精品解析：云南省楚雄第一中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷

云南省楚雄第一中学2025-2026学年春季学期6月月考 高二年级 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用补集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵全集，集合， ∴， 故选D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，属于基础题. 2. 设是虚数单位，若复数（），且z的共轭复数是实数，则a的值为（       ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，得出共轭复数，根据是实数，列方程，即可求出a的值. 【详解】由题意，复数，则， 因为复数是实数，所以，解得， 即实数a的值为2. 故选：D. 3. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 5. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 6. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A. (–1,3) B. (–1,) C. (0,3) D. (0,) 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 【考点】双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错. 7. 已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案． 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为． 8. 已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B. 圆台的侧面积是 C. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D. 圆台的体积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A；求出圆台侧面积判断B；求出圆台外接球半径求解判断C；求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，得圆台的高为：， 对于A，圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，A错误； 对于B，圆台的侧面积为，B错误； 对于C，依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则，解得，该球的表面积为，C错误； 对于D，圆台体积为， D正确. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ） A. 直线AB与OM垂直 B. 若点M坐标为，则直线方程为 C. 若直线方程为，则点M坐标为 D. 若直线方程为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误． 【详解】对于A：设,则，相减可得，所以，故 A错误； 对于B：根据，，所以，所以直线方程为，即，故B正确； 对于C：若直线方程为，点，则，所以C错误； 对于D：若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得， 所以，故D错误； 故选：ACD． 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 奇数项的二项式系数和为64 B. 第6项和第7项二项式系数相等 C. 第4项系数为280 D. 系数最大的是第6项 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AB，根据二项展开式的通项公式求解可判断C；列不等式求最大项的系数，判断D. 【详解】 对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确； 对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为,不相等，故B错误； 对于C：第4项为，所以第4项的系数为，故C正确； 对于D：二项展开式的通项为， 由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确. .故选：ACD. 11. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，，得到，，结合条件概率的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于B，由，可得， 因为，可得， 所以，所以B正确； 对于A，由，可得，所以A错误； 对于C，由，可得， 且， 根据条件概率的公式，可得，所以C正确； 对于D，由条件概率的计算公式，可得，所以D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标________． 【答案】或 【解析】 【分析】设点的坐标为，分和两种情况代入坐标列方程求解. 【详解】设点的坐标为， 当时，，即， 所以， 所以，得， 当时，，即， 所以， 所以，得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 13. 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 14. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，外接圆的面积为，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得：， 进而可得出角的大小；由外接圆的面积为可得出其外接圆的半径，再根据正弦定理可得出角和的大小以及边的值，最后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】由，可得： ， 即：， 化简得：， 角化边得：，即：， 所以，所以， 设的外接圆半径为R，因为外接圆的面积为，， 所以有：，解之得：， ，又，所以， ，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”．该学校工会随机抽取了本校名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； （2）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值元；判断元的预算是否足够． 【答案】（1） 0 1 2 3 ； （2）足够 【解析】 【分析】（1）先通过频率分布直方图求出“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，然后求出的所有可能的值以及对应的概率，即可列出的分布列，并求出的数学期望； （2）通过频率分布直方图可求出、内的人数，然后求出奖励所需要的总金额并与进行对比，即可得出结果． 【小问1详解】 由频率分布直方图易知，名教职工中“不健康生活方式者”有人， “超健康生活方式者”有人， 则的所有可能的值为、、、， ， ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 ． 【小问2详解】 用样本估计总体，步数在内的概率为，有人， 步数在内的概率为，有人， 因为，所以元的预算足够． 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 【答案】（1） （2）45 【解析】 【分析】（1）根据求出数列的通项公式即可. （2）先列出数列的前90项和，然后利用三角函数的二倍角公式进行化简，进而求出结果. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 当时满足，故. 【小问2详解】 设数列的前90项和为，又， 则 因为， 所以 ， 所以. 17. 如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） 证明：选条件①：由， 根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立； 选条件②：． 连接，在正方体中，由平面， 因为平面，所以， 又因为，， 所以， 因为平面，所以， 又因为为的中点， 所以为的中点． 选择条件 ③：平面． 连接，因为平面，平面， 且平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可得出结果. （3）由（2）可知，直线与平面所成的角为，利用计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则．于是， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为， 【小问3详解】 点到平面的距离为. 18. 已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【小问1详解】 由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. 【小问2详解】 ①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 19. 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 【答案】（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】 【详解】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数． 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数． 又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). （Ⅲ）证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省楚雄第一中学2025-2026学年春季学期6月月考 高二年级 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，则 A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，若复数（），且z的共轭复数是实数，则a的值为（       ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 54 D. 162 4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 5. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 6. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A. (–1,3) B. (–1,) C. (0,3) D. (0,) 7. 已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（ ） A. 圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B. 圆台的侧面积是 C. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D. 圆台的体积为 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ） A. 直线AB与OM垂直 B. 若点M坐标为，则直线方程为 C. 若直线方程为，则点M坐标为 D. 若直线方程为，则 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 奇数项的二项式系数和为64 B. 第6项和第7项二项式系数相等 C. 第4项系数为280 D. 系数最大的是第6项 11. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标________． 13. 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 14. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，外接圆的面积为，且，则的面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”．该学校工会随机抽取了本校名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； （2）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值元；判断元的预算是否足够． 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 17. 如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． （1）求抛物线的方程； （2）设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为； ②求面积的最小值. 19. 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $