.判断汽车是否超速 题型9.判断是否受台风影响 题型10.选址使到两地距离相等 题型11.求最短路径 题型12.勾股定理逆定理的实际应用 题型13.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系。勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要应用勾股定理，必须先构造直角三角形，作高是常用的构造直角三角形的方法。其主要应用如下： 1.已知直角三角形的任意两边求第三边； 2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3.证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； 4.构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。 知识点二、勾股定理应用核心思想 1.解题核心原理 勾股定理仅适用于直角三角形，无直角三角形，需要构造直角三角形，将不规则图形、立体图形、实际问题转化为标准直角三角形求解。 2.通用解题步骤 ①审题建模：结合题意画图，梳理已知条件与隐藏垂直关系； ②构造图形：通过作垂线、立体展开、利用折叠性质构造直角三角形； ③标定边角：区分直角边与斜边，明确已知量、未知量； ④求解验证：套用勾股定理列式计算，检验结果合理性。 知识点三、五大经典必考应用题型 1.立体图形最短路径问题（正方体、长方体、圆柱） 核心原理：两点之间，线段最短。将正方体、长方体、圆柱等立体图形侧面展平，连接两点的线段即为表面最短路径，再用勾股定理计算长度。 解题关键：正确展开平面图形，精准确定直角三角形的两条直角边长。 2.折叠几何问题 核心性质：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴。 解题思路：利用折叠边长相等的等量关系，设未知数，在折叠形成的直角三角形中，列勾股定理方程求解。 3.梯子滑动问题 模型特征：梯子长度恒定为斜边，梯子、墙面、地面始终构成直角三角形。 解题逻辑：梯子滑动前后分别构造直角三角形，通过前后边长变化量，求解滑动距离。 4.航海、测距、方位角问题 模型特征：利用南北、东西方向相互垂直的隐藏条件，天然构成直角三角形。 解题思路：根据方位角确定垂直关系，行进距离为直角边，直线测距为斜边，直接套用公式计算。 5.不规则图形求边长、高问题 解题方法：对不规则三角形、四边形，通过作垂线分割出直角三角形，借助公共高建立等量关系，求解边长与高。 ✺题型◆精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用网格结合勾股定理，计算出每个线段的长度即可． 【详解】由网格可知，，， 由勾股定理可得，，， ∴只有线段长为． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理及其逆定理得到为等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】解：连接， 由勾股定理，得， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴． 故答案为：． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在图中画出长为的线段； (2)在图中画出，满足，且面积为． 【答案】(1)线段即为所作 (2)即为所作 【分析】本题考查了网格图、勾股定理． （1）利用网格，结合，选择合适的网格点即可作图； （2）利用网格，结合，，选择合适的网格点即可作图． 【详解】（1）作图略 （2） 作图略 题型2.勾股定理与折叠问题 1．如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即弯折点与地面的距离为． 2．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 【答案】1 【分析】由折叠得，然后根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， ∵四边形是长方形 ∴， ∴ ∴． 3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 题型3.求梯子滑落高度 1．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设梯子底端到墙的距离为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设梯子底端到墙的距离为，则梯子长度为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则， ∴梯子长度为， 故选：C． 2．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 【答案】2 【分析】先由勾股定理求解，即可得到，根据梯子的长度不变，再由勾股定理求解，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴由勾股定理得 梯子顶端下滑至 在中，，， 由勾股定理得 ． 3．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）使用勾股定理直接计算即可； （2）先求出的长，再使用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】（1）解：在中，（米）； （2）解：（米）， ∵滑动不会改变梯子的长度， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）． 答：梯子底端将向左滑动的距离是米． 题型4.解决水杯中筷子问题 1．欧阳修在《醉翁亭记》中写道：“射者中，弈者胜”，其中“射”指投壶，是古人宴饮时的一种游戏，如图所示，现有一圆柱形投壶，内部底面直径为，内壁高为，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度可能为． 2．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】解：当吸管插到包装盒底部，且垂直于底面时，吸管露在盒外部分的长度最长，为； 当吸管露在盒外部分的长度最短时，包装盒内部的吸管与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线的长，高为， 由勾股定理得：包装盒内部的吸管的长度， 的最小值为． 3．池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 【答案】这株荷花的茎长为 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的方程思想． 根据题意直接得出三角形各边长，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：由题意可得：设，则， ∵， ∴， 则， 解得：， 答：这株荷花的茎长为． 题型5.解决航海问题 1．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 2．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 3．在一条南北向的海岸边建有一港口，，两支舰队从点出发，分别往不同的方向进行海上巡查．已知舰队以15海里/小时的速度向北偏东方向行驶，舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶；两小时后，，两支舰队相距34海里，你知道舰队是往什么方向行驶的吗？ 【答案】舰队是往南偏东方向行驶的． 【分析】在向北的坐标轴上点上方取一点，在点下方取一点，根据勾股定理的逆定理得到，进而可得到答案 【详解】解：在向北的坐标轴上点上方取一点，在点下方取一点． 由题意可得海里，海里，海里． ， ， 是直角三角形， ． ， ． 答：舰队是往南偏东方向行驶的 题型6.求河宽 1．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意，得，，， 在中，， ∴， 解得， 即河的宽度是15米， 故选：D． 2．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于E，则米，，得到米，由勾股定理得出米，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于E，则米，， 米， 米， 米， 在中， 由勾股定理得：米， 米， 即这名学生从进入感应区到进门，需行进米， 故答案为：． 3．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 题型7.求台阶上地毯长度 1．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 2．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 3．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示，    ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13． 题型8.判断汽车是否超速 1．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 2．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 3．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速行驶 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键．利用勾股定理求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴， ∴小汽车的速度为，即． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 题型9.判断是否受台风影响 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 时， 即A市经过个小时开始受到台风影响． 故选：D 2．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 【答案】有危险，需要暂时封锁 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴公路段有危险，需要暂时封锁． 题型10.选址使到两地距离相等 1．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 2．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m. 【答案】1000 【分析】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 【详解】解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′EB中， A′B===1000（m）． 即牧童最少要走1000米． 故答案为1000． 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，解题关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 3．如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 【答案】该自动售货点应该修建在离点处 【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， 解得， 答：该自动售货点应该修建在离点处． 题型11.求最短路径 1．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】圆柱的展开图如图： 根据题意：，，， ， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是． 2．如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 3．如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 【答案】90；12；16；勾股定理；20；两点之间，线段最短；；20 【分析】根据题干图结合勾股定理和“两点之间，线段最短”作答即可． 【详解】解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，，，，则运用“勾股定理”可求． 由“两点之间，线段最短”可知，绳子的最短长度就是线段的长，即绳长至少为20． 题型12.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（    ） A．24 B．36 C．72 D．90 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 连接，先利用勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴这块地的面积 ， 故选：A． 2．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 3．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得的长，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：由网格图可知， ，点到所在直线的距离为3，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得： ． 2．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，根据折叠的性质得到，设，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿折叠，使点与点重合， ∴， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴． 3．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键． 通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离． 【详解】初始状态：设墙高为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． 移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m， 设新梯脚离墙距离为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． ∴ 梯脚移动距离为m． 4．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 二、填空题 5．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 6．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 【答案】50 【分析】先求出，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 7．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 8．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒． 【答案】32 【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图，过点作， 米， 米米， 在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响， 米， 由勾股定理得米，米， 即米， 36千米/时10米/秒， 处受噪音影响的时间为：秒， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 三、解答题 9．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 10．如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将半圆面展开，如图所示， ∵，，． ∴在中，由勾股定理得． 答：他滑行的最短距离为． 11．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． (1)判断的形状并证明； (2)计算点，之间的距离． 【答案】(1)解：为直角三角形，证明如下： 米，米，米， ∴在中，，即， 为直角三角形，； (2)、间的距离为18米． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理求出米，即可求出点，之间的距离． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，由勾股定理，得， ， 米， （米）， 答：池塘两端、间的距离为18米． 12．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 【答案】(1)见解析 (2)D (3)新修路的长为0.8千米 【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明． （2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答； （3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理的应用 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.建模核心：掌握本节核心解题思想，学会在无直角的几何场景、生活实际问题中构造直角三角形，完成问题转化与建模。 2.题型专项：系统掌握立体最短路径、折叠几何、梯子滑动、航海方位角、不规则图形求解五类必考经典题型，熟练对应解题套路。 3.易错辨析：归纳各类题型高频易错点，辨析直斜边判定、立体展开、折叠等量替换等易混考点，规避解题失误。 4.综合应用：融合勾股定理及逆定理，将建模方法与题型思路结合，灵活解决几何计算与生活实际测距问题。 ✅本节遵循“建模核心—题型专项—易错辨析—综合应用”的递进逻辑，先掌握转化建模的核心解题思想，再专项突破必考经典题型，依托易错辨析细化解题细节，最终达成勾股定理在几何与实际场景中的综合运用，完全匹配本节知识理解、技能运用、思维素养三维学习目标。 ✺学习目标 1.知识理解：掌握“无直角、构直角”的建模核心思想，理解勾股定理各类应用场景原理，熟悉五大经典题型的图形特征与解题逻辑，明晰常见易错考点。 2.技能运用：能自主在各类场景构造直角三角形，熟练运用建模方法，规范完成立体最短路径、折叠、梯子滑动、航海测距、不规则图形求解等经典题型的计算与解题步骤。 3.思维素养：巩固数形结合、转化建模的核心思想，通过题型训练与易错点辨析，提升几何转化、逻辑推理与精准运算能力，适配综合题型应用。 ✺题型归纳 题型1.勾股定理与网格问题 题型2.勾股定理与折叠问题 题型3.求梯子滑落高度 题型4.解决水杯中筷子问题 题型5.解决航海问题 题型6.求河宽 题型7.求台阶上地毯长度 题型8.判断汽车是否超速 题型9.判断是否受台风影响 题型10.选址使到两地距离相等 题型11.求最短路径 题型12.勾股定理逆定理的实际应用 题型13.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、勾股定理的应用 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系。勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此要应用勾股定理，必须先构造直角三角形，作高是常用的构造直角三角形的方法。其主要应用如下： 1.已知直角三角形的任意两边求第三边； 2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； 3.证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； 4.构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。 知识点二、勾股定理应用核心思想 1.解题核心原理 勾股定理仅适用于直角三角形，无直角三角形，需要构造直角三角形，将不规则图形、立体图形、实际问题转化为标准直角三角形求解。 2.通用解题步骤 ①审题建模：结合题意画图，梳理已知条件与隐藏垂直关系； ②构造图形：通过作垂线、立体展开、利用折叠性质构造直角三角形； ③标定边角：区分直角边与斜边，明确已知量、未知量； ④求解验证：套用勾股定理列式计算，检验结果合理性。 知识点三、五大经典必考应用题型 1.立体图形最短路径问题（正方体、长方体、圆柱） 核心原理：两点之间，线段最短。将正方体、长方体、圆柱等立体图形侧面展平，连接两点的线段即为表面最短路径，再用勾股定理计算长度。 解题关键：正确展开平面图形，精准确定直角三角形的两条直角边长。 2.折叠几何问题 核心性质：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴。 解题思路：利用折叠边长相等的等量关系，设未知数，在折叠形成的直角三角形中，列勾股定理方程求解。 3.梯子滑动问题 模型特征：梯子长度恒定为斜边，梯子、墙面、地面始终构成直角三角形。 解题逻辑：梯子滑动前后分别构造直角三角形，通过前后边长变化量，求解滑动距离。 4.航海、测距、方位角问题 模型特征：利用南北、东西方向相互垂直的隐藏条件，天然构成直角三角形。 解题思路：根据方位角确定垂直关系，行进距离为直角边，直线测距为斜边，直接套用公式计算。 5.不规则图形求边长、高问题 解题方法：对不规则三角形、四边形，通过作垂线分割出直角三角形，借助公共高建立等量关系，求解边长与高。 ✺题型◆精讲 题型1.勾股定理与网格问题 1．如图，在边长为的正方形网格中，点，，，，均在格点上，则下列线段中长度为的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则的度数为_____． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)在图中画出长为的线段； (2)在图中画出，满足，且面积为． 题型2.勾股定理与折叠问题 1．如图，货车高，卸货时后面支架弯折落在地面处，经过测量，则弯折点与地面的距离为（     ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，，则的长是______． 3．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 题型3.求梯子滑落高度 1．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足A距离底端．如果梯子的顶端B下滑，那么梯足将滑动________． 3．如图，是一架长米的梯子，斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子底端点离墙的距离的长为米． (1)此时梯子顶端点离地面的距离是多少米？ (2)若梯子顶端从点下滑至点的距离是米，那么梯子底端将向左滑动的距离是多少米？ 题型4.解决水杯中筷子问题 1．欧阳修在《醉翁亭记》中写道：“射者中，弈者胜”，其中“射”指投壶，是古人宴饮时的一种游戏，如图所示，现有一圆柱形投壶，内部底面直径为，内壁高为，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，一款饮料的包装盒为长方体形状，其长、宽、高分别为．现有一长为的吸管插到包装盒底部的任意位置，吸管露在盒外部分的长度为，则的最小值为_______． 3．池塘中有一株荷花的茎长为，无风时露出水面部分米，如果把这株荷花向旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离米，求这株荷花的茎长． 题型5.解决航海问题 1．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 2．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 3．在一条南北向的海岸边建有一港口，，两支舰队从点出发，分别往不同的方向进行海上巡查．已知舰队以15海里/小时的速度向北偏东方向行驶，舰队以8海里/小时的速度向另一个方向行驶；两小时后，，两支舰队相距34海里，你知道舰队是往什么方向行驶的吗？ 题型6.求河宽 1．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2．如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，已知感应器离地面的高度为米，一名学生站在处被感应到，感应门会自动打开，这名学生身高为米，头顶离感应器的距离为米，这名学生从进入感应区到进门，需行进______米． 3．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 题型7.求台阶上地毯长度 1．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要______元． 3．如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？ 题型8.判断汽车是否超速 1．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 2．如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 3．规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．一辆小汽车在一条城市道路上自右向左行驶，某一时刻刚好行驶到道路对面车速检测仪A的正前方C处，米．过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 题型9.判断是否受台风影响 1．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（    ）个小时开始受到台风影响． A． B． C．6 D． 2．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 题型10.选址使到两地距离相等 1．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 2．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD分别为500 m和300 m，且C、D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水再赶回家，那么牧童最少要走__________m. 3．如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 题型11.求最短路径 1．如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 2．如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 3．如图①，一个圆柱的底面周长为，高为，用一根绳子从点A出发绕侧面一周到点B，则绳长至少为多少？ 解：圆柱①的侧面沿剪开，展开图如图②所示． 在中，______，______，_______，则运用“________”可求_______． 由“_______”可知，绳子的最短长度就是线段______的长，即绳长至少为________． 题型12.勾股定理逆定理的实际应用 1．如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（    ） A．24 B．36 C．72 D．90 2．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 3．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图，顶点 ，， 在边长为1的正方形网格格点上，若于点 ，则的长为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 二、填空题 5．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 6．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 7．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米． 8．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒． 三、解答题 9．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    10．如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 11．如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米． (1)判断的形状并证明； (2)计算点，之间的距离． 12．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $