广东广州市三校联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷19题150分，覆盖集合、概率、立体几何等知识，解答题融合新定义与空间几何，体现逻辑推理与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、独立事件概率、三角函数求值|基础概念辨析，如第2题独立事件概率计算| |多选题|3/18|复数性质、向量运算、立体几何折叠|多维度辨析，如第11题结合折叠与外接球| |填空题|3/15|向量投影、均值不等式、复数模|简洁计算，如13题均值不等式求最值| |解答题|5/77|立体几何证明、统计概率应用、向量新定义|分层综合，如19题“长向量”新定义考察创新思维，16题统计结合分层抽样|

2025-2026学年下学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为0.4和0.8，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（    ） A．0.88 B．0.48 C．0.32 D．0.12 3．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱台，，侧棱，则正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5. 已知四边形ABCD为平行四边形，，F为AC与DE的交点，则（   ） A． B． C． D． 6．记分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 7．已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 8．已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，其中，是虚数单位，则（   ） A．当时，为纯虚数 B．当时， C．当时， D．当时， 10．下列说法正确的是（    ） A．在中，为的中点，则 B．在中，若，则是等腰三角形 C．已知，若与的夹角是钝角，则 D．在边长为6的正方形中，点在边上，且，点是中点，则 11．在矩形中，，，将沿折叠至，得到三棱锥，设球为三棱锥的外接球，则下列说法正确的是（   ） A．球的半径为1 B．若平面平面，则三棱锥的体积为 C．若与BD的夹角的正切值为，则二面角的大小为 D．设分别为的中点，则直线被球所截长度的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是_______． 13．已知，，且，则的最小值为____________. 14．已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，正三棱柱中，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16．学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） (2)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17．设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，求的面积S的取值范围； (3)若的外接圆半径为，求内切圆半径的最大值． 18．如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 19．对于一组向量、、、…、（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组、、的“长向量”，求实数的取值范围； (2)若，且，向量组、、、…、是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)已知、、均是向量组、、的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列、、、…、，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 2025-2026学年下学期期末考试 高一数学参考答案 一、单选题 1、B 2、A 3、A 4、C 5、D 6、C 7、A 8、B 二、多选题 9、 BCD 10、BD 11、ACD 三、填空题 12、 13、13 14、 四、解答题 15．【解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 又为的中点，所以． 因为平面，平面， 所以平面．……6分 （2）由（1）知，所以是异面直线与所成的角或其补角．由题知，， 在中由余弦定理，得.………13分 16．【解】（1）由频率分布直方图，得， 所以.该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为.…………………………………………8分 （2）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在有3人，编号为， 样本空间， 则，记事件“至少一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为.…………………………………15分 17. 【解】（1）在中，由及正弦定理，得，， ， ，又， ．…………………………………………4分 （2）由，得．由正弦定理得， 则． 又为锐角三角形，得， 则，即，，于是， 即的面积S的取值范围为．…………………………………………9分 （3）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r．由（1）如，． 由余弦定理得，即， ，．· ，（当且仅当时，等号成立）．·，· （当且仅当时，等号成立）．显然此时为等边三角形，满足题意， 故内切圆半径的最大值为．…………………………………………17分 18．【解】（1）平面平面，交线为，又，平面， 所以⊥平面，又平面，所以⊥， 因为，，平面， 故⊥平面；…………………………………………3分 （2），，，由勾股定理得， 平面，平面，所以， 因为，，由勾股定理得， 过点作⊥于点，则， 故，过点作⊥，交于点，连接， 故即为二面角的平面角，由勾股定理得， 又，由余弦定理得，故，在Rt中，，即，解得，故，在Rt中，， 由余弦定理得， 故，在中，由余弦定理得， 故二面角的余弦值为；…………………………………………10分 （3）连接，因为，，所以，又，⊥，由勾股定理得，设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，，由（1）得平面，故， 设，则，， 故， 在中，由余弦定理得 ，故， 则， 因为，所以， 故，当时，取得最小值， 最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最小值为.……………17分 19.（1）由题意可得：，即，又， 故，故，解得；……………3分 （2） 存在“长向量”，且“长向量”为、，理由如下：由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， ，即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为、．……………10分 （3）由题意，得，，即，即，同理，，三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得， 设，因为与关于点对称，与（且）关于点对称， 则依题意得：， 将①代入②得，， 从而， ……， ， 以上个式子相加化简得， ， 又由②知， ， 即， 所以， 其中， ， 当且仅当时等号成立，故．……………17分 高一数学第 1 页 共 4页 学科网（北京）股份有限公司 $