精品解析：河南省平顶山市汝州市2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025~2026学年下学期期末质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列说法能判断出的是（ ） A. B. C. D. 4. 下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A. 随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B. 随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C. 试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D. 当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 5. 课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 6. 复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有纳米（1纳米米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：则以下结论错误的是（ ） 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 A. 当度时， B. 随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C. 老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少0.2m D. 估计当度时，f一定小于 8. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形 B. 若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形 C. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 9. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为，点P在运动过程中S与t之间的关系如图2所示，则当点P到达终点C时，点P的运动时间是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为：______． 13. 如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若，，，则_____． 14. 如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 15. 已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 （4）他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 19. 某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个． （1）小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个 事件；（填写“必然”、“随机”、“不可能”） （2）小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？ （3）因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同．后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量． 20. 如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． （1）作关于直线l对称的； （2）与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； （3）在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 21. 如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）你认为与相等吗？并说明理由； （2）若，，，求的长． 22. 【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 23. 阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， … 关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； （2）小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年下学期期末质量检测 七年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握根据轴对称图形的定义，寻找汉字的对称轴并判断重合性是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，判断每个汉字是否存在一条对称轴，使汉字沿对称轴折叠后两边完全重合． 【详解】解：A、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、存在竖直或水平的对称轴，沿对称轴折叠后两边完全重合，是轴对称图形，符合题意； C、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、找不到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A选项，因为，所以A选项错误，不符合题意； B选项，因为，所以B选项错误，不符合题意； C选项，因为，所以C选项错误，不符合题意； D选项，因为，所以D选项正确，符合题意． 3. 如图，下列说法能判断出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、由不能判断出，不符合题意； B、由能判断出，符合题意； C、由不能判断出，不符合题意； D、由不能判断出，不符合题意． 4. 下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A. 随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B. 随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C. 试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D. 当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 5. 课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 6. 复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有纳米（1纳米米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据纳米用科学记数法表示，需将其转化为米的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：∵1纳米米． ∴纳米米米， 即将数据纳米用科学记数法表示为米， 故选：B 7. 小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：则以下结论错误的是（ ） 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 A. 当度时， B. 随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C. 老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少0.2m D. 估计当度时，f一定小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了变量之间的关系； 根据表格可直接得出A、B说法正确；根据度和度时镜片与光斑的距离可知C说法错误；根据随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短可知D说法正确． 【详解】解：A.当度时，，正确； B.随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短，正确； C.因为度时，；度时， ∴老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少的说法错误； D.因为随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短，当度时， 所以估计当度时，f一定小于，正确； 故选：C． 8. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形 B. 若三条线段长度之比为，则它们可以构成三角形 C. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形边的性质、三角形的中线、高线、角平分线的性质、垂线段的性质及等腰三角形的三线合一性质逐一判断即可． 【详解】解：选项A，因为三角形中线将原三角形分为两个等底同高的小三角形，所以两个小三角形面积相等，所以A选项正确，不符合题意； 选项B，设三条线段长度为，，（）， 因为， 所以三条线段可以构成三角形， 所以B选项正确，不符合题意； 选项C，等腰三角形只有底边上的高线，底边上的中线，顶角的角平分线互相重合，原说法未指明对应位置，因此C选项错误，符合题意； 选项D，根据垂线段的基本性质，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以D选项正确，不符合题意． 9. 如图，平分于点C，点D在上，若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ， ， ∴的面积为：， 故选：A． 10. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为，点P在运动过程中S与t之间的关系如图2所示，则当点P到达终点C时，点P的运动时间是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24， ， ∴， ， ∴当点P到达终点C时，点P的运动时间是． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，分别计算两项后再求和即可． 【详解】解：． 12. 运动生理学实验发现，跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数，一名体重的学生跳绳次，他所消耗的卡路里（单位：）与（单位：次）之间的关系式为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．根据跳绳所消耗的卡路里体重跳绳次数计算即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：． 13. 如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若，，，则_____． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质与平行线性质的综合运用，解题关键是熟练 等腰三角形和平行线的性质； 先依据等腰三角形等边对等角及三角形内角和，求出的度数；再利用平行线同旁内角互补，算出的度数；最后通过与的差，得到的度数． 【详解】∵，， ∴ ． ∵，， ∴， ∴， 故答案为：70． 14. 如图，在中，，，，射线，垂足为点B，一动点E从C点出发以每秒1个单位长度的速度在线段上运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，设点E运动时间为t（）秒，当___秒时，与全等． 【答案】2 【解析】 【分析】由，，，可得当或时，与全等，解得：或（舍去）． 【详解】解：∵， ， ，， ∴当或时，与全等， 或， 解得：或， ， ， 即当秒时，与全等． 15. 已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，交直线于点，连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得为等腰三角形，则可得．根据三角形的面积公式可得，进而可得答案． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质，轴对称性质的应用，三角形面积公式，熟练掌握基本作图，轴对称性质是解题的关键． 【详解】解：连接，交直线于点，连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得，点F为中点， 故． 根据题意，得 解得， 故的最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（本题8个小题，共75分） 16. 按要求完成各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2），0 【解析】 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ， 把代入上式得：． 17. 小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 （4）他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 【答案】（1）出发后的时长；离山脚的相对高度y （2）15；20 （3）见解析 （4）60或105 【解析】 【分析】本题主要考查了用函数图象表示变量之间的关系，解答时理清函数图象的意义是解题的关键． （1）由图即可求解； （2）根据速度，并结合图象即可求解； （3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可； （4）根据图象分两种情况：他们登山时或下山时，离山脚的相对高度是700米时的出发时间即可． 【小问1详解】 解：该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y； 【小问2详解】 解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： （米/分）； 他们下山的相对高度平均变化速度是： （米/分）； 【小问3详解】 解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为（米）， 出发110分钟时，离山脚的相对高度为（米）； 将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 300 600 800 600 【小问4详解】解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： （米/分）， （分钟）， 即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米； （分钟）， 即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米； 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米． 18. 如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． （1）请判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1），理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以，， 所以． 19. 某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个． （1）小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个 事件；（填写“必然”、“随机”、“不可能”） （2）小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？ （3）因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同．后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量． 【答案】（1）随机 （2） （3）10个 【解析】 【分析】此题考查了概率的意义，概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． （1）根据事件发生的可能性大小判断即可； （2）利用概率公式可得答案； （3）根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个随机事件． 故答案为：随机； 【小问2详解】 ∵巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个， ∴小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是； 【小问3详解】 （个），（个）． 故替换的雪糕数量为10个． 20. 如图，是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，小正方形的顶点为格点，和的顶点都在格点上． （1）作关于直线l对称的； （2）与是否关于某条直线m对称？若是，画出直线m，若不是，请说明理由； （3）在直线l上找一点P，使得，请画出点P． 【答案】（1）图见解析 （2）是，图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、图形的对称变换以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质，能准确进行图形变换及运用垂直平分线性质找点． （1）分别作出点 关于直线l的对称点，连接三点得到． （2）观察与对应点连线是否被同一直线垂直平分，若存在则该直线为m，并画出来． （3）作线段的垂直平分线，其与直线l的交点即为点P（利用垂直平分线性质：其上的点到两端距离相等）． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 是．如图，直线m即为所求． 【小问3详解】 如图，作线段BC的垂直平分线， 则点P即为所求． 【点睛】 21. 如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）你认为与相等吗？并说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1），理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 22. 【问题产生】小明在学习平方差公式后，突发奇想：比任意一个偶数大5的数与这个偶数的平方差能被5整除吗？ 【特例尝试】（1）的结果是5的几倍？ 【证明结论】（2）设这个偶数为，试说明比大5的数与的平方差能被5整除； 【拓展思考】（3）比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差能被10整除吗？若能，请说明理由；若不能，请求出余数． 【答案】（1）13倍；（2）见解析；（3）不能，余数为5 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算． （1）利用有理数的乘方法则及减法法则计算后再除以5即可； （2）根据题意列式为，将其计算并整理后进行判断即可； （3）设这个整数为m，根据题意列式为，然后将其除以10后进行判断即可． 【详解】解：（1） ， 即的结果是5的13倍； （2） ， ∵， ∴比大5的数与的平方差能被5整除； （3）设这个整数为m， ， ∵， ∴比任意一个整数大5的数与这个整数的平方差不能被10整除，余数为5． 23. 阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， … 关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； （2）小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，利用直角三角形内角和与全等三角形，推导与的和． （2）①通过证得角平分线；②用全等与等腰三角形三线合一证垂直平分． （3）根据“筝形”定义（两组邻边分别相等），构造以为对角线的直角筝形（需满足两组邻边相等直角），分在延长线、在线段上两种情况，结合三角形内角和计算． 【小问1详解】 解：补全内角性质说理：连接对角线． ∵中，， ∴， 同理，中，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，即与互补． 【小问2详解】 解：①在和中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴平分与． ②∵， ∴， 又∵， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴垂直平分． 【小问3详解】 解：情形：当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，此时，点在的延长线上，， ∴； 情形：当时，点在上， ∵四边形是直角筝形，为对角线， ∴，， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形内角和，熟练掌握“筝形”的定义（两组邻边分别相等的四边形）及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $