第2讲 函数的单调性与最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义、单调区间、最值条件及常用结论构建知识体系，通过考点梳理、命题点细分（判断证明、比较大小等）、跟踪训练与课时精练，帮助学生系统突破难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义注重数学思维与数学语言培养，如通过定义证明函数单调性发展推理能力，结合复合函数“同增异减”法则及参数范围求解训练逻辑表达，设置分层练习确保复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

2027年高考一轮复习讲义 第2讲 函数的单调性与最值 知识点预览 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 探究核心题型 考点一 确定函数的单调性 命题点1 函数单调性的判断 例1-1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) 答案　ACD 解析　∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 例1-2 (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.函数y=e-x-在(-∞，0)上单调递减 B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1] C.函数y=的单调递增区间为[1，+∞) D.函数y=2x+2cos x是增函数 答案　ABD 解析　函数y=e-x与y=-在(-∞，0)上都单调递减， 所以y=e-x-在(-∞，0)上单调递减，故A正确； 作出函数y=2|x+1|的图象，如图所示， 由图象可知，函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1]，故B正确； 由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得y=的单调递增区间为(-∞，1]，故C错误； 因为y'=2-2sin x≥0，所以y=2x+2cos x是R上的增函数，故D正确. 命题点2 利用定义证明函数的单调性 例1-3 (2026·长春模拟) 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 解　方法一　定义法 设－1<x1<x2<1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－ a＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 方法二　导数法 f′(x)＝＝＝－. 故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 例1-4. (多选)下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=-x在(-∞，0)∪(0，+∞)上单调递减 B.函数f(x)=在R上单调递增 C.函数f(x)=的单调递减区间为(-∞，1) D.函数f(x)=x3-x2+2x在(0，+∞)上单调递增 答案　BD 解析　对于A，函数f(x)=-x的定义域为{x|x≠0}，且f(x)为奇函数，在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=-x在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递减，A错误； 对于B，作出函数f(x)的图象(图略)，由图可知f(x)在R上单调递增，B正确； 对于C，函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪[3，+∞)，且函数y=x2-2x-3的对称轴为直线x=1，所以函数f(x)=的单调递减区间为(-∞，-1]，C错误； 对于D，f(x)=x3-x2+2x，则f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0，所以f(x)是增函数，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，故D正确. 跟踪训练 1 (人教A版必修第一册P86习题3.2 T8改编)(1)根据函数单调性的定义证明函数y=x+在区间[3，+∞)上单调递增； (2)讨论函数y=x+在区间(0，+∞)上的单调性并证明； (3)写出函数y=x+(k>0)在区间(0，+∞)上的单调性.(不用证明) (1)证明　设y=f(x)=x+， ∀x1，x2∈[3，+∞)，且x1<x2， 则f(x2)-f(x1) =x2+-x1-=x2-x1+ =(x2-x1)=(x2-x1)·. 因为3≤x1<x2， 所以x2-x1>0，x1x2>9， 所以f(x2)-f(x1)>0，所以f(x1)<f(x2)， 所以y=x+在区间[3，+∞)上单调递增. (2)解　∀x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 由(1)知f(x2)-f(x1)=(x2-x1)·， 因为0<x1<x2， 所以x2-x1>0，x1x2>0， 当x1，x2∈(0，3)时，x1x2-9<0， 所以f(x2)-f(x1)<0， 即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)单调递减， 所以函数y=x+在区间(0，3)上单调递减， 由(1)知，y=x+在区间(3，+∞)上单调递增. 综上，函数y=x+在区间(0，3)上单调递减，在区间(3，+∞)上单调递增. (3)解　函数y=x+(k>0)在区间(0，)上单调递减，在区间(，+∞)上单调递增. 2. 函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 答案　B 解析　g(x)＝x·|x－1|＋1 ＝ 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. 3. (2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 答案　 解析　令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－， 则f(x)的定义域为∪(2，＋∞)， 由f(t)＝在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为. 考点二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例2-1. (2025·日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0.则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 答案　A 解析　因为定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(-x)-f(x)=0， 所以函数f(x)是偶函数， 对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0， 因此函数f(x)在[0，+∞)上单调递增， 又因为函数f(x)是偶函数， 所以f(-)=f()，f(-3)=f(3)， 因为π>3>>0， 所以f(π)>f(3)>f()， 即f(π)>f(-3)>f(-). 例2-2. (2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 答案　A 解析　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)， 所以f(－2)<f(3)<f(4)． 命题点2 求函数的最值 例2-3. 函数y=-1+x(x≥3)的最小值为　　　　　.  答案　 解析　设t=x-1，t≥2， 则y=-1+x=t+(t≥2)， 又函数y=t+在[2，+∞)上单调递增， 所以当t=2，即x=3时， 函数有最小值2+=. 例2-4.(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 答案　ACD 解析　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)． 对于B，(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 对于C，(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为. 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝， 即函数的值域为[，＋∞)． 命题点3 解函数不等式 例2-5. “求方程+=1的解”有如下解题思路：设f(x)=+，则f(x)在R上单调递减，且f(2)=1，所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式8x6-(x+1)>(x+1)3-2x2的解集是(　　) A.(-∞，0) B.(1，+∞) C.(-∞，0)∪(1，+∞) D.∪(1，+∞) 答案　D 解析　原式可化为8x6+2x2>(x+1)3+(x+1)，即(2x2)3+2x2>(x+1)3+(x+1)， 令g(x)=x3+x，则g(x)在R上单调递增， 则不等式转化为2x2>x+1，解得x<-或x>1，所以原不等式的解集为∪(1，+∞). 命题点4 求参数的值(范围) 例2-6. (2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 答案　B 解析　因为f(x)在R上单调递增， 且x≥0时，f(x)=ex+ln(x+1)单调递增， 则需满足解得-1≤a≤0， 即a的取值范围是[-1，0]. 跟踪训练 1. (2026·大连模拟)已知函数f(x)=在区间(-∞，-1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.(-2，2) B.(-2，+∞) C.(-∞，-2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 答案　C 解析　由题意得，f(x)===m+. ∵函数f(x)=在区间(-∞，-1)上单调递减， ∴-m-2>0，解得m<-2，即m的取值范围是(-∞，-2). 2. 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 答案　[－1,1) 解析　依题意得⇒－1≤a<1. 所以实数a的取值范围是[－1,1)． 3. (2024·恩施模拟)已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B. C. D．[1,2] 答案　C 解析　对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立， 所以函数f(x)＝在R上是增函数， 所以解得<a≤1， 所以实数a的取值范围是. 课时对点精练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2,1) B．(0,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 答案　C 解析　由函数f(x)＝的图象(图略)可得f(x)在R上是增函数， 则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0， 解得x>1或x<－2， 则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 2．(2023·北京)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 答案　C 解析　对于A，因为y=ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=-ln x在(0，+∞)上单调递减，故A错误； 对于B，因为y=2x在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=在(0，+∞)上单调递减，故B错误； 对于C，因为y=在(0，+∞)上单调递减，所以f(x)=-在(0，+∞)上单调递增，故C正确； 对于D，因为f===，f(1)=3|1-1|=30=1，f(2)=3|2-1|=3， 显然f(x)=3|x-1|在(0，+∞)上不单调，D错误. 3．已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　因为函数y=2x，y=x在R上为增函数， 则函数f(x)=2x+x在R上为增函数， 则“f(x1)=f(x2)”可以推出“x1=x2”，“x1=x2”也可推出“f(x1)=f(x2)”， 故“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的充要条件. 4．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝3－x 答案　B 解析　y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意； y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0,1)上单调递增，故B符合题意； y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0,1)上单调递减，故C不符合题意； y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意． 5．(2026·湘西模拟) 函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是(　　) A.(-∞，0) B. C. D.(1，+∞) 答案　B 解析　f(x)=作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是. 6．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞) 答案　B 解析　∵y＝|x－2|＝ ∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)， ∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞)． 7. 已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为(　　) A. B．3 C．4 D．5 答案　C 解析　∵f(x)＝＝2＋在[2,6]上单调递减， ∴f(x)max＝f(2)＝4. 8．(2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(　　) A.3 B.4 C. D.2 答案　A 解析　因为f(x)=a+在区间[0，1]上单调递减，所以f(0)=a+2=5，解得a=3. 二、多项选择题 9．下列说法中，正确的是(　　) A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝－在定义域上是增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案　AD 解析　对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则有f(x1)<f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确； 对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误； 对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确． 10．设函数f(x)为增函数，且f(x)≠0，则下列结论错误的是(　　) A.y=为减函数 B.y=|f(x)|为增函数 C.y=-为增函数 D.y=-f(x)为减函数 答案　ABC 解析　若f(x)=x(x≠0)，则y==(x≠0)，不是减函数，故A错误； y=|f(x)|=|x|(x≠0)，不是增函数，故B错误； y=-=-(x≠0)，不是增函数，故C错误； 对于D，函数f(x)为增函数，则对于定义域内的任意的x1，x2， 设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)， 对于y=-f(x)，则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0， 则y=-f(x)为减函数，故D正确. 11. (2026·聊城模拟) 已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定(　　) A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 答案　BC 解析　∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值， ∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内， ∴a<1， g(x)＝＝x＋－2a(x≥1)， 任取1≤x1<x2，g(x1)－g(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)， 由a<1,1≤x1<x2，有x1－x2<0，x1x2>1>0，x1x2－a>0， 则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)， 所以g(x)＝x＋－2a在区间[1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为g(1)＝1－a，无最大值． 三、填空题 12．若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.  答案　(1，+∞) 解析　因为函数f(x)=4|x-a|+3在(-∞，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增， 又函数f(x)在区间[1，+∞)上不单调，所以a>1. 13．函数f(x)＝的单调递增区间为______． 答案　[－1,1] 解析　要使函数f(x)有意义，则－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3， 令y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)的单调递增区间为[－1,1]． 14．已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是　　　　　　　　　　.  答案　(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析　函数f(x)= 显然y=ln(x+1)在[0，+∞)上单调递增，y=-2x2在(-∞，0)上单调递增， 且ln(0+1)=-2×02=0，所以f(x)在R上单调递增， 不等式f(x+2)<f(x2+2x)可化为x+2<x2+2x， 即x2+x-2>0，解得x>1或x<-2， 则原不等式的解集为(-∞，-2)∪(1，+∞). 15．(2026·六盘水模拟) 已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________． 答案　 解析　函数y＝2x与y＝－2－x均在R上是增函数， 故f(x)在R上是增函数， f(3x－1)<f(1－x)等价于3x－1<1－x，得x<. 四、解答题 16．(2025·昆明统考)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 解　(1)f(x)，g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 17. (2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2x-，且f(2)=. (1)求实数a的值；(3分) (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分) (3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.(4分) 解　(1)因为f(x)=2x-，且f(2)=， 所以4-=，解得a=-1. (2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递增.证明如下： 由(1)可得，f(x)=2x+， 任取x1，x2∈(1，+∞)，x1<x2， 则f(x2)-f(x1)=2x2+- =2(x2-x1)+ =2(x2-x1)+=(x2-x1) =， 因为x1，x2∈(1，+∞)且x1<x2， 所以x2-x1>0，2x1x2-1>0，x1x2>0， 所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增. (3)由(2)知，函数f(x)在[2，3]上单调递增， 则当x=2时，f(x)有最小值f(2)=； 当x=3时，f(x)有最大值f(3)=. 18．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－，－1) B. C．[0，) D．(，＋∞) 答案　ABC 解析　由题意得y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减， 故y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为f(2ax)<f(2x2＋1)， 故f(|2ax|)<f(2x2＋1)， 所以|2ax|<2x2＋1， 当x＝0时，|0|<1恒成立，满足要求， 当x≠0时，|2a|<＝2|x|＋在x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)上恒成立， 其中2|x|＋≥2＝2，当且仅当2|x|＝，即|x|＝时，等号成立， 故|2a|<2，解得－<a<， 综上，a的取值范围为－<a<， A选项，由于(－，－1)⊆(－，)，A正确； B选项，⊆(－，)，B正确； C选项，[0，)⊆(－，)，C正确； D选项，(，＋∞)显然不是(－，)的子集，D错误． 19．(2026·昆明模拟)已知函数f(x)=lo(a≥0)在(4，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.[4，+∞) B.(0，4] C.[0，16] D.[16，+∞) 答案　C 解析　令t=，因为y=lot为减函数，f(x)=lo在(4，+∞)上单调递减， 所以t=在(4，+∞)上单调递增. 令g(x)=x+-4， 当a>0时，g(x)=x+-4在(，+∞)上单调递增，g(4)=4+-4=>0， 所以当≤4时满足t=在(4，+∞)上单调递增，即得0<a≤16； 当a=0时，t=|x-4|在(4，+∞)上单调递增，当x>4时，t=x-4>0，满足题意. 综上可得0≤a≤16. 20. 已知函数f(x)＝ 若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________； 若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 答案　(－∞，0]　(2,4] 解析　若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0， 则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]； 当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4， 解得a＝4或a＝－4(舍去)， 又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4； 当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意， 所以实数t的取值范围为(2,4]． 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第2讲 函数的单调性与最值 知识点预览 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 探究核心题型 考点一 确定函数的单调性 命题点1 函数单调性的判断 例1-1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) 例1-2 (多选)下列说法中，正确的是(　　) A.函数y=e-x-在(-∞，0)上单调递减 B.函数y=2|x+1|的单调递减区间是(-∞，-1] C.函数y=的单调递增区间为[1，+∞) D.函数y=2x+2cos x是增函数 命题点2 利用定义证明函数的单调性 例1-3 (2026·长春模拟) 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性． 例1-4. (多选)下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)=-x在(-∞，0)∪(0，+∞)上单调递减 B.函数f(x)=在R上单调递增 C.函数f(x)=的单调递减区间为(-∞，1) D.函数f(x)=x3-x2+2x在(0，+∞)上单调递增 跟踪训练 1 (人教A版必修第一册P86习题3.2 T8改编)(1)根据函数单调性的定义证明函数y=x+在区间[3，+∞)上单调递增； (2)讨论函数y=x+在区间(0，+∞)上的单调性并证明； (3)写出函数y=x+(k>0)在区间(0，+∞)上的单调性.(不用证明) 2. 函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 3. (2024·唐山模拟)函数f(x)＝的单调递增区间为________． 考点二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小 例2-1. (2025·日照模拟)定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件：①f(-x)-f(x)=0；②对任意x1，x2∈[0，+∞)，当x1≠x2时，都有>0.则f(-)，f(π)，f(-3)的大小关系是(　　) A.f(π)>f(-3)>f(-) B.f(π)>f(-)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-) D.f(π)<f(-)<f(-3) 例2-2. (2023·湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 命题点2 求函数的最值 例2-3. 函数y=-1+x(x≥3)的最小值为　　　　　.  例2-4.(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6) B．函数y＝的值域为R C．函数y＝2x－的值域为 D．函数y＝＋的值域为[，＋∞) 命题点3 解函数不等式 例2-5. “求方程+=1的解”有如下解题思路：设f(x)=+，则f(x)在R上单调递减，且f(2)=1，所以原方程有唯一解x=2.类比上述解题思路，不等式8x6-(x+1)>(x+1)3-2x2的解集是(　　) A.(-∞，0) B.(1，+∞) C.(-∞，0)∪(1，+∞) D.∪(1，+∞) 命题点4 求参数的值(范围) 例2-6. (2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，0] B.[-1，0] C.[-1，1] D.[0，+∞) 跟踪训练 1. (2026·大连模拟)已知函数f(x)=在区间(-∞，-1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.(-2，2) B.(-2，+∞) C.(-∞，-2) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 2. 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________． 3. (2024·恩施模拟)已知函数f(x)＝满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B. C. D．[1,2] 课时对点精练 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)的解集是(　　) A．(－2,1) B．(0,1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞) 2．(2023·北京)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-ln x B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1| 3．已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是(　　) A．y＝－x2＋1 B．y＝ C．y＝ D．y＝3－x 5．(2026·湘西模拟) 函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是(　　) A.(-∞，0) B. C. D.(1，+∞) 6．函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[0,2] D．[0，＋∞) 7. 已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2,6]上的最大值为(　　) A. B．3 C．4 D．5 8．(2025·青海省部分学校联考)已知函数f(x)=在区间[0，1]上的最大值为5，则a的值为(　　) A.3 B.4 C. D.2 二、多项选择题 9．下列说法中，正确的是(　　) A．若对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上单调递增 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数y＝－在定义域上是增函数 D．函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 10．设函数f(x)为增函数，且f(x)≠0，则下列结论错误的是(　　) A.y=为减函数 B.y=|f(x)|为增函数 C.y=-为增函数 D.y=-f(x)为减函数 11. (2026·聊城模拟) 已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定(　　) A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 三、填空题 12．若函数f(x)=4|x-a|+3在区间[1，+∞)上不单调，则a的取值范围是　　　　　　.  13．函数f(x)＝的单调递增区间为______． 14．已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<f(x2+2x)的解集是　　　　　　　　　　.  15．(2026·六盘水模拟) 已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)<f(1－x)的解集为________． 四、解答题 16．(2025·昆明统考)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 17. (2025·乌鲁木齐模拟)已知函数f(x)=2x-，且f(2)=. (1)求实数a的值；(3分) (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义证明；(6分) (3)求函数f(x)在[2，3]上的最值.(4分) 18．(多选)(2024·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且对于y＝f(x)(x∈R)，当x1，x2∈(－∞，0)且x1≠x2时，<0恒成立，若f(2ax)<f(2x2＋1)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－，－1) B. C．[0，) D．(，＋∞) 19．(2026·昆明模拟)已知函数f(x)=lo(a≥0)在(4，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.[4，+∞) B.(0，4] C.[0，16] D.[16，+∞) 20. 已知函数f(x)＝ 若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________； 若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $