广东深圳市罗湖区2025-2026学年第二学期期末质量检测高一数学试题

2025―2026学年度高一期末质量监测 数学试题答案及评分参考 2026.07 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A B D C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．；　　　　　　13．；　　　　　　14．． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1）由正弦定理，，　　　1分 ，，　　　2分 ， ，，　　　4分 ．　　　5分 （2）在中，， ， ， ，①　　　7分 的面积为， ， ，②　　　　9分 由①②，可得，，或，，　　　　11分 由余弦定理，可得， ．　　　　13分 16．（15分） 解：（1）证明：由正方形的性质知，， ，平面，平面， 平面，　　　　3分 （没写“一内一外”扣1分） 平面，平面，平面平面， ，　　　　5分 （没写交线条件扣1分） 平面平面，平面，且， 平面， ， 平面．　　　　7分 （2）如图，取的中点，连接，则在等边三角形中，由三线合一知，8分 平面平面，，平面，平面平面， 平面，　　　　10分 （没写交线条件扣1分） 连接，易知是与平面所成的角，　　　　12分 而，， ，　　　　14分 直线与平面所成角的正切值为．　　　　15分 17．（15分） 解：（1）由题意可得，，　　　　1分 ，，　　　　2分 ．　　　　4分 （2）（i）由题意可得，．　　7分 （ii）由题意可得，，　　　　8分 ，，三点共线，，①　　　　9分 ，，， ，　　　　10分 ，， 即， 化简可得，，②　　　　13分 由①，②可解得，，　　　　14分 ．　　　　15分 18．（17分） 解：（1）证明：如图，在线段，上分别取点，， 使得，连接，，，　　　　 1分 ，，， ，，，　　　　2分 又，，，，，四点共面，　　　　3分 ，平面，平面，　　　　4分 ，平面，平面，　　　　5分 又，平面平面，　　　　6分 又平面，平面．　　　　7分 （2），且平面，平面，　　　　8分 同理，平面，　　　　9分 平面，平面，平面， 四边形为直角梯形，　　　　10分 由，，及，， ，， ，且，， ，， 直角梯形的面积为，　　　　13分 不难知道多面体的体积可视为四棱锥，四棱锥，及三棱锥的体积之和，　　　　15分 易知四棱锥的体积为，四棱锥的体积为， 易知的面积为， 三棱锥的体积为， 多面体的体积为．　　　　17分 19．（17分） 解析：（1）当时，则，，，，，，　　　1分 可知0，2，2，4，4，4，　　　　　　3分 则的所有可能取值为0，2，4．　　　　　　　4分 （2）记“”为事件，样本空间为，则“”为事件，　　　　　5分 当时，由列举可知，数据有个，样本空间有个样本点，　　　6分 ①若不调整数据，此时，事件有1个样本点；　　　　　7分 ②若只调整个数，其他不变，欲使，只能调整相邻的两个数据， 即将数据，，调整为，，， 此时，事件有3个样本点；　　　　　　8分 ③若调整个数，由（1）可知，此时， 由以上可知，事件有个样本点， 则．　　　　　　9分 （3）， ①若只调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为，其余数据在原来位置不变， 此时，　　　　　　12分 ②若调整个数，其他不变得到数据， 即将数据调整为和，其余数据在原来位置不变， 此时， 或者，　　　　　　15分 ③若调整个数，其他不变得到数据，显然， 综上所述，事件为不可能事件．　　　　　　17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025―2026学年第二学期期末质量检测 高一数学 2026.7 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，若，且，则在复平面内所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，，则 A． B． C． D． 3．下表为“某地区年的生产总值（GDP）”相关数据（其中该地区生产总值是逐年递增的）． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 生产总值（GDP）/万亿元 由于不小心，该地区的2023年生产总值（GDP）数据被污染了，但知道表中数据的第60百分位数与第75百分位数之和为，则该地区的2023年生产总值（GDP）为 A． B． C． D． 4．已知向量，，且，则下列等式一定成立的为 A． B． C． D． 5．甲、乙两人各进行一次射击，已知两人各自中靶的概率分别为和，若两人是否中靶相互独立，则恰有一人中靶的概率为 A． B． C． D． 6．已知某圆台的母线与下底面所成的角为，若其上、下底面的半径分别为1，2，则该圆台的侧面积为 A． B． C． D． 7．已知的面积为，且，若，则 A． B． C． D． 8．底面边长为2的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去了一个底面边长为，高为的正三棱锥后，若所得三棱台的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列说法正确的为 A．若，则 B．若，则 C．若， D．若，则 10．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的为 A．若,，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则，或 11．抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记，分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，设事件“，中至少有一个为偶数”为，事件“，中至少有一个为奇数”为，事件“”为，事件“”为，则 A．与是互斥事件 B．与相互独立 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，为的共轭复数，则_________． 13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_________． 14．记的外接圆圆心为，若圆的半径为，且，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）已知点为的中点，若，且的面积为，求． 16．（15分） 如图，已知五面体的底面是正方形，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 17．（15分） 如图，在平行四边形中，与交于点，． （1）若，求的值； （2）设，，，． （i）用，表示； （ii）求的值． 18．（17分） 在直三棱柱中，，且，动点，分别在线段，上，且． （1）证明：平面； （2）若，且，求多面体的体积． 19．（17分） 给定两组数据和，现定义为这组数据的“总体偏差”．现有数据，将中数据按任意顺序排列，得到数据，例如，当时，可以得到数据和，此时总体偏差的所有可能取值为和． （1）当时，求的所有可能取值； （2）当时，求“”的概率； （3）记“”为事件，证明：事件为不可能事件． 学科网（北京）股份有限公司 $