2.1 平方根和立方根 暑假巩固练习 2025--2026学年湘教版七年级数学下册

**基本信息** 以平方根和立方根为核心，通过概念辨析、计算应用及综合探究，构建从基础到拓展的知识逻辑链，渗透数学抽象与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/4/5|结合现实情境（航天数据）判断无理数，估算无理数范围|从无理数定义到数感培养，衔接平方根性质| |计算应用|单选2/6/8、填空10-14|平方根立方根基本计算，利用性质求参数|概念→性质→计算，形成“定义-运算-应用”链条| |综合探究|解答17-23|正方体体积、苔藓生长模型、新定义“完全数组”|融合方程思想与空间观念，体现数学建模与推理能力|

2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 2.1平方根和立方根基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A，是整数，属于有理数； 选项B，是分数，属于有理数； 选项C，是整数，属于有理数； 选项D，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2．的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，需要注意正数有两个互为相反数的平方根，不要与算术平方根混淆． 【详解】解： ， 的平方根为 ． 3．已知是方程的一组解，那么的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用方程的解的定义．将已知解代入原方程求出的值．再计算的立方根即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的解． ∴将代入方程得： 整理得．解得． ∵的立方根是． ∴的立方根是． 4．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为 ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米 ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压 ④火箭发动机某部件体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数，逐个分析． 【详解】解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ，是无限不循环小数，因此是无理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共个． 5．下面各数，与最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∵ ， ∴与最接近的整数是4． 6．计算8的立方根与的平方根之和是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需先分别求出8的立方根和的平方根，再分情况计算二者的和，即可得到结果，解题关键是注意的平方根是9的平方根，不是81的平方根. 【详解】解：∵， ∴8的立方根为， 又∵，且， ∴的平方根为， 当的平方根取时，； 当的平方根取时，， 因此和为或． 7．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选：B． 8．已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】将所求的设为新未知数，把原方程转化为关于新未知数的式子，再利用完全平方公式展开化简，即可求出结果． 【详解】解：设， ，， 代入原方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 整理得 ， 开平方得 ， 即． 9．对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】结合新定义，算术平方根性质和推导，的关系式，可判断（1）、（2）；进一步得到规律：，可判断（3）． 【详解】解：由题意得：，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 当时，，故说法（1）正确； 当时，，故说法（2）正确； 当，，，，时， 则，，，，， ∴， 当时， ， 故说法（3）正确； 综上所述，三个说法均正确，正确个数是个． 二、填空题 10．计算：________． 【答案】2 【详解】解： 11．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】7 【分析】根据正数平方根的性质列出方程．一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为，据此列方程求解即可． 【详解】解：由平方根的性质，得 ， 化简得， 解得． 12．四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】先根据四个正方体体积之和求出单个正方体的体积，再结合正方体体积公式计算得到棱长． 【详解】解：设每个正方体的棱长为， 根据题意列方程得： 系数化为得： 对等式两边开立方得： 棱长为正数，符合实际意义， 故每个正方体的棱长是． 13．已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和算术平方根的定义，求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得，， ． 14．一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再计算的值，进而求出的立方根． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴的立方根为． 15．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 三、解答题 16．求下列等式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）方程两边同时除以3，再开平方，即可作答． （2）先移项合并同类项，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 17．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【答案】 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 18．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】冰川约是在37年前消失的 【分析】先根据以及苔藓的直径是35厘米，建立，再解得，即可作答． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴， 即， 答：冰川约是在37年前消失的． 19．一个正数的两个平方根分别是和，且． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)和的值分别为1和 (2)5 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，结合，进行求解即可； （2）先求出x的值，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得： 和的值分别为1和； （2）解：∵， ， ， ∴， ∴． 20．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 【答案】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组” (2)的值为或 【分析】（1）根据题中所给新定义进行求解即可； （2）根据题意可分当和，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或． 21．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 当时，． ∴． （2）解：∵和是正数的两个不相等的平方根， ∴． 由题意可得，． 解得． ∵， ∴． 22．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 【答案】(1)B (2) 和 (3) 【分析】（1）根据的取值范围判断选项即可； （2）按定义计算出和，即可写出变换数对； （3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到和的值． 【详解】（1）解：由定义得，对任意输入数对，，因此， 任意输出的变换数对为或，因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、，，可能； 选项B、，两个数都大于0，不可能； 选项C、，可能； 选项D、，两个数都不大于0，可能； （2）解：输入数对，则， ∴，， ∴输出的变换数对为和； （3）解：已知其中一个输出结果是， 分两种情况讨论： 若，则与矛盾，此情况舍去； 若， 由，得， 由，得，两边平方得，满足， 因此． 23．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：的立方根是， ， ； 的算术平方根为3， ， ，且， ； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， 的平方根为； （3）解：， 的立方根为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级数学暑假作业（湘教版） 2.1平方根和立方根基础巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．的平方根为（     ） A． B． C． D． 3．已知是方程的一组解，那么的立方根是（   ） A． B． C． D． 4．某校开展“数学与航天”主题活动，同学们搜集到以下与航天相关的数据： ①“嫦娥五号”轨道修正次数与总飞行距离的比值约为 ②某卫星绕地球飞行轨道运行的距离为万千米 ③“天宫”空间站核心舱密封舱体内气压维持为个标准大气压 ④火箭发动机某部件体积恰好为立方米． 老师要求找出上述数据中属于无理数的个数，正确答案是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．下面各数，与最接近的整数是（     ） A． B． C． D． 6．计算8的立方根与的平方根之和是（     ） A． B． C．或 D．或 7．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 9．对于两个正整数、，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第二次操作：计算与的差的算术平方根，记作；第三次操作：计算与的差的算术平方根，记作；…依次类推，若，则下列说法：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，，，，时，对应的值分别为，，，，，若，则，其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 10．计算：________． 11．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 12．四个棱长相等的正方体的体积之和是，则每个正方体的棱长是______． 13．已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 14．一个正数x的平方根是与，则的立方根为______． 15．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 三、解答题 16．求下列等式中的值： (1)； (2)． 17．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 18．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径（单位：厘米），t代表自冰川消失时起经过的时间（单位：年）．如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 19．一个正数的两个平方根分别是和，且． (1)求和的值； (2)求的值． 20．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 21．已知正数的两个不相等的平方根为和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 22．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 23．已知的立方根是，的算术平方根为3，，且． (1)求，，的值； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $