四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期6月期末模拟（数学） 试题

**基本信息** 以赵爽弦图、垃圾分类统计、开车测山高等真实情境为载体，融合复数、立体几何、概率统计等知识，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题及数学语言表达的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|统计（频率分布直方图）、立体几何（线面平行/面面垂直）、解三角形（向量与角平分线）|垃圾分类竞赛统计题培养数据意识，赵爽弦图题渗透文化传承，开车测山高题体现应用意识|

仁寿一中南校区2025-2026学年高一下学期6月期末模拟（数学）试题 （满分150分，120分钟完成） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】由，得复数 在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 2. 在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于A，因为，则不共线，故A正确； 对于B，因为，则共线，故B错误； 对于C，因为，则共线，故C错误； 对于D，因为，则共线，故D错误. 故选：A. 3.已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】对A：若，则或，或或与相交，错误； 对B：若，则或，错误； 对C：若，则或，错误； 对D：若，则，正确. 故选：D 4. （ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】. 故选：B 5.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【解析】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为， 方差为， 可以出现点数6，故D错误； 故选：C 7. 如图所示，三棱柱中，若、分别为， 靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 60 【答案】C 【解析】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为 ，体积为，则，因为、分别为， 靠近点的三等分点，则， 可得，所以右半部分的体积. 8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形中，已知，，在线段上任取一点，线段上任取一点，则的最大值为（ ） A. 25 B. 27 C. 29 D. 31 【解析】建立如图所示平面直角坐标系， 法一（坐标法）：设，， ， . ，所以当时， 取得最大值为.故选：C 法二（基底法）：设丨， 时，取得最大值为16+12+1=29. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【解析】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为， A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差， 可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，， ，D对. 故选：ACD. 10.在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，有下列结论正确的是（ ） A. B.点的距离是 C.平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为60° D.异面直线所成角的取值范围是 【答案】AB 【解析】对A由正方体的性质与面面平行的判定定理可得：平面A1BC1∥平面AD1C， ∴A1P∥平面AB1D1，A正确； 对B，法一（秒杀解）平面A1BC1∥平面AD1C，且垂直又三等分， 点的距离是 .（二级结论：正方体三角截面的性质（正方体三角截面平行且垂直体对角线且三等分体对角线，正方体所有棱长与三角截面所成角的都相等）B正确． 法二：等体积法，平面A1BC1∥平面AD1C， 的距离h为所求， B正确． 对C，由正方体的性质可得：DB1⊥平面ACD1，∴平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为90°．C不正确； D∵AD1∥BC1，A1P与BC1所成角为异面直线所成角，连接A1C1，A1B，可得△A1BC1为等边三角形，此时A1P与BC1所成角最小，可得A1P与BC1所成角的范围是，D不正确． 故选AB。 11．已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A．的图象关于直线轴对称 B．在区间上单调递增 C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得 D．函数在区间上有且仅有一个零点 【答案】BD 【解析】由图像可知，最高点为，故；最高点在处，相邻零点在， 设函数的最小正周期为， 因此，所以， 结合可得，；将代入，即，所以.结合，解得，因此. 对于选项A.，A错误. 对于选项B.令， 解得. 当时，递增区间为，且，故在该区间单调递增，B正确. 对于选项C.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，变为原来的，得函数为，C错误. 对于选项D.的零点即的交点. 当时：，时取等号，，时取等号，无零点； 当时：单调递减，单调递增，函数单调递减， 又，，此处存在1个零点； 当：，而，故，无零点； 当：从上升到，而，恒成立，无零点. 因此在上仅有1个零点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________． 【答案】 【解析】因为，所以这组样本数据的第60百分位数是. 故答案为：. 13. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】因为，，所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14. 在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】 【解析】因为，所以和均是腰长为的等腰直角三角形， 将其补充为如图1所示的长方形，将沿折起，则是二面角的平面角， 折起后得到如图2所示的上下底面是边长为的等边三角形的直三棱柱， 且该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球， 设外接圆的半径为，则，所以， 又三棱柱的高为，所以三棱柱外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数 是关于的方程的一个根，复数． （1）求； （2）若复数为纯虚数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题知， 整理得， 则，解得，所以， ． （2）由（1）知，， 因为复数为纯虚数，所以，解得 ， 所以，所以． 16.. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩 （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； （3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 【答案】（1） （2）平均数为，众数为，中位数为 （3） 【解析】（1）由题可知， 解得； （2）平均数， 众数为，根据题意，中位数在，设中位数为 ，解得：，则中位数为； （3）竞赛成绩在，，内的比人数例为， 故内被抽取的人数为（人）． 17. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且. （1）求此山的高的值； （2）求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设，在中，因为，所以， 同理，在中，， 在中，由余弦定理得， 由，所以，解得（负值已舍去），所以此山的高为； （2）由（1）得，设是线段上一动点，连接， 则在点处观测点的仰角为，且， 因为，，所以， 当时，最短，记最小值为，由， 即，解得，所以， 所以该车从到行驶过程中观测点仰角正切值的最大值为． 18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 19.在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． 【解析】（1）且 ，即. . 又，则，结合，； （2）而 为角的角平分线 即，； （3）设，则； 设，则 在中即 在中 即， 则. 又，而 ， 由和差化积公式可得. 则. ，； 解法二：， ， . ． . ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2025-2026学年高一下学期6月期末模拟（数学）试题 （满分150分，120分钟完成） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3.已知平面和不重合的两条直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. （ ） A. B. 4 C. D. 2 5.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8 7. 如图所示，三棱柱中，若、分别为， 靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（ ） A. 48 B. 52 C. 56 D. 60 8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图)，后人称其为“赵爽弦图”.在直角三角形中，已知，，在线段上任取一点，线段上任取一点，则的最大值为（ ） A. 25 B. 27 C. 29 D. 31 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B. 已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C. 已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D. 已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 10.在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，有下列结论正确的是（ ） A. B.点的距离是 C.平面PB1D与平面ACD1所成的二面角为60° D.异面直线所成角的取值范围是 11．已知函数的部分图象如图所示，则（     ） A．的图象关于直线轴对称 B．在区间上单调递增 C．将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得 D．函数在区间上有且仅有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，171，172，173，175．则这组样本数据的第60百分位数是________． 13. 若向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为______． 14. 在平行四边形ABCD中，，现将沿折起，使二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数 是关于的方程的一个根，复数． （1）求； （2）若复数为纯虚数，求． 16.. 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩 （单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数，众数，中位数； （3）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取28名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 17. 如图，某人开车在山脚下水平公路上自向行驶，在处测得山顶处的仰角，该车以的速度匀速行驶4分钟后，到达处，此时测得仰角，且. （1）求此山的高的值； （2）求该车从到行驶过程中观测点的仰角正切值的最大值． 18.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 19.在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点． （1）求角的大小； （2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度； （3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围． . 1 学科网（北京）股份有限公司 $