精品解析：云南昆明市第三中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

昆明市第三中学高2026届高二下学期6月月考 数学学科能力测试 命题人：熊 坚 张 林 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据，， ， ，的75百分位数是（ ） A. 11 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】数据从小到大排列为：，，，，， 又， 所以第75百分位数为16. 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：A. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法求解. 【详解】不等式， 转化为，即， 即且， 解得，故解集为. 5. 设等比数列前项和为，若，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵数列为等比数列， ∴，，，成等比数列，且公比为． ∴．选B． 点睛： （1）若等比数列前项和为，则，，，,…仍成等比数列． （2）在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度．解题中要注意挖掘已知和“隐含”的条件． 6. 若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆的方程为，圆心坐标为， 直线方程为，即， 圆心到直线的距离为 ， 因为圆上至少有3个点到直线的距离等于1， 所以圆的半径大于等于圆心到直线的距离与1的和，即， 即， 则半径的取值范围是. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系结合已知条件计算得出，再结合两角和余弦公式计算求解. 【详解】因为，且， 所以，， 则. 故选：A. 8. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值. 【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，， 设“次传球后球在甲手中”，则， 则． 即， 所以，，且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，，所以，， 所以次传球后球在甲手中的概率为． 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 函数图像关于点中心对称 B. 在上单调递减 C. 将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像 D. 直线是曲线离轴最近的对称轴 【答案】AB 【解析】 【分析】由最小正周期求出，得到，再结合三角函数的对称中心、单调性、图像平移、对称轴性质逐一判断选项正误． 【详解】由函数最小正周期为，，得，解得，即． 对于A，正弦函数的对称中心为函数值为0的点，将代入， 得，则图象关于对称，故A正确； 对于B， 当时，，因在上单调递减，则在该区间单调递减，B正确； 对于C，将向右平移个单位，得，故C错误； 对于D，正弦函数对称轴满足，解得. 当时，，到轴距离为；当时，，到轴距离为， 故离轴最近的对称轴为，D错误. 10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作图，利用抛物线的定义，结合直角三角形的性质以及圆与直线的位置关系，可得答案. 【详解】由题意，不妨设在第一象限，分别过作垂直于准线，垂足分别为，作图如下： 对于A，由图可知，， 在中，由，则， 易知，在中，， 由，则为线段的中点，即在中，， 所以，故A正确； 对于B，由A易知，由，则， 即，所以以为直径的圆的半径， 在直角梯形中，中位线的长度为， 则以为直径的圆的圆心到准线的距离，故B正确； 对于C，由A可得，则直线的倾斜角为，即斜率为， 当在第四象限时，同理可得斜率为，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用抽象函数的奇偶性与对称性、周期性一一判定即可. 【详解】∵为奇函数，， ∴关于对称. ∵为偶函数，， ∴关于对称， ∴ ，即的一个周期为4， 故． ∵关于对称，∴， ∴，即， 故得到关于和对称，即B、D正确. 不妨设，显然符合题意，此时， 即A、C错误. 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在答题卡相应位置处填写你认为正确的答案. 12. 在水流速度为的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以的速度船在静水中的速度航行，则船实际航行的速度的大小为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】已知水流速度与船在静水中速度互相垂直，则两个分速度构成直角三角形， 由勾股定理得． 13. 设函数，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】令，将看成一个整体，根据乘法求导法则计算即可得到． 【详解】令，则， 故， 因此． 14. 在一个底面边长为4，容积为的正四棱锥容器中，放置了一大一小两个小球，小球在上，大球在下，两个球相外切，且均与容器壁相切，大球与底部亦相切，求小球的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，可画出内切球的切面图，分别求出大球和小球的半径分别为和，从而求出小球的体积. 【详解】 设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则， 由正四棱锥的体积，可得 ， 如图，在截面PMO中，设N为球与平面PAB的切点，则N在PM上， 且，设球的半径为R，则， ∵，∴，则，，∴， 设球与球相切于点Q，则， 设球的半径为r，同理，所以， 所以，∴， 故小球的表面积. 故答案为： 四、解答题：在答题卡相应区域作答，要求写出必要的解题过程，共77分. 15. 在数列中，，且满足，数列的前项和为，且． （1）求和的通项公式； （2）令，记的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）等式两边加1，构造出等比数列，利用与之间的关系求解； （2）由（1）得出，再利用错位相减法及公式法求和即可． 【小问1详解】 ，， 是首项为2，公比为2的等比数列，即； 由，当时，， 当时，，也满足， ， 【小问2详解】 ， ， ① ②， ①②可得 即， ． 16. 如图，在四棱 锥中，平面平面，， ，，，且. （1）证明： . （2）设平面 与平面 的交线为 . ①证明：. ②求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以； （2）①因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，即； ②. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得线面垂直，再由线面垂直的性质定理得线线垂直； （2）①由线面平行的判定定理得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行； ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，用向量方法求出线面角的正弦值，再求其余弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②过在平面内作， 由（1）知平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，所以以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面 所成角为， 则， 因为为锐角， 所以 17. 已知函数(为自然对数的底数)． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切点坐标，进而求出切线方程； （2）转化恒成立条件，利用导数分析函数单调性，进而求出函数最值，从而求出实数的最大值． 【小问1详解】 ， 求导得， 代入得， ， 切线斜率，且过点，故切线方程为． 【小问2详解】 条件恒成立，即， 要使取最大值，则需取， ， ，则，， 则，故， 又，故，在上单调递减， 故， 故的最大值为． 18. 已知椭圆的离心率为，上的点与其中一个焦点的距离的最小值为． （1）求的方程； （2）设直线与相交于不同的两点，． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）当时，求的值． 【答案】（1） （2） （ⅰ）由得. 因为直线与椭圆有两个交点， 所以，即（*）， 设，，,则， 所以， 故， 因此为定值， （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及椭圆的性质即可求解得解， （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率公式即可求解为定值，（ⅱ）根据弦长公式即可求解. 【小问1详解】 依题意得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），因此， 化简可得，即， 解得，均满足（*）， 故 19. 在班级一次活动中，进行一个轮摸球游戏，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黄、蓝三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸到红球.则试验成功；若摸到黄球，则试验失败；若摸出蓝球，则进入判定环节：判定时，放回2个蓝球并取出1个黄球，再从中随机摸出一个球，若第二次摸到黄球，则试验失败，否则试验成功．若成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个蓝球，个黄球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）； （2），预测成功志愿者的比例为； （3）由题意，轮试验失败的概率为，设第轮试验失败的概率为，则， 其中发生有两种可能：①摸到黄球，其概率为； ②先摸到蓝球再摸到黄球，其概率为. 所以， 则， 所以. 【解析】 【分析】（1）按照试验规则，分别求出直接摸出红球和先摸出蓝球且试验成功的概率，然后利用互斥事件概率加法公式求解即可； （2）先根据给定的回归方程相关公式计算出，从而求出经验回归方程，再根据试验轮数足够大时的变化趋势预测试验成功志愿者的比例； （3）通过对试验成功概率的递推关系进行分析，利用放缩法证明即可. 【小问1详解】 第1轮试验中有1个红球，1个蓝球，2个黄球， 摸到红球即试验成功的概率为， 摸出蓝球且试验成功的概率为， 所以，第1轮试验成功的概率为. 【小问2详解】 由题意，， 所以，则所求经验回归方程为. 当试验轮数足够大，即足够大时，接近于0，则接近于，故预测成功志愿者的比例为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学高2026届高二下学期6月月考 数学学科能力测试 命题人：熊 坚 张 林 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据，， ， ，的75百分位数是（ ） A. 11 B. 14 C. 15 D. 16 2. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 3. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 设等比数列前项和为，若，，则 A. B. C. D. 6. 若圆上至少有 个点到直线的距离等于 ，则半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 函数图像关于点中心对称 B. 在上单调递减 C. 将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像 D. 直线是曲线离轴最近的对称轴 10. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点在线段上，若，且为原点则下列说法正确的是（ ） A. B. 以为直径的圆与准线相切 C. 直线斜率为 D. 11. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.在答题卡相应位置处填写你认为正确的答案. 12. 在水流速度为的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以的速度船在静水中的速度航行，则船实际航行的速度的大小为_______________． 13. 设函数，则的值为_________． 14. 在一个底面边长为4，容积为的正四棱锥容器中，放置了一大一小两个小球，小球在上，大球在下，两个球相外切，且均与容器壁相切，大球与底部亦相切，求小球的体积为_____. 四、解答题：在答题卡相应区域作答，要求写出必要的解题过程，共77分. 15. 在数列中，，且满足，数列的前项和为，且． （1）求和的通项公式； （2）令，记的前项和为，求． 16. 如图，在四棱 锥中，平面平面，， ，，，且. （1）证明： . （2）设平面 与平面 的交线为 . ①证明：. ②求与平面所成角的余弦值. 17. 已知函数(为自然对数的底数)． （1）求曲线 在 处的切线方程； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数的最大值． 18. 已知椭圆的离心率为，上的点与其中一个焦点的距离的最小值为． （1）求的方程； （2）设直线与相交于不同的两点，． （ⅰ）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值； （ⅱ）当时，求的值． 19. 在班级一次活动中，进行一个轮摸球游戏，规则如下：每一轮试验时，袋中均有红、黄、蓝三种颜色的球，从中随机摸出一个球（摸出的球不再放回），若摸到红球.则试验成功；若摸到黄球，则试验失败；若摸出蓝球，则进入判定环节：判定时，放回2个蓝球并取出1个黄球，再从中随机摸出一个球，若第二次摸到黄球，则试验失败，否则试验成功．若成功，则结束试验，若试验失败，则进行下一轮试验，直至成功或轮试验进行完．已知第轮试验开始时，袋中有1个红球，个蓝球，个黄球． （1）求第1轮试验成功的概率； （2）某团队对这个试验进行了一定的研究，请若干志愿者进行了5轮试验，并记录了第轮试验成功志愿者的比例，记，发现与线性相关，求关于的经验回归方程，并预测试验轮数足够大时，试验成功志愿者的比例； （3）记试验结束时，试验成功的概率为，证明：． 参考数据：，，，． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $