湖南邵阳市沅邵联盟2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 涵盖集合、函数、统计、向量、立体几何等高一核心知识，解答题融入黄山旅游满意度调查等现实情境，新定义“和谐向量”问题考查创新思维，体现数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、函数单调性、空间线面关系等|单选第2题结合定义域考查单调性，体现推理能力；多选第11题综合正方体体积、外接球与线面角，强化空间观念| |填空题|3题/15分|函数求值、方差计算、独立事件概率|第14题以竞答比赛为背景，考查数据意识与概率运算| |解答题|6题/77分|向量运算、统计概率、立体几何、新定义问题|第16题通过频率分布直方图分析旅游满意度，融合数据处理与概率计算；第19题“和谐向量”新定义，考查创新意识与逻辑推理|

“沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2. 已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 4. 在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记则＝（　　） A. B. C. D. 5.某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 在四面体中，分别为棱的中点，，，，则异面直线与所成角为(  ) A. B. C. D. 8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(     ) A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 11. 如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数，则的值为__________． 13．已知一组数据分别是1，4，2，3，，它们的平均数是3，则对于以下数据：的方差是 . 14. 甲、乙、丙三人参加“校史知识竞答”比赛，若甲、乙、丙三人荣获一等奖的概率分别为，且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中仅有两人获得一等奖的概率为 . 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知平面向量与的夹角为，且. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 16.（15分）黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1) 根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2) 景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 17．（15分）在中，角所对的边分别为，满足 . （1）求的大小； （2）若且面积为，求的周长. 18. （17分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面是正方形，且侧面底面，，为侧棱的中点． 求证：； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的正弦值. 19.（17分）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量,的“和谐函数”为记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． 已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； 已知，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求； 已知，设(1)中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为,，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ “沅邵联盟”2026年上学期高一年级期末考试 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 2．D 3. B 4．B 5．C 6. B 7．D 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．BC 10．ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 4 13． 8 14. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） ··········6分 ········13分 16. （15分） （1）由频率分布直方图，得，则； ······3分 平均数为.···7分 （2）评分在的频率分别为， 则在中抽取人，记为； 在中抽取4人，记为. ·········9分 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则，共有8个结果， 所以. ··············15分 17.（15分） （1）． ， ， ， ， ． ····················7分 （2） ······15分 17. （17分）证明：如图，连接交于，连接， 因为底面是正方形，所以为中点，又为侧棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； ·············5分 取的中点为，连接， 易知，且， 又平面底面，平面底面， 所以平面， 所以三棱锥的体积为： Gaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaag ·········10分 (3) ·········13分 ,二面角的正弦值. ···········17分 19. （17分） 解： 所以函数的“和谐向量”向量， ， 因为，所以， 所以的取值范围为 ···············5分 设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以 ···················10分 由知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以，所以，即， 而，则，此时，等式不成立， 所以在的图象上不存在一点，使 ·····17分   学科网（北京）股份有限公司18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $