1.1 集合的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕集合的概念、元素特性、关系及表示方法展开，从体育集合实例、康托尔集合论引入，通过方程解与图形范围的思考，逐步抽象出集合与元素概念，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活（如戴眼镜同学集合活动），“数学思维”分析元素特性（如coffee字母互异性思考），“数学语言”掌握列举法与描述法。丰富实例与巩固练习帮助学生深化理解，教师可借此提升教学效率，培养学生抽象能力与逻辑推理。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 01 导入新课 体育中的“集合” 许多的人或物聚在一起 01 导入新课 康托尔（Georg Cantor,1845-1918 )。德国数学家，集合论创始人。集合论是他于19世纪末创立的。当时，他在解决涉及无限量研究的数学问题时，突破了“数集”的限制，提出了一般性的“集合”概念。 　　在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？ 02 探究1：集合的定义 思考： 1.方程是否有解？ 有理数范围内是无解；实数范围内有两个根 2.所有到定点的距离等于定长的点组成何种图形？ 平面内组成圆；空间内组成球面 研究范围 研究对象 02 探究1：集合的定义 （1）1-10之间的所有偶数。 （2）立德中学今年入学的全体高一学生。 （3）所有的正方形。 （4）到直线l的距离等于定长d的所有的点。 （5）方程x2-3x+2=0的所有实数根。 （6）地球上的四大洋。 2，4，6，8，10 每一个高一新生 每一个正方形 每一个满足要求的点 x1=1,x2=2 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 元素 个体 集合 整体 02 探究1：集合的定义 一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写的拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素。 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，我们通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示集合。 02 探究1：集合的定义 1. 1-10之间的所有偶数 2、4、6、8、10 2.立德中学今年入学的全体高一学生 今年入学的每一位学生 3.不大于10的非负偶数组成的集合 0、2、4、6、8、10 4.方程x3＝x的所有实数解组成的集合 0、1、-1 　　集合中的元素不仅仅是数，还可以是人，其实还可以是点、代数式，你能列出一些你知道的集合的例子吗？ 02 探究1：集合的定义 中国古代四大发明 02 探究1：集合的定义 物态变化： 熔化、升华、凝固 汽化、液化、凝华 02 探究1：集合的定义 氢前金属： 钾、钙、钠、镁、铝 锌、铁、锡、铅 02 探究2：集合中元素的性质 活动： 戴眼镜的同学举手 女生举手 幽默的同学举手 确定性：集合的元素必须是明确可判断的，能确定哪些属于它，哪些不属于。 02 探究2：集合中元素的性质 思考： “coffee”中英文字母组成的集合有几个元素？ {c，o，f，e} ，四个元素 互异性：集合中的元素是独一无二的，不能重复出现。 02 探究2：集合中元素的性质 思考： “班级里的全体同学”组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 无序性：集合里元素的排列顺序无关紧要，只要元素完全一样，就是同一个集合。 02 探究2：集合中元素的性质 通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 确定性、互异性、无序性 02 探究2：集合中元素的性质 巩固练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”) （1）新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题构成一个集合。 （2）一个集合中可以找到两个相同的元素。 （3）大于3小于11的偶数构成一个集合。 （4）中国的所有直辖市可以构成一个集合。 （5）大于2 013且小于2 018的所有整数不能构成集合。 √ × × √ × 02 探究3：元素和集合的关系 已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用b表示高一(3)班的一位同学，c表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么b，c与集合A分别有什么关系? b是A中的元素，所以b属于集合A c不是A中的元素，所以c不属于集合A 02 探究3：元素和集合的关系 元素和集合的关系： 如果 a 是集合A的元素，就说 a 属于集合A，记作 ； 如果 a 不是集合A中的元素，就说 a 不属于集合A，记作 . 02 探究3：元素和集合的关系 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法： 02 探究3：元素和集合的关系 巩固练习：用符号“∈”或“∉”填空 2 N Q 0 {0} b {a,b,c} 0 N -3 N 0.5 Z Q 0 R Z 0 Z 02 探究4：集合的表示方法 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法. 确定性、互异性、无序性 元素间要用逗号隔开 花括号不能缺失 02 探究4：集合的表示方法 例：用列举法表示下列集合 1.方程的所有实数根； 2.地球上的四大洋； 3.小于10的所有自然数组成的集合； 4. 方程的所有实数根组成的集合； 5.小于10的所有实数组成的集合； 6. 不等式 的解集。 {1，2} {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋} {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} {0，1} 02 探究4：集合的表示方法 例：用列举法表示下列集合 5.小于10的所有实数组成的集合； （1） 集合中的元素都小于10 （2） 集合中的元素都是实数 6. 不等式 的解集。 （1） 集合中的元素都大于5 （2） 集合中的元素都是实数 02 探究4：集合的表示方法 描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 {x∈A|P(x)}. 代表元素 分隔符 花括号 共同特征 元素所属集合 02 探究4：集合的表示方法 例：用描述法表示下列集合 5.小于10的所有实数组成的集合； （1） 集合中的元素都小于10 （2） 集合中的元素都是实数 6. 不等式 的解集。 （1） 集合中的元素都大于5 （2） 集合中的元素都是实数 {x∈R|x＜10} {x∈R|x＞5} 02 探究4：集合的表示方法 我们可以把奇数集表示为： 我们可以把偶数集表示为： 我们可以把有理数集表示为： 02 探究4：集合的表示方法 思考：如何表示正奇数集，正偶数集？ 我们可以把正奇数集表示为： 我们可以把正偶数集表示为： 02 探究4：集合的表示方法 例：分别用列举法和描述法表示下列集合 1.方程的所有实数根组成的集合A； 2.由大于15且小于25的所有整数组成的集合B。 注意：如果从上下文的关系来看， x∈R ，x∈Z 是明确的，那么x∈R ，x∈Z 可以省略，只写元素x. 例如： 也可以表示为 02 探究4：集合的表示方法 思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？ 优点 缺点 列举法 直观、明了 不易看出元素所具有的属性，且有些集合不能用列举法表示 描述法 把集合中元素所具有的性质描述出来，具有抽象性、概括性、普遍性的特点 不易看出集合的具体元素 02 探究4：集合的表示方法 小组讨论：下列集合表示的含义有何不同？ 02 探究4：集合的表示方法 巩固练习：用描述法表示函数y＝x2＋1上的点构成的集合。 {(x，y)|y＝x2＋1} 变式1：本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 变式2：本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 02 探究4：集合的表示方法 思考：如何理解有限集、无限集、可数集（可列集）？ 有限集：如果一个集合里的元素个数是能数得过来的，有一个确定的、有限的数量。A={1,2,3} 无限集：如果一个集合里的元素个数是 “数不完的”，没有尽头。N = {0, 1, 2, 3, …}，Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} 可数集（可列集）：如果一个集合（可以是有限的，也可以是无限的），它的元素能“按一定顺序排列，一个一个数出来”。 03 课堂检测 B D 03 课堂检测 D 03 课堂检测 {x|x＝3n＋1，n∈N} {x|x＝2n，n∈Z且n≥3} {2，3，4，5} D＝{(1,4)} 03 课堂检测 04 课堂小结 1.集合的概念 2.集合中元素的性质 3.元素与集合的关系 4.数集及有关符号 5.集合的表示方法 R N N*或N＋ Z Q 1．下列对象不能构成集合的是(　　) ①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 2．下列三个关系式：①eq \r(5)∈R；②eq \f(1,4)∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 3．a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　) A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 4．已知集合A含有两个元素 和 ，若1∈A，则实数 的值为(　　) （变条件）若将“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，则实数 的值？ （变条件）已知集合A含有两个元素1和 ，若“ ”,则实数 的值？ 5．用适当的方法表示下列集合： (1)被3除余1的正整数的集合； (2)大于4的所有偶数； (3)大于1且小于6的整数组成的集合A； (4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 6. (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝ (　　) A．1 B．2 C．0 D．0或1 (2)设eq \f(1,2)∈ ，则集合 中所有元素之积为________． $