第07讲 函数的单调性与最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数的单调性与最值核心考点，按定义理解、图像特征、题型应用的逻辑层次整合知识，通过基础回顾梳理概念，分七类题型精讲（常见函数、复合函数等），配合课时精练，构建从知识到能力的复习体系。 讲义采用题型分类突破策略，如复合函数单调性教学中，引导学生分解内外函数，用“同增异减”原则推理单调区间，培养数学思维与推理能力。设置分层例题与精练，确保学生掌握从判断到应用的解题方法，为教师把控复习进度、提升学生应考能力提供有效支持。

第07讲 函数的单调性与最值 题型一 常见函数的单调性 2 题型二 复合函数单调性 8 题型三 分段函数的单调性及最值 14 题型四 由函数的单调性求解函数最值 19 题型五 由函数的单调性求参数 25 题型六 由函数的单调性比较大小 30 题型七 由函数的单调性解不等式 35 课时精练 41 【基础回顾】 知识点1：函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 知识点2：函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 【必备知识】 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 题型一 常见函数的单调性 1. 从图像判断单调性 函数图像从左到右上升，则函数在对应区间单调递增；图像从左到右下降，则函数在对应区间单调递减．对于分段函数，需分别观察每一段图像的升降趋势． 2. 图像特征与单调性的关系 极值点：图像的 “峰”“谷” 对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性会发生改变． 渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图像趋势能反映函数的单调性变化 ． 对称性：偶函数关于轴对称，在y轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧单调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图像，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 3．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图像如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图像逐项判断即可. 【详解】对于A，由图像可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图像可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北邢台·月考）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．函数的值域为 C． D．的值域为 【答案】B 【分析】根据的图像及定义分别判断各个选项即可. 【详解】作出的部分图像如下所示： A．由图像知在区间上单调递增，A选项正确； B．的值域为，B选项错误； C．，C选项正确； D．根据高斯函数的定义及的值域为，所以的值域为，D选项正确． 故选：B． 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图像的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图像的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 6．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 【答案】C 【分析】根据函数的图像，利用单调性、值域与图像的关系，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由函数的图像，可得在上单调递减，所以A错误； 对于B，由函数的图像，可得在上的值域是，所以B错误； 对于C，由函数的图像，可得在上单调递增，所以C正确； 对于D，由函数的图像，可得在上的最大值是，所以D错误. 故选：C. 7．（25-26高一上·天津河西·期中）给出下列命题，其中正确命题的个数是（   ） ①两个函数，表示的是同一函数； ②函数的单调递减区间是； ③函数的图像与直线的交点最多有1个； ④函数的定义域为，则函数的定义域为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出两函数的定义域即可判断①，根据反比例函数的性质判断②，根据函数的定义判断③，根据抽象函数的定义域求法判断④. 【详解】对于①：对于函数，令，解得，即的定义域为； 对于，令，解得或，所以的定义域为， 两函数定义域不同,故两函数不是同一函数，故①错误； 对于②：函数的单调递减区间是和，故②错误； 对于③：若在的定义域内，则函数的图像与直线有且仅有一个交点， 若不在的定义域内，则函数的图像与直线没有交点， 综上可得函数的图像与直线的交点最多有1个，故③正确； 对于④：因为函数的定义域为， 令，解得， 所以函数的定义域为，故④正确； 故选：B （多选）8．（25-26高一上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若，则 C．函数在上的值域为 D．函数的单调递增区间为 【答案】AC 【分析】由具体函数的定义域结合一元二次不等式求解即可判断A；赋值法计算即可判断B；由初等函数单调性可确定函数值域，即可判断C；由二次函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以 的定义域为，故A正确； 对于B，因为， 令，则，故B错误； 对于C，函数在上单调递增， 所以，则值域为，故C正确； 对于D，因为，所以，所以或，所以定义域为， 又函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC （多选）9．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列说法中正确的有（   ） A．函数的递增区间是 B．，使得，若命题为真命题，则 C．函数的定义域为 D．已知，则的解析式为 【答案】BC 【分析】两个相同的单调区间之间不能用并集符号连接可判断A；根据命题为真命题，则，计算可判断B，根据根号下非负列不等式计算即可判断C；根据函数三要素可判断D. 【详解】对于A，函数定义域为，在上单调递减， 则原函数在区间和上单调递增， 而两个相同的单调区间之间不能用并集符号连接，故A错误； 对于B，若命题为真命题，则， 因为时，，所以，，故B正确； 对于C，因为， 故函数的定义域为，故C正确； 对于D，根据题意，令，即得，且， 得函数在上的解析式为， 由于本题未指明函数定义域，故D错误． 故选：BC． （多选）10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 【答案】BD 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图像，如图所示， 根据图像，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图像得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图像得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 题型二 复合函数单调性 1. 确定函数构成 明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成． 2. 分别分析内外函数单调性 根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间． 3. 利用 “同增异减” 原则 结合内外函数的单调区间和 “同增异减” 原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层函数的值域需满足外层函数的定义域要求． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·贵州遵义·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数真数大于0求出函数定义域，利用对数底数确定外层函数单调性，令，分析在定义域内的单调区间，最后利用复合函数单调性同增异减求出函数的单调区间． 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 2．（25-26高一上·天津西青·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对数函数的性质求出函数定义域，设，分析关于的单调性，再结合对数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性求解． 【详解】函数的定义域需满足，解得或， 的定义域为， 设，当时，，且关于单调递增， 当时，，且关于单调递减， 在定义域上单调递减， 的单调递减区间为，故D正确． 故选：D． 3．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图像开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 4．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 5．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，则，解得， 故函数的定义域为， 令，， 由可得，由可得或， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的增区间为、. 故选：B. 7．（25-26高二上·湖南湘潭·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. （多选）8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． （多选）9．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A：根据分段函数的解析式，代入值，可得答案；对于B：根据一次函数以及二次函数单调性，结合分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案；对于C：根据复合函数的单调性分析判断；对于D：根据分段函数的值域与一次函数的单调性，结合二次函数的单调性分情况求得指定区间上的最值，可得答案. 【详解】因为函数， 对于选项A：可得，则，解得，故A正确； 对于选项B：若在上单调递增，则，解得， 显然，故B错误； 对于选项C：若，则函数， 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增， 所以函数的单调递增区间为和，故C正确； 对于选项D：若的值域为，则，得在上单调递增． 当时，则在上单调递增， 可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，可得恒成立，符合题意； 综上所述：的取值范围为，D正确． 故选：ACD. （多选）10．（24-25高一上·河北邢台·月考）下列说法正确的有（    ） A．函数在上是单调减函数 B．函数与函数是同一函数 C．已知函数，则 D．函数的单调增区间为 【答案】BC 【分析】由函数的单调性可判断A，根据同一函数的判定可判断，根据换元法求函数解析式，再代入求值可判断，根据二次函数单调性可判断，注意函数的定义域. 【详解】对于，函数在，上是单调减函数，在上不单调，故错误； 对于，由于，故正确； 对于，由，令，则， 易知有解，所以，故正确； 对于，函数的定义域为，其增区间为，故错误. 故选：. 题型三 分段函数的单调性及最值 分段函数为增函数，要保证函数图像从左到右，一直上升。或分段函数为减函数，要保证函数图像从左到右，一直下降。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】由题设，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 2．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 3．（25-26高一下·重庆·月考）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 5．（25-26高一上·四川绵阳·月考）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“函数”定义结合分段函数值域列出关于m的不等关系即可求解. 【详解】由题可得函数定义域为，函数是“函数”， 所以函数值域为， 又当时，时单调递增，所以， 所以. 故选：B 6．（25-26高一上·安徽滁州·期末）表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【分析】通过对题目的分析，将函数分情况讨论，转化为分段函数后求解最小值即可. 【详解】令得或，则， 所以函数在上单调递减，当时，， 当时，，此时， 函数在上单调递增，当时，， 故， 故选：C. 7．（23-24高一·全国·课堂例题）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A （多选）8．（25-26高一上·浙江温州·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由常见函数的单调性对各选项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以函数在上单调递减，故A正确； 对于B，显然双勾函数在上单调递减上单调递增，故B正确； 对于C，显然在单调递减，在上单调递减，但，所以该分段函数整体在上不单调递减，故C错误； 对于D，是复合函数，外函数单调递增，内函数在上单调递增，在上单调递减，所以该函数在上单调递增，在上单调递减，故D错误； 故选：AB （多选）9．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 【答案】ABD 【分析】选项A和B，利用函数解析式，代入求解即可，选项C，利用分段函数、一次、二次函数的性质，即可求解；选项D，作出的图像，数形结合，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则，得到，满足题意， 若，则，即， 又，所以无解，故选项B正确， 对于选项C，当时，在区间上单调递增， 当时，，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，故选项C错误， 对于选项D，的图像如图， 由，得到，由，得到，解得， 由，得到，由，得到，解得或， 又时，， 由图知，当，或，或，时，满足题意， 所以的最小值为，最大值为，故选项D正确， 故选：ABD. （多选）10．（25-26高一上·浙江·期中）若，则下列选项中正确的有（   ） A．函数的单调增区间为 B．与的图像有三个交点，则 C．的解集是 D．的解集是 【答案】BCD 【分析】根据题意作出分段函数的图像，数形结合求解. 【详解】函数的图像如图所示： 由图可知， 函数的单调增区间为，故A错误； 与的图像有三个交点，则，故B正确； 当时，，故不等式的解集是，故C正确； 即，则且，解得， 故不等式的解集是，故D正确. 故选：BCD. 题型四 由函数的单调性求解函数最值 求解函数值：已知函数单调性，若，函数单调递增时；单调递减时，借此比较函数值大小或求解不等式． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】A 【分析】通过求导法分析函数单调性，进而判断最值. 【详解】函数的分母恒成立，定义域为. 根据除法求导法则，， 令，得极值点和. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 则极小值，极大值；且当时，， 因为极小值，极大值，所以函数的最小值为，最大值为. 因此既有最大值，也有最小值. 2．（2026·湖南·三模）已知函数 且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的单调性与对称性，结合函数性质得到的最小值，进而求解小于的最小值，再解一元二次不等式得到的取值范围. 【详解】已知，由于在R上单调递减，故是上的增函数. 对任意，有 . 已知，即，由是增函数得：， 因此：，即恒大于. 不等式恒成立，等价于： 整理得，即， 解得：，即的取值范围是. 4．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 5．（25-26高三下·河南·月考）设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 【答案】D 【详解】令，，得，则或． 若，令，则对，， 这与“是定义在上的不恒为0的函数”矛盾， ，故A正确； 当时，由②可知； 当时，由选项A可知，； 当时，，由②可知， 令，，则，故； 综上，，，故B正确； 对，且，则，由②得， ，即， 在上为减函数，从而在上是减函数，故C正确； 在开区间上为减函数， 没有最小值，故D错误． 6．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 7．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为，利用基本不等式和对数函数单调性可分别求得的最小值，由此可构造不等式求得结果. 【详解】，，使得，； （当且仅当时取等号）， 时，的最小值为， ，解得：， 实数的取值范围为. （多选）8．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】通过导数来判断函数单调性，进而判断函数图像的走势来解决问题. 【详解】对于A选项，，当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，存在，，使得，A正确． 对于B选项，由函数解析式可知为奇函数，得到的极大值为， 的极小值为，且当时，，当时，， 根据函数图像走势可知，所以的值域为． 取，不存在，使得，B错误． 对于C选项，不妨设，则， 即，． 设函数， 那么由，可知的图像关于直线对称， 将的图像向右平移个单位长度得到函数的图像， 可得与的值域相同，令，当时，， 当时，， 当时，，且，(当且仅当时，等号成立) 当时，函数单调递减，且， 所以当时，取得最大值，最大值为， 综上，的最大值为，即的最大值为，C正确． 对于D选项，不妨设， 则， 变形可得， 所以， 当时，，，要使得取得最小值， 则． 若，则， 解得，或 即,(当且仅当时，等号成立) 若，则， 解得或 即,(当且仅当时，等号成立) 当时，，， 而，矛盾，舍去． 综上，的最小值为，D正确． （多选）9．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，根据均值不等式：， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为2，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，显然无解， 所以的最小值取不到2，故B错误； 对于C：因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为8，故D正确. （多选）10．（25-26高一下·福建南平·开学考试）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】由集合与元素的关系结合集合的互异性即可判断A，设，再利用函数的单调性即可判断B，由分式不等式的计算方法即可判断C，由二次函数的图像性质即可判断D. 【详解】对于A，当时，，与集合元素互异性矛盾， 当时，解得或， 时，与集合元素互异性矛盾， 时，，符合题意，所以，故A错误； 对于B，设，则， 因为在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，故B正确； 对于C，不等式，等价于，解得或，故C正确； 对于D，因为原式为一元二次不等式，所以， 若一元二次不等式恒成立， 则有，解得：，故D错误． 题型五 由函数的单调性求参数 求解参数 根据单调性定义求解：函数在区间上单调递增，则对任意，且恒成立；单调递减则恒成立，建立不等式求解参数范围． 根据导数与单调性的关系求解：函数在区间上可导且单调递增，则在区间上恒成立（注意等号情况）；单调递减则恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围． 【例题精讲】 1．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到相应的不等式组，进而求解即可． 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 【答案】D 【分析】由条件①，可判断是上的增函数，利用单调性可判断A；结合换元法将复杂的自变量的范围求出来，利用的单调性可判断B；对于条件②，通过赋值法，给、赋特殊值，推导函数的性质，进而分析的奇偶性，可判断C；可结合函数单调性或构造函数，利用基本不等式判断自变量的关系，进而推导函数值的关系可判断D. 【详解】对于A，由，令，得，则． 因为，都有，所以在上单调递增，故，故A错误． 对于B，设，令，所以， 可知在上单调递增，所以， 所以，即，故B错误． 对于C，由，令，，得， 所以．因为， 所以， 所以函数为奇函数，故C错误． 对于D，令，，则， 所以，因为， 当且仅当时等号成立，又在上单调递增， 所以， 即，故D正确． 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. 5．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. （多选）8．（25-26高三上·浙江·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是单调递增函数 C．的图像关于点对称 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确；根据导数的运算法则，求得，可判定B正确；根据，可判定C错误；根据题意，得到，求得，结合函数单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得的定义域为，关于原点对称， ，， 所以， 即，所以为奇函数，所以A正确； 对于B，由， 因此在上单调递增，所以B正确； 对于C，由，可得的图像不关于点对称，所以C错误； 对于D，由，可得， 即，所以， 因为在上单调递增，所以，因此，所以D正确． 故选：ABD． （多选）9．（2025·河北·一模）已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质即可求解，根据单调性的性质即可求解CD. 【详解】当时，. 若是奇函数，则，解得， 当时，时，， 也满足奇函数，故A正确. 若是减函数，则，解得，C正确. 故选：AC （多选）10．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图像恒过原点 B．若，则是增函数 C．若的定义域为，则的取值范围为 D．若在上单调递增，则的取值范围 【答案】AC 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：分析可知对任意恒成立，结合判别式分析运算；对于D：分析可知在单调递增且恒大于零，则，再解不等式组即可． 【详解】因为函数， 对于选项A：因为，所以的图像恒过原点，故A正确； 对于选项B：若，则， 因为，可知不是增函数，故B错误； 对于选项C：若的定义域为，则对任意恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：若在上单调递增，因为在定义域内为增函数， 在单调递增且恒大于零， 则，解得，故D错误． 故选：AC． 题型六 由函数的单调性比较大小 【例题精讲】 1．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知函数的定义域为,且,当时,函数单调递增,若,,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数可得函数的对称轴，再结合时的单调性得出整个定义域内单调性，最后比较与对称轴距离的大小根据函数单调性比较大小 【详解】根据函数对称轴的性质，若，则函数的图像关于直线对称，所以函数关于对称， 又因为时，函数单调递增， 由函数对称性知，当时，函数单调递减， 比较自变量到对称轴的距离， 对于 ， ，故， 同理， ，， 对于 ，因为，所以， ， 先比较与，因为，且对数函数在上单调递增， 在上单调递增，当同取时，， 又，所以， 同理，因为，且对数函数在上单调递增，在上单调递增， 当同取时，，又，所以， 即， 因为时，函数单调递增，且自变量到对称轴的距离越远，函数值越大， 所以 ，即 2．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图像关于点对称， 为偶函数，的图像关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数， 在上单调递增， 函数图像关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 4．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 【答案】B 【分析】根据函数周期的定义、偶函数单调性的性质，结合函数零点的定义、指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】对选项A：由可知函数的一个周期为2，所以在区间上的图像与在区间上相同. 又是偶函数，则时的单调性与时的单调性相反. 因时，单调递减，故时，单调递增，故时，单调递增，故A错误； 对选项B：，故B正确； 选项C：当时，令0，得，因为为偶函数，所以，又因为周期为2，所以，共6个零点，故C错误； 选项D：，， 因为当时，单调递减， 所以，即，故D错误. 5．（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 6．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数性质得出在上的单调性，再应用对数函数单调性比较大小，最后结合单调性求解. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递减，所以在上单调递增. 因为，，， 所以. 又，所以. 7．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. （多选）8．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. （多选）9．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知定义在上的函数满足:当时，恒有.下列结论正确的是（    ） A． B．函数在区间上为增函数 C．函数在区间上为增函数 D． 【答案】ACD 【详解】令，则，∴，故A正确; 不妨设，由，可得， ∴，∴函数在区间上为增函数，故C正确， 取，此时在区间上为增函数， 而，其不是增函数，故B项错误; ∵，∴， ∵函数在区间上为增函数， ∴且， ∵，所以， ∴， ∴ ，故D正确. （多选）10．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的解集为 D． 【答案】ACD 【分析】通过赋值法求、、，绝对值不等式平方去掉绝对值，构造函数判断自变量大小再利用的单调性求解. 【详解】令，则，即， 因为，所以，则，故A正确； 令，则， 所以，又，所以，故B错误； 令，得，即，所以， 由，得，即， 两边平方并整理得，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 令，则，所以在上单调递减， 又，，所以，所以， 取，得，所以，又在上单调递减， 所以，故D正确． 故选ACD． 题型七 由函数的单调性解不等式 【例题精讲】 1．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 2．（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解. 【详解】的定义域为，，故为偶函数， 当时，，由于为上的单调递增函数，故 为上的单调递增函数，结合为单调递增函数，故为上的单调递增函数， 由可得，解得. 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的定义域为全体实数， ， 所以函数是偶函数， 当时，， 因为函数是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数， 因为是单调递增函数，且， 所以函数是单调递增函数，且， 所以函数在上单调递增， 所以由 ，或，解得，或， 所以不等式的解集. 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 6．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对 化简：. 求导：. 令，得； 时，此时单调递减； 时，此时单调递增， ， ， 显然， 故的图像关于直线对称, 且在上单调递减，上单调递增. 所以等价于， 平方得， 整理得，解得. 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析其单调性，再结合函数的奇偶性求解不等式. 【详解】已知时，， 所以构造函数，则 ， 当时，，所以， 因此在上单调递减， 因为是偶函数，则， 即是奇函数，图像关于原点对称， 所以在上也是单调递减， 因为，则， 由是奇函数可得：， 等价于或， 当时，则，， 当时，，即， 因为在上单调递减且，所以有； 当时，，即， 因为在上单调递减且，所以有， 同时要满足，所以； 当时，，，则，即， 因为在上单调递减且， 所以当时，有， 所以合并得解集：. （多选）8．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D. 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确； B选项，由A选项解析得：，即， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以， 原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增， 所以需满足，解得：，所以D选项正确. （多选）9．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 【答案】ABC 【分析】利用奇函数可判断A，利用对称性可判断B，利用解分段函数不等式可判断C，利用分段二次函数的单调性可判断D． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确； 当时，由奇函数得：，故B正确； 当时，由， 因为，所以解得， 当时，由， 显然此时无解，综上可得不等式的解集为，故C正确； 当时，由二次函数的递增区间可得， 当时，由的递增区间可得， 故函数的单调增区间为，故D错误； 故选：ABC． （多选）10．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则使得不等式成立的的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据偶函数的性质得到在区间上单调递增，即可得到的取值情况，不等式等价于或，即可得解. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以在区间上单调递增且， 所以当或时，当时， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为, 因为， 显然当时不等式也成立. 故选：AB 课时精练 一、单选题 1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图像关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，函数图像关于原点对称且在单调递减，A错误； B选项，函数图像不关于原点对称，在单调递增，B错误； C选项，函数图像不关于原点对称，在单调递增，C错误； D选项，函数图像关于原点对称，在单调递增，D正确. 2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间. 【详解】由， 由定义域可知：， 结合二次函数的对称轴， 可知：在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以函数的单调递减区间为. 故选：D 3．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 4．（福建莆田市2026届高中毕业班适应性练习数学试题）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上具有单调性 D．若在上单调递增，且，则 【答案】D 【详解】A选项错误，由于定义域为，所以不是奇函数． B选项错误，存在反例，若，， 则． C选项错误，存在反例；；． 此时不具有单调性． D选项正确，由，得． 由定义域得，，即． 由单调递增得，即解得或（舍去）． 综上，． 5．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 7．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在上递增，则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增，所以，解得. 综上所述，． 8．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）已知函数，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 又，所以函数为奇函数， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知定义在R上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图像对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】定义在上函数的图像是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. （多选）10．（25-26高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域内单调递减 B．，且时，成立，则在上不是单调递增的 C．若函数的单调递减区间是，则 D．已知函数是定义在上的偶函数，则 【答案】BCD 【详解】函数在区间内单调递减，在上单调递减， 但是在定义域上不具有单调性，故A错误； 若对，且时，都有，称在上是单调递增函数， 若，且时，成立，则在上不是单调递增的，故B正确； 函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为， 又函数的单调递减区间是，所以，解得，故C正确； 因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得. 所以函数是定义在上的偶函数， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立，所以，故D正确. （多选）11．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）下列说法不正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的图像关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为或 【答案】ABD 【详解】对于A，函数的定义域为， 由得，则函数的定义域为，A错误； 对于B，由反比例函数单调性可知， 函数在和上单调递增，故B错误； 对于C，函数的图像的对称中心为， 将函数的图像先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到函数的图像， 所以函数的对称中心为，C正确； 对于D，因为函数为幂函数且在上为减函数， 根据幂函数定义和性质可得，解得，D错误. 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 13．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 14．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数（，），若对于任意的且，均有，则实数的取值范围为_________. 【答案】或. 【分析】根据以及指数函数的单调性分类讨论求解. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 若，则且在上单调递减，则在上单调递增； 若，则在上单调递增，由条件可得，得， 故实数的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 17．（25-26高一上·湖南娄底·期末）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 18．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知函数. (1)若关于的方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围； (2)当，求函数的最小值； (3)函数，若函数在单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用一元二次方程根的分布来求系数范围即可； （2）利用分类讨论来求解二次复合型函数的最小值； （3）利用复合函数的单调性来确定参数范围即可. 【详解】（1）由关于的方程有两个不相等的正实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）当时，，则令， 则，其对称轴为， 当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为； （3）由函数在单调递增， 则满足真数大于，内二次函数递增，外对数函数也递增， 则有：，解得， 所以的取值范围是. 19．（25-26高一上·天津武清·月考）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)11； (2)证明见解析； (3)最大值和最小值分别为38和11. 【分析】（1）由计算出的值并求出函数解析式，进而求出的值； （2）由（1）的函数，利用减函数的定义推理得证. （3）由（2）可得在指定区间上的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 20．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知奇函数的定义域为. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是奇函数可得的定义域对称，求得定义域后确定0在定义域中，所以有，进而可计算，的值； （2）不妨设，通过比较和的大小即可确定的增减性； （3）先将原式变换为，再结合奇偶性与增减性即可求该不等式的解集. 【详解】（1）因为是奇函数，所以定义域关于原点对称，故. 此时定义域一定包含；所以，即， 则有，解得， 此时有，，故符合奇函数定义， 故，. （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）得，定义域为， 设， 则， 因为单调递增，且，故，即； 又，，因此，即. 故在上单调递增. （3）原不等式可化为， 由奇函数性质，则有， 又因为在上单调递增， 所以有，解得， 故原不等式的解集为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的单调性与最值 题型一 常见函数的单调性 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】AC 9．【答案】BC 10．【答案】BD 题型二 复合函数单调性 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】BCD 9．【答案】ACD 10．【答案】BC 题型三 分段函数的单调性及最值 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】AB 9．（【答案】ABD 10．【答案】BCD 题型四 由函数的单调性求解函数最值 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】ACD 9．【答案】ACD 10．【答案】AD 题型五 由函数的单调性求参数 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】ABD 9．【答案】AC 10．【答案】AC 题型六 由函数的单调性比较大小 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】BD 9．【答案】ACD 10．【答案】ACD 题型七 由函数的单调性解不等式 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】A 8．【答案】ACD 9．【答案】ABC 10．【答案】AB 课时精练 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】A 9. 【答案】ABD 10．【答案】BCD 11．【答案】ABD 12．【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 13【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，再结合每段单调性，分段点处的函数值关系，建立不等式求解即可. 【详解】由题意知函数在上单调递减，需满足以下条件： ，解得 故答案为：. 14．【答案】或. 【分析】根据以及指数函数的单调性分类讨论求解. 【详解】由题意可知，在上单调递增， 若，则且在上单调递减，则在上单调递增； 若，则在上单调递增，由条件可得，得， 故实数的取值范围为或. 故答案为：或. 15．【答案】(1)，， (2)， (3)或， 【分析】（1）分段考虑，结合二次函数以及一次函数的单调性即可求解， （2）根据自变量的取值，代入即可求解， （3）分情况考虑，解不等式即可得解. 【详解】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 16．【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 17．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，结合已知等式进行求解即可； （2）根据函数单调性的定义，结合已知等式进行运算证明即可； （3）根据函数的单调性，结合已知等式进行求解即可. 【详解】（1）， 或（舍），即； （2）设，且， 有 又即又， ， ∴函数在R上为增函数. （3）， ， 又， 令，由（2）知在R上也为增函数， 又， ，由函数单调性可知， ∴不等式的解集为. 18．【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用一元二次方程根的分布来求系数范围即可； （2）利用分类讨论来求解二次复合型函数的最小值； （3）利用复合函数的单调性来确定参数范围即可. 【详解】（1）由关于的方程有两个不相等的正实数根， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）当时，，则令， 则，其对称轴为， 当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，所以， 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为； （3）由函数在单调递增， 则满足真数大于，内二次函数递增，外对数函数也递增， 则有：，解得， 所以的取值范围是. 19．【答案】(1)11； (2)证明见解析； (3)最大值和最小值分别为38和11. 【分析】（1）由计算出的值并求出函数解析式，进而求出的值； （2）由（1）的函数，利用减函数的定义推理得证. （3）由（2）可得在指定区间上的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数，且，则，解得， ，所以. （2）由（1）知，，且， 则， 由，得，， 则，即， 所以函数在区间上单调递减. （3）由（2）得函数在区间上单调递减， 则，， 所以函数在区间的最大值和最小值分别为38和11. 20．【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是奇函数可得的定义域对称，求得定义域后确定0在定义域中，所以有，进而可计算，的值； （2）不妨设，通过比较和的大小即可确定的增减性； （3）先将原式变换为，再结合奇偶性与增减性即可求该不等式的解集. 【详解】（1）因为是奇函数，所以定义域关于原点对称，故. 此时定义域一定包含；所以，即， 则有，解得， 此时有，，故符合奇函数定义， 故，. （2）在上单调递增，证明如下： 由（1）得，定义域为， 设， 则， 因为单调递增，且，故，即； 又，，因此，即. 故在上单调递增. （3）原不等式可化为， 由奇函数性质，则有， 又因为在上单调递增， 所以有，解得， 故原不等式的解集为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 函数的单调性与最值 题型一 常见函数的单调性 2 题型二 复合函数单调性 4 题型三 分段函数的单调性及最值 6 题型四 由函数的单调性求解函数最值 7 题型五 由函数的单调性求参数 9 题型六 由函数的单调性比较大小 10 题型七 由函数的单调性解不等式 12 课时精练 13 【基础回顾】 知识点1：函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图像 描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 知识点2：函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 【必备知识】 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 题型一 常见函数的单调性 1. 从图像判断单调性 函数图像从左到右上升，则函数在对应区间单调递增；图像从左到右下降，则函数在对应区间单调递减．对于分段函数，需分别观察每一段图像的升降趋势． 2. 图像特征与单调性的关系 极值点：图像的 “峰”“谷” 对应函数的极大值点和极小值点，在极值点两侧函数单调性会发生改变． 渐近线：若函数存在水平渐近线或垂直渐近线，渐近线附近的图像趋势能反映函数的单调性变化 ． 对称性：偶函数关于轴对称，在y轴两侧单调性相反；奇函数关于原点对称，在原点两侧单调性相同，可利用对称性由已知区间的单调性推出未知区间的单调性． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川眉山·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图像如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 4．（25-26高一上·河北邢台·月考）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿被世界公认为数学三大天才，用表示不超过的最大整数，我们称为高斯函数，则关于函数，下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．函数的值域为 C． D．的值域为 5．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 6．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上的值域是 C．在上单调递增 D．在上的最大值是3 7．（25-26高一上·天津河西·期中）给出下列命题，其中正确命题的个数是（   ） ①两个函数，表示的是同一函数； ②函数的单调递减区间是； ③函数的图像与直线的交点最多有1个； ④函数的定义域为，则函数的定义域为 A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）8．（25-26高一上·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．若，则 C．函数在上的值域为 D．函数的单调递增区间为 （多选）9．（25-26高一上·广东佛山·月考）下列说法中正确的有（   ） A．函数的递增区间是 B．，使得，若命题为真命题，则 C．函数的定义域为 D．已知，则的解析式为 （多选）10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）定义，设，则下列结论正确的是（   ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为1 C．不等式的解集为 D．的单调递减区间为 题型二 复合函数单调性 1. 确定函数构成 明确复合函数是由哪几个基本函数复合而成． 2. 分别分析内外函数单调性 根据函数类型确定外层函数和内层函数各自的单调区间． 3. 利用 “同增异减” 原则 结合内外函数的单调区间和 “同增异减” 原则确定复合函数的单调区间，同时要注意内层函数的值域需满足外层函数的定义域要求． 【例题精讲】 1．（25-26高一上·贵州遵义·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·天津西青·月考）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 5．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 7．（25-26高二上·湖南湘潭·月考）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 （多选）9．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若为上的增函数，则a的值可以为1 C．当时，函数的单调递增区间为和 D．若的值域为，则a的取值范围为 （多选）10．（24-25高一上·河北邢台·月考）下列说法正确的有（    ） A．函数在上是单调减函数 B．函数与函数是同一函数 C．已知函数，则 D．函数的单调增区间为 题型三 分段函数的单调性及最值 分段函数为增函数，要保证函数图像从左到右，一直上升。或分段函数为减函数，要保证函数图像从左到右，一直下降。 【例题精讲】 1．（25-26高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·重庆·月考）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川绵阳·月考）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽滁州·期末）表示与中的较大者.设，则函数的最小值是（    ） A． B． C．0 D．3 7．（23-24高一·全国·课堂例题）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高一上·浙江温州·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． （多选）9．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数，则下列选项中正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递增 D．当时，，则的最小值为，最大值为 （多选）10．（25-26高一上·浙江·期中）若，则下列选项中正确的有（   ） A．函数的单调增区间为 B．与的图像有三个交点，则 C．的解集是 D．的解集是 题型四 由函数的单调性求解函数最值 求解函数值：已知函数单调性，若，函数单调递增时；单调递减时，借此比较函数值大小或求解不等式． 【例题精讲】 1．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 2．（2026·湖南·三模）已知函数 且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（2026·河北邯郸·二模）已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·河南·月考）设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 6．（2026·云南昆明·二模）已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 （多选）9．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 （多选）10．（25-26高一下·福建南平·开学考试）下列说法错误的是（   ） A．已知集合，且，则实数为0或3 B．函数的最小值为 C．不等式解集为或 D．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 题型五 由函数的单调性求参数 求解参数 根据单调性定义求解：函数在区间上单调递增，则对任意，且恒成立；单调递减则恒成立，建立不等式求解参数范围． 根据导数与单调性的关系求解：函数在区间上可导且单调递增，则在区间上恒成立（注意等号情况）；单调递减则恒成立，通过求解不等式得到参数取值范围． 【例题精讲】 1．（2026·天津和平·一模）“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数满足：①，都有；②，，恒有．则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为偶函数 D．若，则 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆·期末）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（25-26高三上·浙江·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数 B．是单调递增函数 C．的图像关于点对称 D．若，则 （多选）9．（2025·河北·一模）已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 （多选）10．（25-26高一上·山东聊城·月考）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图像恒过原点 B．若，则是增函数 C．若的定义域为，则的取值范围为 D．若在上单调递增，则的取值范围 题型六 由函数的单调性比较大小 【例题精讲】 1．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知函数的定义域为,且,当时,函数单调递增,若,,,则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山西运城·期中）已知定义在上的偶函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B． C．在区间上有5个零点 D． 5．（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西榆林·三模）已知定义域为的偶函数在上单调递减，若，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （多选）8．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知定义在上的函数满足:当时，恒有.下列结论正确的是（    ） A． B．函数在区间上为增函数 C．函数在区间上为增函数 D． （多选）10．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数满足，且，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的解集为 D． 题型七 由函数的单调性解不等式 【例题精讲】 1．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邢台·二模）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数，实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 （多选）9．（25-26高一上·湖北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．不等式的解集为 D．函数的单调增区间为 （多选）10．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则使得不等式成立的的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 课时精练 一、单选题 1．（2026·海南海口·模拟预测）下列函数中，图像关于原点对称且在单调递增的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南常德·期末）设函数，，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（福建莆田市2026届高中毕业班适应性练习数学试题）已知定义域为的函数满足：对任意，都有，则（   ） A．是奇函数 B． C．在上具有单调性 D．若在上单调递增，且，则 5．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·浙江·开学考试）若函数存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）已知函数，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知定义在R上函数的图像是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 （多选）10．（25-26高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数在定义域内单调递减 B．，且时，成立，则在上不是单调递增的 C．若函数的单调递减区间是，则 D．已知函数是定义在上的偶函数，则 （多选）11．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）下列说法不正确的有（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的图像关于点成中心对称 D．幂函数在上为减函数，则的值为或 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 13．（25-26高一上·贵州铜仁·期末）设函数，若对，都有，则实数的取值范围为______． 14．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知函数（，），若对于任意的且，均有，则实数的取值范围为_________. 四、解答题 15．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 17．（25-26高一上·湖南娄底·期末）对于定义在R的函数，都有，且满足，当时，. (1)求的值； (2)证明：函数为R上的增函数； (3)若，求关于的不等式的解集. 18．（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知函数. (1)若关于的方程有两个不相等的正实数根，求实数的取值范围； (2)当，求函数的最小值； (3)函数，若函数在单调递增，求的取值范围. 19．（25-26高一上·天津武清·月考）已知定义在上的函数，且， (1)求的值； (2)利用定义证明函数在区间上单调递减； (3)求函数在区间的最大值和最小值. 20．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知奇函数的定义域为. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)解不等式：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $