云南省楚雄第一中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷

**基本信息** 高二年级6月月考数学试卷，以集合、复数等知识为载体，通过冬奥会志愿者分配、“日行万步”健康数据等情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维推理及数学语言表达，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、数列、概率、椭圆等|单选夯实基础，多选综合辨析，如二项式定理题区分系数与二项式系数| |填空题|3题15分|向量、圆、解三角形|注重空间想象与运算，如向量三等分点坐标计算| |解答题|5题77分|统计概率、立体几何、抛物线、函数|情境真实且层次递进，“日行万步”统计分析体现数据意识，函数证明考查逻辑推理，立体几何开放条件设计提升探究能力|

云南省楚雄第一中学2025-2026学年春季学期6月月考 高二年级 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C A A D D ABC ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【难度】0.94 【知识点】补集的概念及运算 【解析】利用补集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵全集，集合， ∴， 故选D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，属于基础题. 2．D 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，得出共轭复数，根据是实数，列方程，即可求出a的值. 【详解】由题意，复数，则， 因为复数是实数，所以，解得， 即实数a的值为2. 故选：D. 3．C 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 4．C 【难度】0.85 【知识点】排列组合综合 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 5．A 【难度】0.85 【知识点】计算条件概率 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 6．A 【难度】0.65 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的焦距 【详解】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 【考点】双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错. 7．D 【难度】0.72 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线截距式方程及辨析、基本初等函数的导数公式 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案． 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为． 8．D 【难度】0.6 【知识点】球的表面积的有关计算、台体体积的有关计算、圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】根据给定条件，求出圆台的高，利用圆台的结构特征求解判断A；求出圆台侧面积判断B；求出圆台外接球半径求解判断C；求出圆台体积判断D. 【详解】由圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，得圆台的高为：， 对于A，圆台的轴截面是底角为的等腰梯形，A错误； 对于B，圆台的侧面积为，B错误； 对于C，依题意，球心在两底面圆的圆心确定的直线上，设球心到上底面的距离为，球半径为， 则，解得，该球的表面积为，C错误； 对于D，圆台体积为， D正确. 9．ABC 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、由韦达定理或斜率求弦中点、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】利用椭圆中中点弦问题的处理方法，结合弦长的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】不妨设坐标为，则，两式作差可得： ，设，则. 对A：，故直线不垂直，则A错误； 对B：若直线方程为，联立椭圆方程， 可得：，解得，故， 则，故错误； 对：若直线方程为y=x+1，故可得，即，又， 解得，即，故错误； 对：若点M坐标为,则，则， 又过点，则直线的方程为，即，故正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查椭圆中弦长的求解，以及中点弦问题的处理方法；解决问题的关键是利用点差法，属中档题. 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式的系数和、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AB，根据二项展开式的通项公式求解可判断C；列不等式求最大项的系数，判断D. 【详解】 对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确； 对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为,不相等，故B错误； 对于C：第4项为，所以第4项的系数为，故C正确； 对于D：二项展开式的通项为， 由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确. .故选：ACD. 11．BCD 【难度】0.56 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算条件概率 【分析】根据题意，求得，，得到，，结合条件概率的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于B，由，可得， 因为，可得， 所以，所以B正确； 对于A，由，可得，所以A错误； 对于C，由，可得， 且， 根据条件概率的公式，可得，所以C正确； 对于D，由条件概率的计算公式，可得，所以D正确. 12．或 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】设点的坐标为，分和两种情况代入坐标列方程求解. 【详解】设点的坐标为， 当时，，即， 所以， 所以，得， 当时，，即， 所以， 所以，得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 13． 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 14． 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由，可得：， 进而可得出角的大小；由外接圆的面积为可得出其外接圆的半径，再根据正弦定理可得出角和的大小以及边的值，最后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】由，可得： ， 即：， 化简得：， 角化边得：，即：， 所以，所以， 设的外接圆半径为R，因为外接圆的面积为，， 所以有：，解之得：， ，又，所以， ，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 15．(1)分布列见解析，； (2)足够. 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、写出简单离散型随机变量分布列、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）先通过频率分布直方图求出“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”的人数，然后求出的所有可能的值以及对应的概率，即可列出的分布列，并求出的数学期望； （2）通过频率分布直方图可求出、内的人数，然后求出奖励所需要的总金额并与进行对比，即可得出结果. 【详解】（1）由频率分布直方图易知，50名教职工中“不健康生活方式者”有人， “超健康生活方式者”有人. 则的所有可能的值为、、、， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 . （2）用样本估计总体，步数在内的概率为，有人， 步数在内的概率为，有人， 因为，所以元的预算足够. 16．(1) (2)45 【难度】0.75 【知识点】二倍角的余弦公式、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据求出数列的通项公式即可. （2）先列出数列的前90项和，然后利用三角函数的二倍角公式进行化简，进而求出结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时满足，故. （2）设数列的前90项和为，又， 则 因为， 所以 ， 所以. 17．(1) 证明：选条件①：由， 根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立； 选条件②：． 连接，在正方体中，由平面， 因为平面，所以， 又因为，， 所以， 因为平面，所以， 又因为为的中点， 所以为的中点． 选择条件 ③：平面． 连接，因为平面，平面， 且平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点． (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，即可得出结果. （3）由（2）可知，直线与平面所成的角为，利用计算即可. 【详解】（1）略 （2）在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则．于是， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为， （3）点到平面的距离为. 18．(1) (2)①证明见解析；② 【难度】0.55 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】（1）由焦点，得抛物线的方程为；再根据焦点到直线的距离，求出，即可得到抛物线的方程； （2）①，设切点的坐标，根据抛物线方程求导得到切线斜率，得出过的切线方程；因为两条切线都过点，所以将坐标代入两个切线方程，得到坐标满足的共同关系式，即可推导出直线的方程； ②，先联立直线与抛物线的方程，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再用弦长公式计算的长度；然后求点到直线的距离，将面积表示为关于的函数，再求该函数的最小值. 【详解】（1）由抛物线的顶点为原点，焦点为，得抛物线的方程为； 到直线的距离为，，解得； 抛物线的方程为. （2）①设切点，且，. 由得，则； 过点的切线方程为，即； 切线过点，，整理得. 同理，可求得. ，两点都满足方程； 由两点确定一条直线可得，直线的方程为. ②联立直线与抛物线的方程，整理得； Δ，由韦达定理得 ； . 点到直线的距离; 的面积. ，当即时，取得最小值，即； 面积的最小值为. 19．（Ⅰ）f(x)在()内是增函数，在()内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【详解】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数． 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数． 又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). （Ⅲ）证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省楚雄第一中学2025-2026学年春季学期6月月考 高二年级 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，则 A． B． C． D． 2．设是虚数单位，若复数（），且z的共轭复数是实数，则a的值为（ ） A． B． C．1 D．2 3．已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 4．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 5．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 6．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,) 7．已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长为，则下列结论中正确的是（     ） A．圆台的轴截面是底角为的等腰梯形 B．圆台的侧面积是 C．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 D．圆台的体积为 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论错误的是（    ） A．直线AB与OM垂直； B．若直线方程为，则. C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若点M坐标为，则直线方程为； 10．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．奇数项的二项式系数和为64 B．第6项和第7项二项式系数相等 C．第4项系数为280 D．系数最大的是第6项 11．已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知点，向量，点是线段的三等分点，求点的坐标________． 13．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 14．的内角，，所对的边分别为，，，已知，外接圆的面积为，且，则的面积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”.该学校工会随机抽取了本校50名教职工，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)学校工会准备从样本中的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中再抽取3人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的3人中“超健康生活方式者”人数为，求的分布列和数学期望； (2)用样本估计总体，将频率视为概率.若工会打算对该校全体1000名教职工中的“超健康生活方式者”进行鼓励，其中步数在内的教职工奖励一件恤，价值50元；步数在内的教职工奖励一件恤和一条运动裤，价值100元；判断10000元的预算是否足够. 16．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 17．如图，正方体的棱长为，为的中点，点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点唯一确定，并解答问题.条件①：；条件②：；条件③：平面. (1)求证：为的中点； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知抛物线的顶点为原点，焦点到直线的距离为． (1)求抛物线的方程； (2)设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点． ①证明：直线的方程为；      ②求面积的最小值. 19．已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $