第3讲 等式与不等式的性质讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

第3讲 等式与不等式的性质·配套讲义

一、考情分析

二、知识清单

1. 比较大小基本方法

2. 不等式的性质

三、方法总结

考点一：不等式性质的应用

考点二：比较数(式)的大小与证明

考点三：求目标式的取值范围

考点四：糖水不等式

考点五：不等式的综合应用

四、典题精讲

考点一：不等式性质的应用

考点二：比较数(式)的大小与证明

考点三：求目标式的取值范围

考点四：糖水不等式

考点五：不等式的综合应用

五、高考真题

 

一、考情分析

1. 考查频次与题型

近三年全国一卷（新高考Ⅰ卷）中，不等式与不等式的性质在2024年和2025年均有直接考查，且均出现在单选题的压轴位置（第8题），具有一定的综合性与难度.

2. 命题角度与特色

· 核心考点：不等式的基本性质（如可加性、传递性）、代数式的大小比较.

· 命题趋势：一般不单独命制纯粹的不等式性质题，而是常融合集合运算、函数的奇偶性与单调性、抽象函数递推等模块综合出题，多以选择题形式呈现.

· 试题特点：侧重灵活变形与综合应用.在客观题中重点考查不等式的核心性质，常在乘除负数变号等易错点上设置陷阱；在解答题（如导数、数列大题）中，不等式性质常作为基础的放缩与推导工具被间接使用.

3. 备考策略

· 立足课本熟记不等式的基本性质，严格区分易错变形条件，规避乘除负数未变号、开方失误等陷阱.

· 熟练掌握比较数（式）大小的常用方法（如作差法、作商法、构造函数法、中间量过渡法），常态化进行变式刷题以巩固代数变形能力.

· 强化不等式与其他模块的融合训练，特别是在函数综合题中提炼不等关系，提升数学建模与综合运用能力.

二、知识清单

1. 比较大小基本方法

【防坑警示】 使用作商法比较大小时，必须确保参与比较的两个数（式）同号.若同为负数，作商后与 比较的结论与正数情况恰好相反.

2. 不等式的性质

【易错提醒】 在使用“可乘性”和“同向同正可乘性”时，必须严格确认乘数或被乘式的正负号，若符号不确定则需要分类讨论，切忌盲目相乘导致不等号方向错误.

三、方法总结

考点一：不等式性质的应用

考法1：利用不等式性质判断真假

· 应用不等式基本性质时，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据.

· 解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题效率.

· 在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式，时刻关注变量的符号.

考法2：结合函数单调性判断不等式真假

· 遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 或平方脱去绝对值是常见的转化方向.

· 结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系.

考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件

· 处理多项乘积大于零的不等式等价变形时，同除以恒正的平方项是构造分式的巧妙技巧.

· 若变形困难，直接解出参数范围再核对选项亦可稳妥得分.

考点二：比较数(式)的大小与证明

考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式

· 作差法比较大小的步骤为：作差、变形、判断差式与 的大小、下结论.变形是关键，主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底.

· 作商法一般用来比较两个正数的大小，特别是当两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式时.步骤为：作商、变形、判断商式与 的大小、下结论.

· 在证明不等式时，务必在结论中明确等号成立的条件.

考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小

· “同构法”是处理超越不等式的利器.将不等式转化为 的形式后，借助导数或基本初等函数的性质判定单调性，即可实现降维求解.

· 在处理多个代数式的大小比较问题时，若已知变量的取值范围及等量关系，采用特殊值代入法可迅速明晰各式的相对大小.

考点三：求目标式的取值范围

考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围