第3讲 函数的奇偶性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数奇偶性高考核心考点，涵盖定义、图象特点及判断、求解析式、求值、解不等式等应用题型，按知识点预览、核心题型探究、跟踪训练、课时精练的逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生系统构建知识网络，突破奇偶性应用难点。 资料以数学眼光抽象奇偶性本质，通过例1-2函数奇偶性判断培养概念辨析能力，结合例2-5不等式求解训练数学思维的逻辑推理，设置基础到综合的分层练习，确保高效突破考点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

2027年高考一轮复习讲义 第3讲 函数的奇偶性 知识点预览 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 探究核心题型 考点一 确定函数的单调性 命题点1 函数奇偶性的判断 例1-1 下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)= C.f(x)=()2 D.f(x)=sin x 答案　B 解析　对于A，f(x)=x+1的定义域为R，且f(-x)=-x+1，所以f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，故f(x)=x+1为非奇非偶函数； 对于B，f(x)=的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)===f(x)，故f(x)=为偶函数； 对于C，f(x)=()2的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，故f(x)=()2为非奇非偶函数； 对于D，f(x)=sin x的定义域为全体实数，且f(-x)=sin(-x)=-sin x≠f(x)，故f(x)=sin x不为偶函数. 例1-2 判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； ②f(x)=ex+e-x； ③f(x)= ④f(x)=log2(x+). 解　①由得x2=3，解得x=±， 即函数f(x)的定义域为{-，}， 从而f(x)=+=0. 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. ②显然函数f(x)的定义域为R，f(-x)=e-x+ex=f(x)，∴函数f(x)为偶函数. ③显然函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)； 当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)，∴函数f(x)为奇函数. ④∵x2+1>x2，∴+x>0恒成立， 即f(x)的定义域为R， f(-x)=log2[-x+] =log2(-x)=log2(+x)-1 =-log2(+x)=-f(x)， 故f(x)为奇函数. 跟踪训练 1(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 (　　) A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 答案　BCD 解析　对于A，令g(x)=f(-|x|)，则g(x)的定义域为R， 又g(-x)=f(-|-x|)=f(-|x|)=g(x)，所以g(x)为偶函数，故A错误； 对于B，令x=y=0，有f(0)=f(0)+f(0)，所以f(0)=0， 令y=-x，有f(0)=f(x)+f(-x)， 即f(-x)+f(x)=0，所以f(x)为奇函数，B正确； 对于C，令y=-1，有f(-x)=f(x)+f(-1)， 令x=y=1，有f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0， 令x=y=-1，所以f(1)=f(-1)+f(-1)⇒f(-1)=0， 所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，C正确； 对于D，在2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得2[f(0)]2=2f(0)， 因为f(0)≠1，所以f(0)=0，令y=-x，得2f(0)f(2x)=f(x)+f(-x)，即0=f(x)+f(-x)，所以f(x)是奇函数，故D正确. 2. (2024·天津)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 答案　B 解析　对于A，函数定义域为R， f(-x)==≠f(x)， 故f(x)不是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为R， f(-x)===f(x)， 故f(x)为偶函数，故B正确； 对于C，函数定义域为{x|x≠-1}， 不关于原点对称， 故f(x)不是偶函数，故C错误； 对于D，函数定义域为R， f(-x)== =-=-f(x)， 故f(x)不是偶函数，故D错误. 3. 若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 答案　C 解析　令x1=x2=0，则f(0)=f(0)+f(0)+1，所以f(0)=-1，则f(x)不为奇函数，故A错误； 令x1=x，x2=-x， 则f(0)=f(x)+f(-x)+1， 所以f(x)+1+f(-x)+1=0， 即f(x)+1=-[f(-x)+1]，所以f(x)+1为奇函数，故B，D错误，C正确. 考点二 函数的奇偶性的应用 命题点1 利用奇偶性求解析式 例2-1. (人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为　　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)= 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x). 因为当x≥0时，f(x)=x(1+x)， 所以当x<0时，-x>0， 所以f(-x)=(-x)(1-x)=-x(1-x)， 所以f(x)=-f(-x)=x(1-x). 所以f(x)= 例2-2. (2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________. 答案　－ex＋2x＋1 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数， 则当x＝0时，f(0)＝0. 当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1， 又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0， 则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 命题点2 利用奇偶性求值 例2-3. (2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　D 解析　方法一　因为f(x)=为偶函数， 则f(x)-f(-x)=- ==0， 又因为x≠0，可得ex-e(a-1)x=0， 即ex=e(a-1)x， 则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2. 方法二　因为f(x)为偶函数，所以f(-1)=f(1)， 所以=， 即=， 所以a-1=1，所以a=2.经检验，符合题意. 例2-4. 设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 答案　B 解析　由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 令g(x)＝f(x)－1＝x5＋2x3＋3x， 则函数g(x)为奇函数， ∴g(x)在区间[－2 025,2 025]上的最大值与最小值之和为0， 即M－1＋m－1＝0， ∴M＋m＝2. 命题点3 利用奇偶性解函数不等式 例2-5. (2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(2,5) B．(－∞，－1)∪(0,5) C．(－1,0)∪(2,5) D．(－1,0)∪(5，＋∞) 答案　C 解析　因为定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0， 所以f(x)在(－∞，0)上也单调递增，且f(－3)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)<0， 当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)>0， 所以由xf(x－2)<0，可得或 解得－1<x<0或2<x<5， 即x∈(－1,0)∪(2,5)． 例2-6. 若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是(　　) A. B．(1，＋∞) C. D. 答案　C 解析　f(x)的定义域为R，f(－x)＝sin(－x)－x3－x＝－sin x－x3－x＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数， f′(x)＝cos x＋3x2＋1>0， 所以f(x)在R上是增函数， 由f(x＋1)＋f(2x)>0， 得f(x＋1)>－f(2x)＝f(－2x)， 所以x＋1>－2x，解得x>－， 所以不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是. 跟踪训练 1. (人教B版必修第一册P115练习BT2改编)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=　　　　.  答案　-26 解析　方法一　令g(x)=x5+ax3+bx， 易知g(x)是R上的奇函数，从而g(-2)=-g(2)，又f(x)=g(x)-8， ∴f(-2)=g(-2)-8=10， ∴g(-2)=18， ∴g(2)=-g(-2)=-18， ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 方法二　由已知条件，得 ①+②得f(2)+f(-2)=-16. 又f(-2)=10，∴f(2)=-26. 2. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 答案　B 解析　因为函数f(x)为R上的奇函数， 则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1， f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e. 3. (2024·恩施模拟) 定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) 答案　D 解析　因为∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，又f(3)=0，所以f(-3)=-f(3)=0， 所以当x<-3或0<x<3时，f(x)>0，当-3<x<0或x>3时，f(x)<0， 不等式xf(x)>0，即或 解得0<x<3或-3<x<0， 所以满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(-3，0)∪(0，3). 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x 答案　C 解析　对于A，显然函数f(x)=-x3为奇函数，且在(-∞，+∞)上单调递减，故A不符合题意； 对于B，f(-x)=2-x，显然函数f(x)是非奇非偶函数，故B不符合题意； 对于C，由函数f(x)=ex-e-x的定义域为R，f(-x)=e-x-ex=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，由函数y=ex在R上单调递增，函数y=-e-x在R上单调递增，则函数f(x)在R上单调递增，故C符合题意； 对于D，由函数f(x)=lg x的定义域为(0，+∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，故D不符合题意. 2．(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案　B 解析　方法一　因为f(x)为偶函数，则 f(1)＝f(－1)， 即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝xln . 由(2x－1)(2x＋1)>0， 解得x>或x<－， 则其定义域为，关于原点对称． f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln －1＝xln ＝f(x)， 此时f(x)为偶函数，符合题意． 故a＝0. 方法二　设g(x)＝ln ， 易知g(x)的定义域为∪， 且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数． 若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数， 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0. 3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x| 答案　AC 解析　对于A，函数的定义域为，关于原点对称，且f(－x)＝tan(－x)＝－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数； 对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝x2－x≠±f(x)，故函数为非奇非偶函数； 对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故函数为奇函数； 对于D，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数． 4．(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝ln(－x) D．f(x)＝2x＋ 答案　B 解析　A项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－f(x)知，f(x)为奇函数； B项，令≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1，＋∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数； C项，因为x2＋1>x2，所以－x>0恒成立，即f(x)的定义域为R， 又f(－x)＋f(x)＝ln(＋x)＋ln(－x)＝0，故f(x)为奇函数； D项，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝f(x)知，f(x)为偶函数． 5．(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　) A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 答案　A 解析　因为f(x)为偶函数， 则f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)， 又因为f(x)在区间[0，4]上单调递减， 0<2<3<π<4， 则f(2)>f(3)>f(π)， 即f(π)<f(-3)<f(-2). 6．(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.8 B.0 C.4 D.2 答案　C 解析　设g(x)=x3-sin x，易知定义域为R，又g(-x)=(-x)3-sin(-x)=-x3+sin x=-g(x)，故函数g(x)为奇函数， 所以当x∈[-2，2]时，g(x)max+g(x)min=0， 又f(x)=g(x)+2，所以M+m=f(x)max+f(x)min=[g(x)max+2]+[g(x)min+2]=4. 7. (2026 赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为(　　) A. B.1 C. D.3 答案　C 解析　因为函数f(x)=a-是奇函数，定义域为R， 所以f(0)=a-=a-=0，解得a=， 当a=时，f(x)=-=， f(-x)===-f(x)， 所以函数f(x)=-是奇函数，则a=. 8．(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 答案　B 解析　方法一　因为f(x)=，所以f(x-1)==，f(x+1)==. 对于A，令F(x)=f(x-1)-1=-1=，定义域关于原点对称，但不满足F(x)=-F(-x)，即f(x-1)-1不是奇函数； 对于B，令G(x)=f(x-1)+1=+1=，定义域关于原点对称，且满足G(x)=-G(-x)，即f(x-1)+1是奇函数； 对于C，f(x+1)-1=-1==-，定义域不关于原点对称，即f(x+1)-1为非奇非偶函数； 对于D，f(x+1)+1=+1==，定义域不关于原点对称，即f(x+1)+1为非奇非偶函数. 方法二　f(x)===-1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1. 二、多项选择题 9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足(　　) A．f(0)＝0 B．y＝f(x)为奇函数 C．f(x)在R上单调递增 D．f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1} 答案　ABD 解析　由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 对于A，令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0，故A正确； 对于B，令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 所以y＝f(x)为奇函数，故B正确； 对于C，任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)， 因为x1<x2，所以x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减，故C错误； 对于D，由f(x－1)＋f(x2－1)>0，可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2)， 由C知函数f(x)在R上单调递减，所以x－1<1－x2， 解得－2<x<1，所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1}，故D正确． 10．(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　) A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数 答案　AD 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)； g(x)是定义在R上的偶函数，所以g(-x)=g(x)， 则f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，故A正确； f(g(-x))=f(g(x))，所以f(g(x))为偶函数，故B错误； f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)，则f(x)-g(x)为非奇非偶函数，故C错误； g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x))，故g(f(x))为偶函数，故D正确. 11. (2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(　　) A.f(0)=0 B.xf+f(x)=2(x≠0) C.f(x)为减函数 D.f(x)为奇函数 答案　ABD 解析　因为∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)， 令x=y=1，可得f(1)+1=f(1)+f(1)，则f(1)=1， 令x=y=-1，可得f(1)+1=-f(-1)-f(-1)，则f(-1)=-1. 对于A，令x=y=0，可得f(0)=0，所以A正确； 对于B，令y=(x≠0)，可得f(1)+1=xf+f(x)=2，所以B正确； 对于C，因为f(-1)=-1，f(1)=1，所以f(x)不可能为R上的减函数，故C错误； 对于D，函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称， 令y=-1，可得f(-x)-x=xf(-1)-f(x)， 所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数，所以D正确. 三、填空题 12．若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　　　　.  答案　(-2，0)∪(2，+∞) 解析　因为函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(-2)=0， 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，f(2)=f(-2)=0， 则xf(x)>0可化为或 所以或 即x>2或-2<x<0， 所以原不等式的解集为(-2，0)∪(2，+∞). 13．(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)=　　　　.  答案　-10 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+m=0， 解得m=-1，则当x≥0时，f(x)=2x+x-1， 故f(-3)=-f(3)=-10. 四、解答题 14．(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3. (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3， 当x=0时，f(0)=0； 当x<0时，-x>0， 所以f(x)=-f(-x)=-3-x+3， 综上，f(x)= (2)函数f(x)的图象如图所示， 所以-2<2a+3<2且2a+3≠0， 解得-<a<-或-<a<-， 故实数a的取值范围是∪. 15．(2026·六盘水模拟) 函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分) (2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分) 解　(1)由性质③f(x)+g(x)=ex， 则f(-x)+g(-x)=e-x， 由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x. 则 解得f(x)=，g(x)=. (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2 =- =-=1， 故对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2为定值，定值为1. 16．(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.  答案　(1，2] 解析　因为f(-x)===-f(x)，所以f(x)为奇函数， 又因为f(x)==1-， 所以f(x)为[-4，4]上的增函数. 因为f(m2)+f(m-2)>0，f(x)为奇函数， 所以f(m2)>-f(m-2)=f(2-m)， 又f(x)为[-4，4]上的增函数， 所以 解得1<m≤2， 所以实数m的取值范围为(1，2]. 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第3讲 函数的奇偶性 知识点预览 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 探究核心题型 考点一 确定函数的单调性 命题点1 函数奇偶性的判断 例1-1 下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=x+1 B.f(x)= C.f(x)=()2 D.f(x)=sin x 例1-2 判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=+； ②f(x)=ex+e-x； ③f(x)= ④f(x)=log2(x+). 跟踪训练 1(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，下列结论正确的有 (　　) A.函数f(-|x|)是奇函数 B.若恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，则f(x)为奇函数 C.若恒有f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)为偶函数 D.若恒有2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y)，且f(0)≠1，则y=f(x)为奇函数 2. (2024·天津)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 3. 若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 考点二 函数的奇偶性的应用 命题点1 利用奇偶性求解析式 例2-1. (人教A版必修第一册P86习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1+x)，则函数的解析式为　　　　　　　　　　　　.  例2-2. (2023·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________. 命题点2 利用奇偶性求值 例2-3. (2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a等于(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 例2-4. 设函数f(x)＝x5＋2x3＋3x＋1在区间[－2 025,2 025]上的最大值是M，最小值为m，则M＋m等于(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 命题点3 利用奇偶性解函数不等式 例2-5. (2023·龙岩模拟)若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则满足xf(x－2)<0的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)∪(2,5) B．(－∞，－1)∪(0,5) C．(－1,0)∪(2,5) D．(－1,0)∪(5，＋∞) 例2-6. 若f(x)＝sin x＋x3＋x，则不等式f(x＋1)＋f(2x)>0的解集是(　　) A. B．(1，＋∞) C. D. 跟踪训练 1. (人教B版必修第一册P115练习BT2改编)已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)=　　　　.  2. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 3. (2024·恩施模拟) 定义在R上的奇函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有<0，f(3)=0，则满足不等式xf(x)>0的实数x的取值范围为(　　) A.(-∞，-3)∪(3，+∞) B.(-3，0)∪(3，+∞) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-3，0)∪(0，3) 课时对点精练 一、单项选择题 1．(2025·北京模拟)下列函数中，既是奇函数又在区间(-∞，+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=-x3 B.f(x)=2x C.f(x)=ex-e-x D.f(x)=lg x 2．(2023·新高考全国Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C. D．1 3．(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝tan x B．f(x)＝x2＋x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln|1＋x| 4．(2024·哈尔滨模拟)下列函数中不具有奇偶性的是(　　) A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝(x－1) C．f(x)＝ln(－x) D．f(x)＝2x＋ 5．(2026·柳州模拟)设偶函数f(x)的定义域为R，在区间[0，4]上单调递减，则(　　) A.f(π)<f(-3)<f(-2) B.f(π)<f(-2)<f(-3) C.f(-2)<f(-3)<f(π) D.f(-3)<f(-2)<f(π) 6．(2025·白银模拟)已知函数f(x)=x3-sin x+2在[-2，2]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m等于(　　) A.8 B.0 C.4 D.2 7. (2026 赤峰模拟)若函数f(x)=a-是奇函数，则实数a的值为(　　) A. B.1 C. D.3 8．(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是(　　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 二、多项选择题 9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)满足(　　) A．f(0)＝0 B．y＝f(x)为奇函数 C．f(x)在R上单调递增 D．f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集为{x|－2<x<1} 10．(2025·毕节模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，则(　　) A.f(x)g(x)是奇函数 B.f(g(x))是奇函数 C.f(x)-g(x)是奇函数 D.g(f(x))是偶函数 11. (2025·湖北重点学校开学联考)已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R，f(xy)+xy=xf(y)+yf(x)，则(　　) A.f(0)=0 B.xf+f(x)=2(x≠0) C.f(x)为减函数 D.f(x)为奇函数 三、填空题 12．若函数f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，又f(-2)=0，则xf(x)>0的解集为　　　　　　　.  13．(2026·绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x+x+m，则f(-3)=　　　　.  四、解答题 14．(2025·湖南省名校联盟开学考)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3x-3. (1)求函数f(x)的解析式；(6分) (2)若关于x的方程f(x)=2a+3恰有两个实数根，求实数a的取值范围.(7分) 15．(2026·六盘水模拟) 函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(7分) (2)对任意实数x，[g(x)]2-[f(x)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(8分) 16．(2026·贵阳模拟)已知函数f(x)=的定义域为[-4，4]，且满足f(m2)+f(m-2)>0，则实数m的取值范围是　　　　　　.  2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $