第3讲 等式与不等式的性质讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦等式与不等式性质核心考点，涵盖比较大小方法、不等式性质等知识清单，按五个考点梳理方法，通过典题精讲和高考真题训练，构建“考点梳理-方法指导-真题演练”的系统复习流程，帮助学生突破难点。 资料特色在于融合函数单调性、糖水不等式等跨模块内容，运用待定系数法、同构法培养数学思维，设计分层练习提升应用能力，能有效帮助学生高效复习，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第3讲 等式与不等式的性质·配套讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 比较大小基本方法 2 2. 不等式的性质 2 三、方法总结 3 考点一：不等式性质的应用 3 考点二：比较数(式)的大小与证明 3 考点三：求目标式的取值范围 3 考点四：糖水不等式 4 考点五：不等式的综合应用 4 四、典题精讲 4 考点一：不等式性质的应用 4 考点二：比较数(式)的大小与证明 6 考点三：求目标式的取值范围 7 考点四：糖水不等式 8 考点五：不等式的综合应用 9 五、高考真题 10 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2025年 第8题·单选题 5分 结合对数与指数运算比较数的大小 2024年 第8题·单选题 5分 不等式同向可加性与传递性在抽象函数递推中的应用 近三年全国一卷（新高考Ⅰ卷）中，不等式与不等式的性质在2024年和2025年均有直接考查，且均出现在单选题的压轴位置（第8题），具有一定的综合性与难度. 2. 命题角度与特色 · 核心考点：不等式的基本性质（如可加性、传递性）、代数式的大小比较. · 命题趋势：一般不单独命制纯粹的不等式性质题，而是常融合集合运算、函数的奇偶性与单调性、抽象函数递推等模块综合出题，多以选择题形式呈现. · 试题特点：侧重灵活变形与综合应用.在客观题中重点考查不等式的核心性质，常在乘除负数变号等易错点上设置陷阱；在解答题（如导数、数列大题）中，不等式性质常作为基础的放缩与推导工具被间接使用. 3. 备考策略 · 立足课本熟记不等式的基本性质，严格区分易错变形条件，规避乘除负数未变号、开方失误等陷阱. · 熟练掌握比较数（式）大小的常用方法（如作差法、作商法、构造函数法、中间量过渡法），常态化进行变式刷题以巩固代数变形能力. · 强化不等式与其他模块的融合训练，特别是在函数综合题中提炼不等关系，提升数学建模与综合运用能力. 二、知识清单 1. 比较大小基本方法 关系 作差法 与 比较 作商法 与 比较 () 或 () () () 或 () 【防坑警示】 使用作商法比较大小时，必须确保参与比较的两个数（式）同号.若同为负数，作商后与 比较的结论与正数情况恰好相反. 2. 不等式的性质 性质 性质内容 对称性 ； 传递性 ； 可加性 可乘性 ； 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【易错提醒】 在使用“可乘性”和“同向同正可乘性”时，必须严格确认乘数或被乘式的正负号，若符号不确定则需要分类讨论，切忌盲目相乘导致不等号方向错误. 三、方法总结 考点一：不等式性质的应用 考法1：利用不等式性质判断真假 · 应用不等式基本性质时，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据. · 解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题效率. · 在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式，时刻关注变量的符号. 考法2：结合函数单调性判断不等式真假 · 遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 或平方脱去绝对值是常见的转化方向. · 结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系. 考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件 · 处理多项乘积大于零的不等式等价变形时，同除以恒正的平方项是构造分式的巧妙技巧. · 若变形困难，直接解出参数范围再核对选项亦可稳妥得分. 考点二：比较数(式)的大小与证明 考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式 · 作差法比较大小的步骤为：作差、变形、判断差式与 的大小、下结论.变形是关键，主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底. · 作商法一般用来比较两个正数的大小，特别是当两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式时.步骤为：作商、变形、判断商式与 的大小、下结论. · 在证明不等式时，务必在结论中明确等号成立的条件. 考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小 · “同构法”是处理超越不等式的利器.将不等式转化为 的形式后，借助导数或基本初等函数的性质判定单调性，即可实现降维求解. · 在处理多个代数式的大小比较问题时，若已知变量的取值范围及等量关系，采用特殊值代入法可迅速明晰各式的相对大小. 考点三：求目标式的取值范围 考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围 · 在求解线性规划或多元变量的范围问题时，待定系数法是标准且严谨的防错手段. · 通过构造恒等式匹配系数，能有效避免因变量间的相互制约而产生的范围扩大问题，严禁直接相减. 考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围 · 处理多元变量的范围最值问题，若代数式具备齐次结构，将其化归为关于比值的单变量函数是核心突破口. · 换元后务必先求出新变量的取值范围，再结合二次函数的图像进行分析. 考点四：糖水不等式 考法8：糖水不等式的应用与拓展 · 糖水不等式 () 是处理真分数大小比较的捷径. · 在对数比较大小的问题中，结合换底公式将其转化为分式，再巧妙构造同加常数的结构，能极大简化运算. 考点五：不等式的综合应用 考法9：综合应用不等式求范围或判断真假 · 处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将双变量问题转化为单变量的分段函数最值探究. · 借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类压轴题的有效手段. 考法10：结合方程有解性求最值 · 面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程. · 借助判别式 是实现消元并求出参数范围的巧妙策略. 四、典题精讲 考点一：不等式性质的应用 考法1：利用不等式性质判断真假 例1.（2026·济宁·三模）（多选）已知 为实数，则（ 　　） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ACD 【思路】本题考查不等式的基本性质.判断不等式真假时，对于含有乘除运算的选项，需重点关注变量的符号及是否为零；对于分式大小比较，作差通分是通法；对于条件最值问题，可联想基本不等式或代数变形进行验证. 【解析】对于A，若 ，则隐含 ，不等式两边同除以 得 ，故A正确. 对于B，若 ，满足 且 ，但 ，此时 ，故B错误. 对于C，∵ ，由 可知 ，∴ ，即 ，故C正确. 对于D，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号，故D正确. 【规律】处理不等式真假判断题时，举反例是排除错误选项的高效手段.在进行代数推导时，务必警惕乘以或除以一个可能为负或为零的代数式. 考法2：结合函数单调性判断不等式真假 例2.（2025·名校联盟·二模）（多选）已知实数 满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】本题条件中含有绝对值，需先利用绝对值的非负性进行放缩或平方处理.将不等式两端转化为同底数指数幂或二次结构后，借助指数函数、幂函数的单调性以及作差法进行逐一判定. 【解析】∵ ，∴ ，∴ ，故A对. ∵ ，∴ ， 由 ，∴ ，故B对. 若 ，满足 ，显然 不成立，故C错. 当 ，则 ，必有 . 当 ，则 ，故 ，必有 ，故D对. 【规律】遇到含有绝对值的不等式条件时，利用 或平方脱去绝对值是常见的转化方向.结合具体函数的单调性，能够快速将代数式的大小关系转化为自变量的大小关系. 考法3：结合不等式性质与函数单调性判断充要条件 例3.（2025·福九联盟·5月联考） 若 ，则 的一个充要条件是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】探求充要条件，本质上是寻找与题干不等式解集完全一致的等价命题.可以通过对原不等式进行恒等变形，或者利用分类讨论解出 的符号与大小关系，再与选项进行比对. 【解析】（方法一）依题意，，故 .则 ，即 . （方法二） 或 或 或 . 又 . 故 的一个充要条件是 . 【规律】处理多项乘积大于零的不等式等价变形时，同除以恒正的平方项（如 ）是构造分式的巧妙技巧.若变形困难，直接解出参数范围再核对选项亦可稳妥得分. 考点二：比较数(式)的大小与证明 考法4：利用作差法与作商法比较大小或证明不等式 例4. （1） 已知 ，求证：； （2） 设 ，比较 与 的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）当 时相等，当 时大于 【思路】第一问涉及多个不等式的组合，可利用不等式的同向同正可乘性及可加性进行推导；第二问是典型的代数式大小比较，作差法是首选，作差后需通过提取公因式、配方等手段将其化为完全平方式与非负项的和，从而判定符号. 【解析】（1） 证明：由 ，，得 ， ∴ ， 从而得 . 又 ，∴ . （2） 解：∵ ， 当且仅当 时等号成立. ∴ 当 时，； 当 时，. 【规律】作差法比较大小的核心在于“变形”，即通过因式分解、配方等代数恒等变形，将差式转化为几个非负数之和或积的形式.同时，务必在结论中明确等号成立的条件. 考法5：结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小 例5.（2026·九五协作体·一模） 若 ，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】观察已知不等式的结构，两边分别含有 和 的同类项.通过移项将同变量聚集在同侧，进而构造出统一的函数模型，利用该函数的单调性脱去函数符号，即可得到 的大小关系. 【解析】已知不等式 可化为 . 构造函数 ，∵ 是增函数， 也是增函数，∴ 在 上单调递增. 由 可得 ，即 . ∴ ，则 .对应选项D. 【规律】“同构法”是处理超越不等式的利器.将不等式转化为 的形式后，借助导数或基本初等函数的性质判定 的单调性，即可实现降维求解. 考点三：求目标式的取值范围 考法6：利用不等式同向可加性与待定系数法求范围 例6.（多选）已知实数 满足 ，则（ 　　） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【思路】已知两个整体代数式的范围，求其他线性组合的范围时，切忌直接解出单一变量的范围再代入，这会导致范围扩大.正确的做法是利用待定系数法，将待求式表示为已知式的线性组合，再利用不等式的同向可加性求解. 【解析】∵ ，∴ .∵ ，∴ ，则 ，故A正确. ∵ ，∴ .∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故B正确. ∵ ，∴ ，则 ，故C错误. ∵ ，∴ ，则 ，故D正确. 【规律】在求解线性规划或多元变量的范围问题时，待定系数法是标准且严谨的防错手段.通过构造恒等式匹配系数，能有效避免因变量间的相互制约而产生的范围扩大问题. 考法7：利用换元法或二次函数求复杂目标式范围 例7. 已知三个实数 、、，当 时， 且 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】目标式是一个分式，且已知条件中各项的次数呈现齐次特征.可考虑通过代入消元法消去 ，将条件转化为关于 的齐次不等式，进而同除以 （或 ）构造关于 的单变量函数，利用二次函数的性质求得最值. 【解析】当 时满足： 且 ， ∴ ，即 ， 进而 ，解得 . ∴ 或 . ， 令 ， ∴ . 由于 ， ∴ 在 单调递增，在 单调递减. 当 时，，当 时，. ∴ .故答案为：. 【规律】处理多元变量的范围最值问题，若代数式具备齐次结构，将其化归为关于比值的单变量函数是核心突破口.换元后务必先求出新变量的取值范围，再结合二次函数的图像进行分析. 考点四：糖水不等式 考法8：糖水不等式的应用与拓展 例8. 若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 () 数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ＿＿＿＿＿＿ (用“<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式＿＿＿＿＿＿. 【答案】、 【思路】题目给出了糖水不等式的模型，要求比较两个对数的大小.显然需要利用换底公式将对数转化为分数形式，观察分子分母的差值关系，凑出糖水不等式的结构进行比较. 【解析】空1：∵ ，∴ 可得：. 空2：由空1可得：，即 . 【规律】糖水不等式 () 是处理真分数大小比较的捷径.在对数比较大小的问题中，结合换底公式将其转化为分式，再巧妙构造同加常数的结构，能极大简化运算. 考点五：不等式的综合应用 考法9：综合应用不等式求范围或判断真假 例9.（2024·衡水中学·练习） 已知 ，且满足 . （1） 证明：； （2） 求 的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【思路】第一问已知条件为两个分式不等式，可考虑将其化为整式形式并相加，利用基本不等式放缩求得下界；第二问在第一问的基础上，由于等号无法同时成立，需引入比值参数 实现降元，将问题转化为关于 的分段函数最值问题，借助导数探究单调性. 【解析】（1） 证明：∵ ，且 ， ∴ ， 两式相加得 . 又∵ ， ∴ . （2） 解：设 ，则 ，代入已知条件得 ，即 . ∴ . 当 ，即 时，. 设 ，其导数 在 上恒成立，故 在 单调递增，最小值为 . 当 ，即 时，. 设 ，其导数 在 上恒成立，故 在 单调递减，∴ . 综上所述， 的最小值为 . 【规律】处理含有多个不对称约束条件的最值问题时，引入比值参数实现降元，将双变量问题转化为单变量的分段函数最值探究，再借助导数工具精确刻画单调性，是突破此类压轴题的有效手段. 考法10：结合方程有解性求最值 例10. 已知实数 满足 ，求 的最大值. 【答案】 【思路】已知条件是关于三个变量的对称方程组，要求其中一个变量的最值.可以利用方程思想，将 的和与积用 表示出来，进而构造以 为根的一元二次方程，利用判别式大于等于零求得 的范围. 【解析】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是关于 的方程 的两个实数根. ∴ ，即 ， 即 ，解得 . 即 的最大值为 . 【规律】面对含有对称关系的多元条件极值问题，利用韦达定理逆定理构造一元二次方程，借助判别式 是实现消元并求出参数范围的巧妙策略. 五、高考真题 1.（2024·全国Ⅰ卷·高考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵当时，∴. 又∵， 则， ， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选B. 2.（2025·全国Ⅰ卷·高考）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】法一：设， 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选B. 法二：设，∴. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，. 故选B. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $