第3讲 等式性质与不等式性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦等式与不等式性质高考核心考点，按知识点梳理（比较大小、等式性质、不等式性质及常用结论）、核心题型探究（数式比较大小、性质应用、综合问题）、分层练习的逻辑架构展开，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，帮助学生系统突破难点。 资料突出数学思维与推理能力培养，如考点一通过作差法、函数单调性等方法比较大小，引导学生合乎逻辑地分析问题。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合高考真题及模拟题即时反馈，确保高效复习。助力学生形成严谨思维品质，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

2027年高考一轮复习讲义 第3讲 等式性质与不等式性质 知识点梳理 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0)． 探究核心题型 考点一 数（式）的比较大小 1. 例1（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 例2 (多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ 答案　AD 解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－ ＝(a－b)>0，故选项D正确． 例3 (多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3 B.a3+b3≥a2b+ab2 C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) 答案　AD 解析　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0， ∴x2-2x>-3，故A正确； a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∵(a-b)2≥0，a+b的符号不确定， ∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， ∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误； -=， ∵b>a>0，∴>0， ∴<，故D正确. 例4 已知M=，N=，则M，N的大小关系为　　　　　　.  答案　M>N 解析　方法一　　M-N=- = ==>0， ∴M>N. 方法二　令f(x)= ==+， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 024)>f(2 025)，即M>N. 跟踪训练 1 已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的大小关系随c的值而定 答案　C 解析　方法一　由题设，易知x>0，y>0，又==<1，∴x<y. 方法二　设f(x)=-，定义域为[1，+∞)， 则f(x)=，故f(x)为减函数， 又c+1>c>1，则f(c+1)<f(c)，即x<y. 2. (2025·平顶山模拟)若a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.a+>b+ C.a+>b+ D.> 答案　AC 解析　对于A，-=，因为a>b>0，所以b-a<0，a+1>0， 所以<0，即-<0，于是<，故A正确； 对于B，a+-=-==， 因为a>b>0，所以a-b>0，ab>0，但ab与1的大小不确定，故a+与b+的大小不确定，故B错误； 对于C，a+-=-==，因为a>b>0，所以a-b>0，ab>0，ab+a+b>0，所以>0，即a+->0，于是a+>b+，故C正确； 对于D，-==，因为a>b>0，所以b-a<0，b+a>0，a+2b>0，所以<0，即-<0，于是<，故D错误. 2. 3. （2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 3. 4. （2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 考点二 不等式的基本性质 例1. 若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D.> 答案　B 解析　由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0， 所以<，故D错误． 例2. (多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是(　　) A.a+d<b+c B.ac>bd C.ac2>bc2 D.< 答案　BD 解析　对于A，取a=-3，b=-2，c=-6，d=-5，满足a<b<0，c<d<0，但a+d=b+c，故A错误； 对于B，由a<b<0，c<d<0，得-a>-b>0，-c>-d>0， 再利用不等式的同向同正可乘性得ac>bd，故B正确； 对于C，因为a<b，c2>0，根据不等式的性质有ac2<bc2，故C错误； 对于D，因为c<d，a<0，根据不等式的性质有>，故D正确. 例3. (多选)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若a>b，且>，则ab<0 B.若a>b，且a≠-b，则> C.若a<b<0，则<-a-b D.若a<b<0，则> 答案　ACD 解析　由a>b可得a-b>0，由>可得<0，故ab<0，故A正确； 当a=0，b=-1时，满足a>b，且a≠-b，但=-1，=0，不等式>不成立，故B错误； 因为a<b<0，所以-a>-b>0，故-a-b>2>，故C正确； 由a<b<0可得b-a>0，且b-1<0，故-==>0，即>，故D正确. 例4. (多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则> 答案　BCD 解析　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， ∴－＝＝>0， ∴>，故C正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， ∴>>0， 又b>c>0， 由可乘性知，>，故D正确． 跟踪训练 1. 设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1， 满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立， 所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件． 2. (2025·温州模拟)已知a，b，c∈R，下列选项中是“a>b”的充分条件的是(　　) A.a+c>b+c B.>>0 C.> D.a2>b2 答案　ABC 解析　对于A，因为a+c>b+c，所以a>b，故A符合题意； 对于B，因为>>0，所以-=>0，且ab>0，所以a-b>0，即a>b，故B符合题意； 对于C，因为>，所以-=>0，且c2>0，即a>b，故C符合题意； 对于D，取a=-1，b=0，满足a2>b2，但a<b，故D不符合题意. 3. (多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 答案　ABD 解析　因为a>b>0，>0，所以>， 即<，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 考点三 不等式性质的综合应用 例1. (多选)已知-1<a<5，-3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 答案　ABC 解析　因为-1<a<5，-3<b<1， 所以-1<-b<3. 对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5； 当0≤a<5，-3<b<0时，0<-b<3， 则0≤-ab<15，即-15<ab≤0； 当-1<a<0，0≤b<1时，0<-a<1， 则0≤-ab<1，即-1<ab≤0； 当-1<a<0，-3<b<0时， 0<-a<1，0<-b<3，则0<ab<3， 综上，-15<ab<5，故A正确； 对于B，-1-3=-4<a+b<5+1=6，故B正确； 对于C，-1-1=-2<a-b<5+3=8，故C正确； 对于D，当a=4，b=时，=8，故D错误. 例2. 购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则　　　　策略购物比较经济.  答案　乙 解析　设第一次和第二次购物时的价格分别为p1，p2， 按甲策略，设每次购买物品的数量为n，则两次购物的平均价格x==； 按乙策略，设第一次花m元，能购买物品的数量为，第二次仍花m元，能购买物品的数量为， 则两次购物的平均价格y==， 所以x-y=-=- ==≥0，即x≥y， 故甲策略的平均价格不小于乙策略的平均价格，所以乙策略购物比较经济. 例3. 已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 答案　D 解析　因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 延伸探究　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. 例4. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 答案　B 解析　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 课时对点精练 一、单项选择题 1. 1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 2．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 答案　A 解析　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝(－1)2＋(－1)2≥0， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 即m≥n. 3．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B．2a>2b C．a2>b2 D．|a|>|b| 答案　B 解析　取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确． 4．已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac>bc C.< D.<1 答案　C 解析　因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A项错误； 因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B项错误； 因为a<0<c，所以<，故C项正确； 因为a<b，所以－a>－b，所以c－a>c－b>0，所以>1，故D项错误． 5．若c>b>a>0，则(　　) A．abbc>acbb B．2ln b<ln a＋ln c C．a－>b－ D．logac>logbc 答案　A 解析　由于＝ab－cbc－b＝b－c>1，所以abbc>acbb成立，故A正确； 2ln b＝ln b2，ln a＋ln c＝ln ac，b2与ac大小不能确定，故B错误； 由于a－－＝(a－b)<0，故C错误； 令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误． 6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 答案　A 解析　由m5＝4，得m＝<， 由n8＝9，得n＝， 因此，＝>1， 即>m>n， 由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2， 于是得p>m>n， 所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n. 二、多项选择题 7．(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 答案　AC 解析　1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确； 由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误； 因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确； 因为1≤a2b2≤16，≤≤，所以两式相乘得≤ab3≤4，D错误. 8．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．－1<x<2 B．－2<y<1 C．－3<x＋y<3 D．－1<x－y<3 答案　ABD 解析　因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8， 则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确； 又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4， 所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确； x＋y＝∈(－2,2)，故C错误； x－y＝∈(－1,3)，故D正确． 9. 已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 答案　AB 解析　对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以>>0，故选项B正确； 对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时==-2，==-，<，故选项C错误； 对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，=2，==-，此时>，故选项D错误. 10. 下列结论中不正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若<，则a>b C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若2a－b>1，则a<b 答案　BCD 解析　ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确； 取a＝－1，b＝1，满足<， 又a<b，故B错误； 取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误； 取a＝2，b＝1，满足2a－b>1， 又a>b，故D错误． 三、填空题 11．(2026·九江模拟)已知a=，b=-，c=-，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  答案　a>c>b 解析　由a-b=+-，且(+)2=5+2>7，故a>b； 由a-c=2-，且(2)2=8>6，故a>c； 由b-c=(+)-(+)，且(+)2=9+2>9+2=(+)2，故c>b. 所以a>c>b. 12.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值：　　　　　　.  答案　a=-1，b=2(答案不唯一) 解析　容易发现，若将①式转化为②式， 需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号， 显然应使a+b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a+b>0，则|a|<|b|， 可取a=-1，b=2； 当a>0，b<0时，要使a+b>0，则|a|>|b|， 可取a=2，b=-1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 13．已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________． 答案　ab<ab2<a 解析　因为a>0，－1<b<0， 所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a， 故ab<ab2<a. 14．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为________． 答案　　 解析　∵－1<a＋b<3,2<a－b<4， ∴1<2a<7，即<a<， 又t＝2a＋b＝(a＋b)＋(a－b)， ∴－＋1<(a＋b)＋(a－b)<＋2， 即t∈. 15．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________． 答案　(－3，－1) 解析　因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0， 所以<0,1>>，2＋＋＝0， 所以＝－－2， 所以有1>－2－>， 解不等式得－3<<－1， 故的取值范围是(－3，－1)． 四、解答题(共28分) 16.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.(7分) 证明　(1)由a>b>1，则a-1>0，b-1>0， 故(a-1)(b-1)>0， 由d<c<-2，则c+2<0，d+2<0， 故(c+2)(d+2)>0， ∴(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0，得证. (2)方法一　∵a>b>0，c<d<0，e<0， ∴-c>-d>0， ∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0， 则-= ==>0， ∴>. 方法二　∵c<d<0，∴-c>-d>0， 又a>b>0，∴a-c>b-d>0， ∴0<<， ∵e<0，∴>，不等式得证. 17.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分) (2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分) 解　(1)由不等式2<y<3，可得-3<-y<-2， 因为-1<x<4，所以-4<x-y<2，即x-y的取值范围为(-4，2). (2)设5x+2y=m(x+y)+n(2x-y)=(m+2n)x+(m-n)y， 所以解得 即5x+2y=3(x+y)+(2x-y)， 因为-1≤x+y≤2，所以-3≤3(x+y)≤6， 又0≤2x-y≤3， 所以-3≤5x+2y=3(x+y)+(2x-y)≤9， 即5x+2y的取值范围为[-3，9]. 18. (1)设a>b>0，比较与的大小； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. (1)解　∵a>b>0，∴>0，>0， ∴＝＝1＋>1， ∴>. (2)证明　∵c<d<0，∴－c>－d>0， 又a>b>0， ∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0， 又e<0， ∴－＝＝＝>0， ∴>. 19. 已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； (2)求3a－2b的取值范围． 解　(1)a＝[(a＋b)＋(a－b)]， 由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6， ∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[－2,3]． (2)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b， 则解得 ∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)， ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. ∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10， ∴－4≤3a－2b≤11， 即3a－2b的取值范围为[－4,11]． 20. (2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为> (a>b>0，m>0)，这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A.< B.< C.log85<log1610 D.+< 答案　C 解析　对于A，由>>2>0，得=>，A错误； 对于B，因为>>0，2>0，故<，则>，B错误； 对于C，由lg 8>lg 5>0，lg 2>0，得log85=<==log1610，C正确； 对于D，由lg 11>lg 7>0，得+>+=，D错误. 21.(2025·常德模拟)记min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值.若x，y>0，M=min，则M的最大值为　　　　.  答案　 解析　因为x，y>0，M=min，所以M>0，0<M≤x⇒≤，0<M≤⇒y≤，则+y≤， 又M≤+y，所以M≤+y≤， 可得M2≤2，即M≤， 当且仅当M=，即x==时等号成立， 故M的最大值为. 22. (多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　) A．(a＋c)2> B.< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 答案　ABD 解析　对A，根据abc＝1可得＝ac，故(a＋c)2>，即(a＋c)2>ac，即a2＋ac＋c2>0.因为a2＋ac＋c2＝2＋>0恒成立，故(a＋c)2>成立，故A正确；对B，因为a>b>c，故a－c>b－c>0，故<成立，故B正确；对C，当a＝，b＝－1，c＝－2时，满足a>b>c且abc＝1，但a2>b2不成立，故C错误；对D，因为abc＝1，(a2b－1)(ab2－1)＝＝，因为a>b>c，故>0，故D正确． 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第3讲 等式性质与不等式性质 知识点梳理 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 常用结论 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 <，>(b－m>0)； ②假分数的性质 >，<(b－m>0)． 探究核心题型 考点一 数（式）的比较大小 1. 例1（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 例2 (多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ 例3 (多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3 B.a3+b3≥a2b+ab2 C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) 例4 已知M=，N=，则M，N的大小关系为　　　　　　.  跟踪训练 1 已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x，y的大小关系随c的值而定 2. (2025·平顶山模拟)若a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.a+>b+ C.a+>b+ D.> 3. （2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4. （2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 考点二 不等式的基本性质 例1. 若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D.> 例2. (多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是(　　) A.a+d<b+c B.ac>bd C.ac2>bc2 D.< 例3. (多选)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　) A.若a>b，且>，则ab<0 B.若a>b，且a≠-b，则> C.若a<b<0，则<-a-b D.若a<b<0，则> 例4. (多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则> 跟踪训练 1. 设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. (2025·温州模拟)已知a，b，c∈R，下列选项中是“a>b”的充分条件的是(　　) A.a+c>b+c B.>>0 C.> D.a2>b2 3. (多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 考点三 不等式性质的综合应用 例1. (多选)已知-1<a<5，-3<b<1，则下列结论正确的是(　　) A.-15<ab<5 B.-4<a+b<6 C.-2<a-b<8 D.-<<5 例2. 购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则　　　　策略购物比较经济.  例3. 已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 例4. 为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 课时对点精练 一、单项选择题 1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知a>0，b>0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则(　　) A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m<n 3．已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B．2a>2b C．a2>b2 D．|a|>|b| 4．已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则(　　) A．ab<b2 B．ac>bc C.< D.<1 5．若c>b>a>0，则(　　) A．abbc>acbb B．2ln b<ln a＋ln c C．a－>b－ D．logac>logbc 6．已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为(　　) A．p>m>n B．m>n>p C．m>p>n D．p>n>m 二、多项选择题 7．(2025·洛阳模拟)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　) A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3 C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4 8．已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则(　　) A．－1<x<2 B．－2<y<1 C．－3<x＋y<3 D．－1<x－y<3 9. 已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 10. 下列结论中不正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若<，则a>b C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若2a－b>1，则a<b 三、填空题 11．(2026·九江模拟)已知a=，b=-，c=-，则a，b，c的大小关系为　　　　　.(用“>”连接)  12.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值：　　　　　　.  13．已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________． 14．若－1<a＋b<3,2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为________． 15．已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________． 四、解答题(共28分) 16.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>1，d<c<-2.求证：(a-1)(b-1)(c+2)(d+2)>0；(6分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0.求证：>.(7分) 17.(15分)(1)已知-1<x<4，2<y<3，求x-y的取值范围；(6分) (2)已知-1≤x+y≤2，0≤2x-y≤3，求5x+2y的取值范围.(9分) 18. (1)设a>b>0，比较与的大小； (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 19. 已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. (1)求实数a的取值范围； (2)求3a－2b的取值范围． 20. (2025·莆田模拟)a克不饱和糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为> (a>b>0，m>0)，这个不等式称为糖水不等式.根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A.< B.< C.log85<log1610 D.+< 21.(2025·常德模拟)记min{x，y，z}表示x，y，z中的最小值.若x，y>0，M=min，则M的最大值为　　　　.  22. (多选)已知实数a，b，c满足a>b>c，且abc＝1，则下列说法正确的是(　　) A．(a＋c)2> B.< C．a2>b2 D．(a2b－1)(ab2－1)>0 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $