四川省仁寿第一中学校（北校区） 2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

**基本信息** 本试卷覆盖高一数学核心知识，通过复数运算、分层抽样、立体几何等题型，结合“天宫课堂”兴趣调查、频率分布直方图分析等情境，考查数学抽象、空间观念与数据处理能力，解答题梯度设计合理，注重知识综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、分层抽样、空间线面关系|基础巩固，如第2题分层抽样结合实际调查| |多选题|3/18|概率独立性、向量新定义|能力提升，如第10题向量新坐标系创新应用| |填空题|3/15|分层抽样应用、向量外积、勒洛四面体|创新应用，第14题勒洛四面体考查空间想象| |解答题|5/77|统计案例、立体几何证明与计算、解三角形|综合探究，第16题频率分布直方图分析数据，第19题二面角计算体现逻辑推理|

仁寿一中北校区高2025级高一下学期期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 3. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 7. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，，当过三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件A与事件E相互独立 D. 事件A与事件B相互独立 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______. 13. 定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）．已知点，则_________． 14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是__________． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 17. 已知向量，若，与的夹角为． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 19. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点. （1）证明：平面； （2）判断直线CM与平面的位置关系，并证明你的结论； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一下学期期末考试数学试题答案解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题只有一个选项符合题目要求． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A【详解】由条件可知，，所以. 2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ） A. 40人 B. 36人 C. 30人 D. 24人 【答案】D 【详解】由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人， 则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为， 根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，故选：D 3. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A【详解】若，则，A选项正确. 若，则，也可能相交，B选项错误； 若，则，也可能，C选项错误； 若，则，还可能，，和相交但不垂直，D选项错误.故选：A. 4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】向量，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：B 5. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 6. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误. 7. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为平面，底面是正方形，所以 由线面垂直的判定定理可得平面，则平面 则是直线与平面所成角,， 直线与平面的夹角的范围为 8. 在正四棱锥中，，当过三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为， 则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径. 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接、、、，过作，交于点N， 则为正四棱锥的高，， 由知，平面，且，即球心到截面的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以球被平面所截截面的面积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件A与事件C相互独立 C. 事件A与事件E相互独立 D. 事件A与事件B相互独立 【答案】ABD 【详解】根据题意，，，，， 对于A，由于是不放回的取球，则，故A正确； 对于B，因为，所以事件与相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件与不相互独立，故C错误； 对于D，因为，所以事件与相互独立，故D正确.故选：ABD. 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【详解】因为，为单位向量，且夹角为，所以， 因为，，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C错误； 在上的投影向量为，D正确. 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ） A. B. 点到平面的距离为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为 【答案】ACD【详解】因为，，平面， 所以平面，又平面，所以，故A正确； 设点到平面的距离为，由， 得，解得，故B错误； 因为， 所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确； 将沿转动到与在同一平面内，图1所示： 则周长的最小值为，由勾股定理可得，故D正确.故选：ACD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卷相应的横线上． 12. 某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______. 【答案】100【详解】由题意，应抽取数学样卷的份数为. 13. 定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）．已知点，则_________． 【答案】5【详解】因为点，所以， ，所以 则．故答案为：5. 14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是__________． 【答案】【详解】解：如图所示： 设O为底面的中心，为其外接球的球心，半径为R， 由勒洛四面体和正四面体的对称性知: 为勒洛四面体内切球的球心， 由题意，勒洛四面体内切球的半径为正四面体的棱长减去R， 则， 在中，，解得， 所以该勒洛四面体内切球的半径是 ，故答案为： 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】由题知 若是实数，则，解得； 【小问2详解】由题知 若是纯虚数，则，解得，所以. 16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． （1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1）， （2）平均数为，第80百分位数为. （3） 【小问1详解】由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； 【小问2详解】平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 17. 已知向量，若，与的夹角为． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】因为，与的夹角为，所以， ∴，∴． 【小问2详解】由（1）可知，∴． ∵， 设与的夹角为，∴． 18．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意， 又，所以．又，所以或，所以. （2） 因为，，由正弦定理得：， 则，．易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以，两边平方得：， 代入并整理：，由余弦定理：，所以． 19. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点. （1）证明：平面； （2）判断直线CM与平面的位置关系，并证明你的结论； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）平面，证明见解析 （3） 【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可证明； （2）利用线面平行的判定定理即可证明； （3）几何法求解.先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角. 【小问1详解】 由底面ABCD，底面ABCD，则， 在直角梯形中，，则， 又，平面，所以平面； 【小问2详解】平面，证明如下,如图： 取PA中点E，连接ME，DE，由于M是PB的中点，故，且， 由，则，且， 从而四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】作，垂足为N，连接BN，如图： 在中，，又，所以≌，可得， 则≌，故，故为所求二面角的平面角， 由（1）知平面，由平面，可得， 在中，，所以， 在等腰三角形中，，所以， 因为，在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $