精品解析：广东省广州市五校（省实、执信、广雅、二中、六中）2024～2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024学年下学期高一期末五校联考试卷 数学 本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 若， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合，再由，逐项验证即可求解. 【详解】由题意有，当时，，故C正确，D错误； 当时，，，但当时，上述关系不成立， 故AB错误； 故选：C. 2. 若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解. 【详解】依题意，， 则，解得， 所以实数a的值为. 故选：A 3. 如图，向量 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像有，利用向量的减法和向量的线性运算即可求解. 【详解】由图可知：， 所以， 故选：B. 4. 已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数运算可得，再逐项分析判断即得. 【详解】函数，由，得，由，得， 因此，则，，解得，AB错误； ，C正确，D错误. 故选：C 5. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求样本空间，令事件表示所取的2道题都是同一类题，再求，最后由古典概型计算公式即可求解. 【详解】设4道甲类题为，2道乙类题为，则共有15种情况， 令事件表示所取的2道题都是同一类题，所以共有7种情况，所以， 故选：D. 6. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】对于A由线面垂直的性质定理即可判断，对于B计算，点到平面的距离即可判断，对于C由面面平行的性质定理即可判断，对于D计算即可判断. 【详解】对于A：，点为的中点，所以，由正三棱柱 有：平面平面， 又平面平面，平面，又平面，所以，故A正确； 对于B：由平面，所以为点到平面的距离，又， 所以，，所以，故B正确； 对于C：由正三棱柱 ，平面平面，又平面， 所以平面，故C正确； 对于D：取的中点为，连接，由，，所以， ，，所以，故D错误. 故选：D. 7. 已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】 ∵||＝||＝1，且， ∴可设，，． ∴． ∵， ∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1． ∴的最大值． 故选C． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 8. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用概率的加法公式和乘法公式列式求解. 【详解】设“第回合甲胜”，则，设事件“甲乙两人平局”， 依题意，甲乙两人在比赛中平局只有与两种情况，即， 因此 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下选项正确的是（ ） A. B. 事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥 C. 事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥 D. “掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A根据平均数定义即可判断，对于B根据对立事件的定义即可判断，对于C举反例即可判断，对于D分别求“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率即可判断. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由事件A与事件B互为对立事件，则，所以事件与事件一定互斥，故B正确； 对于C：抛一枚骰子，令事件，事件，则，， 所以事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故C错误； 对于D：“掷2次硬币出现1个正面”的概率为，“掷4次硬币出现2个正面”的概率为，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知矩形，，沿BD将折起成若点在平面上的射影落在内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ） A. 四面体的外接球表面积为5π B. 四面体的体积的最大值为 C. 四面体的体积的最小值为 D. 四面体的4个面中最多有3个直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】确定球心及半径，计算判断A；求出点到平面的距离的最值，再结合锥体体积公式判断BC；举例说明判断D. 【详解】在矩形中，过作于，交于，则， ，， 对于A，取中点，则，点为四面体的外接球球心， 该球的表面积为，A正确； 对于BC，在四面体中，，而平面， 则平面，而平面内，于是平面平面， 由点在平面上的射影落在内部（含边界），得在平面上的射影落在线段上， 令点到平面的距离为，当在平面上的射影与点重合时，， 当在平面上的射影与点重合时，， ，四面体的体积，BC正确； 对于D，四面体中，都是直角三角形， 当在平面上的射影与点重合时，， 此时，则， 即也都是直角三角形，因此四面体的4个面都直角三角形，D错误. 故选：ABC 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. ，则 D ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接验证A选项即可；求得，结合指数函数基本性质可求得的值域，可判断B选项；分析函数的单调性与奇偶性，解不等式可判断C选项；当时，由化简得出，由此可判断D选项. 【详解】对于A选项， ，A对； 对于B选项，， 因为，则，故，故， 即函数的值域为，B对； 对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为， ，即函数为奇函数， 任取、，且，则， 所以， 即，故函数为上的增函数，且为奇函数， 由可得， 故，解得，C错； 对于D选项，， 当时，由整理可得， 即，故，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = __________. 【答案】13 【解析】 【详解】(解法1)由分层抽样得，解得n＝13. (解法2)从甲乙丙三个车间依次抽取a，b，c个样本，则120∶80∶60＝a∶b∶3a＝6，b＝4，所以n＝a＋b＋c＝13. 13. 函数的部分图象如图所示，则____. 【答案】6 【解析】 详解】试题分析：由图可知，，∴ . 考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算. 【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现分别是函数轴右侧的第一个零点和函数值为的点，即可求得的坐标，进而求得向量的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 14. 在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由方差公式得，由前个数据的平均数为：，得，进行代入替换求解． 【详解】前个数据的方差为：， 前个数据的平均数为：， 得， 则， 因为， 所以 结合题意得，， 故． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由前个数据的平均数为：，得，进行数据转换是关键． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若直线是函数图像的对称轴（其中是正实数），求的最小值； （2）若锐角满足 求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先对化简得，令解出即可求解； （2）由求，由为锐角三角形，求的范围，进而求的范围. 【小问1详解】 由题意有 ， 令，所以，当时，， 所以的最小值为； 【小问2详解】 由有，即， 由有：，所以，即， 又，所以， 又因为为锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为. 16. 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积之和为1即可求解； （2）根据百分位数的定义和频率分布直方图估计平均数的公式即可求解； （3）先计算和应抽取的人数，最后利用古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，解得； 【小问2详解】 设第75百分位数为，则，解得， 由， 所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为； 【小问3详解】 由题意有的人数为：人，的人数为：人， 根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人， 设抽取2人为，抽取3人为， 从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况， 令事件表示两人分别来自于观展时间在和， 则共有6种情况，所以. 17. 如图， 是等边三角形， ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点 （不含端点）. （1）求 的值； （2）若 求的最小值. 【答案】（1） （2）9. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、数量积的定义，结合诱导公式及二倍角的正弦求解. （2）利用共线向量定理的推论，结合基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 在中，，， 由正弦定理，得， 因此 【小问2详解】 由，D是线段BC上的任意点 （不含端点），得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为9. 18. 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. （1）若，求证： （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值 （3）若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）由（1）的信息，利用定义法求出线面的正弦值. （3）由（1）（2）中信息，求出直角三角形领边上的高，再作平面于，利用定义法求出二面角正弦值的最大值. 【小问1详解】 在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为. 19. 已知函数 （1）对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. （2）若 其中 求 的取值范围. （3）若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 【答案】（1）不存在实数m使成为函数的生成函数，证明见解析. （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）依据题意列出等式，化简整理，依据函数恒等式意义，判断是否存在对应系数即可得到答案. （2）利用确定的情况，在结合的表达式，依据单调性等即可求出取值范围. （3）先求出的表达式，结合二次函数的性质分析当x，m均为正整数时函数 的最小值和最大值. 【小问1详解】 假若存在实数m使成为函数的生成函数，由题意得， ，当时恒成立 ∴，恒成立，此方程无解， 不存在实数m使成为函数的生成函数. 【小问2详解】 设 ，则， 有两个解为，即， 得，且判别式，解得， ，在上单调递增， ， 即. 【小问3详解】 有题意得函数 ， x，m均为正整数，， 是开口向上的二次函数，其对称轴为， m均为正整数，要找到离对称轴最近的正整数来确定最小值， ①当时，对称轴为，，； ②当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是，，； ③当时，对称轴为，离对称轴最近的正整数是或，，； ④当时，，，， 综上所述， 通过前面计算可知当时， ； 当时， ；当时，， 当时，， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年下学期高一期末五校联考试卷 数学 本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 若， 则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 如图，向量 等于（ ） A. B. C D. 4. 已知函数，若， 且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.所取的2道题都是同一类题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正三棱柱 的各棱长均为1，的中点为D，上有两个动点，且 则下列结论中错误的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 平面 D. 的面积与的面积相等 7 已知，是单位向量，•0．若向量满足||＝1，则||的最大值为（　　） A. B. C. D. 8. 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局.已知在每回合中，甲获胜的概率均为 ，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球.则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下选项正确的是（ ） A B. 事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥 C 事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥 D. “掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等 10. 已知矩形，，沿BD将折起成若点在平面上的射影落在内部（含边界），则在翻折过程中，下列选项正确的是（ ） A. 四面体的外接球表面积为5π B. 四面体的体积的最大值为 C. 四面体的体积的最小值为 D. 四面体的4个面中最多有3个直角三角形 11. 双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. ，则 D. ，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = __________. 13. 函数的部分图象如图所示，则____. 14. 在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）若直线是函数图像对称轴（其中是正实数），求的最小值； （2）若锐角满足 求的取值范围. 16. 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 17. 如图， 是等边三角形， ， A，B，C三点共线，D是线段BC上的任意点 （不含端点）. （1）求 的值； （2）若 求的最小值. 18. 在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点. （1）若，求证： （2）若，求直线与平面 所成角的正弦值 （3）若，求二面角的正弦值的最大值. 19. 已知函数 （1）对于函数 ，如果存在实数a，b使得 ，那么称为的生成函数，据此生成函数的定义，判断是否存在实数m使成为函数的生成函数，若存在请求出m的值，若不存在请说明理由. （2）若 其中 求 的取值范围. （3）若x，m均为正整数，求函数 的最小值（用m表示） 及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $