精品解析：河南省三门峡市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2026年初中学业水平学情调研卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，该选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，该选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，该选项不是最简二次根式，不符合题意． 2. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 【答案】C 【解析】 【分析】在变化过程中数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量. 【详解】解：在此次加油过程中，油量不断增加，金额随之变化，故油量和金额是变量；单价固定不变，故单价是常量. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误． 4. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； B、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； D、对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意． 故选：D． 5. 如图，是由四个全等的直角三角形和一个面积为7的小正方形拼成的大正方形．直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和算术平方根应用，先根据四个全等直角三角形，结合已知条件，求出四个直角三角形的面积，再加上小正方形的面积即可求出大正方形面积，再开方即可求出正方形边长． 【详解】解，四个全等的直角三角形的面积相等，且三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，， 四个全等的直角三角形的面积为． 大正方形的面积是由四个全等的直角三角形和一个面积为7的小正方形拼成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长为． 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； B、无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形,符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 7. 已知一组数据0，1，2，3，4，现将其分为和两组，则这两组数据的组内离差平方和为（ ） A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先分别计算两组数据的平均数，再分别计算每组的离差平方和（每个数据与本组平均数的差的平方和），最后将两组的离差平方和相加得到结果． 【详解】解：对于第一组， ， 第一组离差平方和； 对于第二组， ， 第二组离差平方和， 总的组内离差平方和为． 8. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的对称性，作点关于的对称点，将转化为，当三点共线且垂直于时，取得最小值，即为菱形边与之间的距离（菱形的高）． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 如图， 四边形是菱形，  关于对称，，  点在上，  点在上，且，  ， 当三点共线，且时，最小，最小值为平行线与之间的距离， 过点作于， 在中，，  ∴， ∴， 由勾股定理得， ， 的最小值为． 9. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点，，都在网格的格点上，则结论①；②；③；④中正确的有（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理和含的直角三角形的性质解题． 【详解】解：，故①正确； ，故②正确； ， ∴， ∴是直角三角形，是直角，故④正确； 若，则有，而，故③错误； 综上所述，正确的有①②④． 10. 用如图甲所示的装置探究不同物质吸热升温的现象．两个相同试管内分别装有水和食用油，同时放置在红外加热器中，用温度传感器分别测得水和食用油的温度随时间变化图象如图乙所示，下列说法中正确的是（ ） A. 实验中食用油函数图象为正比例函数图象 B. 加热后，水的温度比食用油的温度要高 C. 水吸热升温比食用油快 D. 食用油的温度要升至，需加热 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、食用油函数图象不经过原点，不是正比例函数，原选项不符合题意； B、加热后，水的温度比食用油的温度要低，原选项不符合题意； C、水吸热升温比食用油吸热升温慢，原选项不符合题意； D、设食用油的函数解析式为，函数图象过， ∴， 解得，， ∴食用油的函数解析式为， 当时，， 解得，，即食用油的温度要升至，需加热，原选项符合题意； 故选：D ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，得 ，且二次根式的被开方数， 所以， 解得． 12. 一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为________．（写一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，则，取值即可． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，且），y随x的增大而增大， ∴， 则k的值可以为， 故答案为：（答案不唯一） 13. 图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M，________°． 【答案】##135度 【解析】 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出的度数． 【详解】解：∵八边形为正八边形， ， ， ∴为等腰三角形， ， ， ∴为等腰三角形， ， ． 14. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到，再通过勾股定理建立方程求解． 先在中用勾股定理求出的长；由作图可知是的垂直平分线，故；设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程求出的值，即为的长． 【详解】解：，，， ． 由作图可知，是的垂直平分线， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动，点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．当_____________时，的面积． 【答案】或 【解析】 【分析】先求解出的值，再求解出点到达点时，运动的总时间，分情况讨论的面积时的值即可． 【详解】解：由题意可知，点的速度为，， 则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，则， 说明此时点到达点，此时，即，则， 当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， 若的面积，有两种情况， 当点在上时，即， 则有，，， 解得（负值舍）； 当点在上时，即， 的最小值为2，故不可能为1.5， 当点在上时，即，点已停在点，则， 点走过的路程为，则， ， 即，解得， 故当或时，的面积． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意易得到，在中，根据勾股定理得到，据此列方程，解方程即可． 【详解】解：设， 、 在中，由勾股定理得 解得 因此，秋千绳索的长度为尺． 18. 已知一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）结合图象，当时，直接写出的取值范围； （3）若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线解析式求交点即可； （2）利用图象找出一次函数的图象在的图象上方部分对应的自变量取值即可； （3）令一次函数的图象与轴交于点，分别求出点、、的坐标，再根据求解即可． 【小问1详解】 解：联立，解得：， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象上方， 则当时，的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图，令一次函数的图象与轴交于点， 一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得：；令，则， ,， ，, 一次函数的图象与轴交于点， 令,则， ， ， ， ． 19. 如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中作图的基础上，连接，，判断和的关系，并说明理由． 【答案】（1）解：即为所求： （2）解：和的数量关系为，位置关系为，理由如下： 连接，，如图， 在中，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， 则由，可得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， 故和的数量关系为，位置关系为． 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，点，再分别以点，点为圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，则即为所求； （2）判断出四边形为平行四边形，由此可得数量关系和位置关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 2026年，中国航天事业迎来70周年．回望来路，中国航天一步一跨越、一步一辉煌，在浩瀚宇宙镌刻下属于中华民族的壮丽史诗．为普及航天科普知识，丰富校园科技文化生活，我校举办了航天知识竞赛．全校学生积极组队参与，赛后，学校对各组的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，以下是甲、乙两组学生的成绩信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____________，_____________； （2）补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90，92； （2） （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：由【信息2】可知，甲乙两组的中位数相同，但乙组的平均数和众数均大于甲组平均数，且乙组的方差小于甲组的方差，所以乙组平均分更高，成绩更稳定，由【信息3】可知，乙组的箱线图的箱体更扁，成绩更集中，所以乙组竞赛成绩较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）求出甲组10名学生成绩的最大值、最小值、第一四分位数、中位数，以及第三四分位数，补全甲组竞赛成绩的箱线图即可； （3）根据平均数、中位数、方差以及箱线图的意义分析即可． 【小问1详解】 解：将甲组10名学生的成绩按从小到大排列为：60、70、70、80、89、91、92、96、98、100，排在第、名的成绩分别为、， 甲组的中位数； 乙组10名学生的成绩中，92出现了2次，次数最多， 乙组的众数； 【小问2详解】 解：甲组10名学生的成绩按从小到大排列为：60、70、70、80、89、91、92、96、98、100，则最大值为100，最小值为60，中位数为90， 解法一：第一四分位数为前5个数据的中位数，则第一四分位数； 第三四分位数为后5个数据的中位数，则第三四分位数； 解法二：， 第一四分位数为第3个数，即； ， 第三四分位数为第8个数，即； 补全甲组竞赛成绩的箱线图如答图； 【小问3详解】 略 21. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： （1）已知：，求的值； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据材料中对偶式的方法，利用平方差公式计算两个对偶式的乘积，再除以已知的和，即可求出结果； （2）对每个分式进行分母有理化，即可得到结果． 【小问1详解】 解：设，，  则  即， 已知， 所以，  即； 【小问2详解】 解：原式  ． 22. 三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． （1）求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； （2）由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【答案】（1）菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元 （2）①；②10；450 【解析】 【分析】（1）设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则可表示1个菌菇礼盒的销售单价，根据等量关系：售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，列出一元一次方程，并求解即可； （2）①求得1个菌菇礼盒的进价，进而得其利润，再由利润和即可得到关于的函数解析式； ②根据①所列的函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； 【小问2详解】 解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 23. 如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接． （1）【探索发现】与的数量关系是_____________，_____________； （2）【猜想证明】如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，点为的三等分点，则的长为_____________． 【答案】（1），； （2）， 理由：， ， ， ， 、、三点共线， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，证明，即可得解； （2）先证明、、三点共线，再利用正方形的性质，证明，得到，即可得解； （3）分两种情况求解：①当点是靠近点的三等分点时，②当点是靠近的三等分点时，设，利用全等三角形的性质，表示出、的长，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点是靠近点的三等分点时，如图， 四边形是正方形，， ，，， 由（1）可知，， ， 由（2）可知，， 设，则，， 在中， ， 解得：，即； ②当点是靠近的三等分点时，如图， 四边形是正方形，， ，，， 同理可证，，， ， 设，则，， 在中， ， 解得：，即； 综上可知，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平学情调研卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置． 2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油中的常量是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和油量 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是由四个全等的直角三角形和一个面积为7的小正方形拼成的大正方形．直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为．若，则大正方形的边长为（ ） A. B. 6 C. 5 D. 4 6. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知一组数据0，1，2，3，4，现将其分为和两组，则这两组数据的组内离差平方和为（ ） A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3 8. 如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点，，都在网格的格点上，则结论①；②；③；④中正确的有（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 10. 用如图甲所示的装置探究不同物质吸热升温的现象．两个相同试管内分别装有水和食用油，同时放置在红外加热器中，用温度传感器分别测得水和食用油的温度随时间变化图象如图乙所示，下列说法中正确的是（ ） A. 实验中食用油函数图象为正比例函数图象 B. 加热后，水的温度比食用油的温度要高 C. 水吸热升温比食用油快 D. 食用油的温度要升至，需加热 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数中自变量的取值范围是_____________． 12. 一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为________．（写一个即可） 13. 图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M，________°． 14. 如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接．则线段的长为_____． 15. 如图，在矩形中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动，点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．当_____________时，的面积． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 18. 已知一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）结合图象，当时，直接写出的取值范围； （3）若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，求的面积． 19. 如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中作图的基础上，连接，，判断和的关系，并说明理由． 20. 2026年，中国航天事业迎来70周年．回望来路，中国航天一步一跨越、一步一辉煌，在浩瀚宇宙镌刻下属于中华民族的壮丽史诗．为普及航天科普知识，丰富校园科技文化生活，我校举办了航天知识竞赛．全校学生积极组队参与，赛后，学校对各组的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，以下是甲、乙两组学生的成绩信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____________，_____________； （2）补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 21. 定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效地去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为 ， 所以． 请你根据上面材料提供的方法解决下列问题： （1）已知：，求的值； （2）计算：． 22. 三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． （1）求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； （2）由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 23. 如图1，四边形是正方形，点是线段上一点，连接，以为一边作正方形，连接． （1）【探索发现】与的数量关系是_____________，_____________； （2）【猜想证明】如图2，连接交于点，连接，请探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若，点为的三等分点，则的长为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $