2026年人教版七升八数学暑假作业2 实数

**基本信息** 分层递进式暑假作业，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三阶设计，实现实数概念到综合应用的知识内化，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础训练|平方根、立方根定义及性质|选择填空为主，强化概念辨析与基础运算，如算术平方根双重非负性应用| |能力提升|实数与数轴、运算规律探究|结合几何情境（正方形面积与数轴表示），提升推理与应用能力，如利用秦九韶公式求面积| |拓展探究|新定义运算、连续求根整数|创新题型设计，发展创新意识，如自定义运算与跨情境问题解决|

暑假作业2 实数 答案与解析 1．【解答】解：∵﹣π＜0＜1＜， ∴最大的数是：． 故选：C． 2．【解答】解：∵，即， ∴，即， ∴的值在4到5之间． 故选：D． 3．【解答】解：∵52＝25，62＝36，而25＜35＜36， ∴5＜＜6， ∵， ∴整数n＝5， 故选：C． 4．【解答】解：，则A不符合题意， ，则B符合题意， |π﹣3.14|＝π﹣3.14，则C不符合题意， ，则D不符合题意， 故选：B． 5．【解答】解：当输入的值是64时，＝4， 当输入的值为4时，输出的值是， 故选：A． 6．【解答】解：A、＝3，错误； B、＝﹣3，正确； C、±＝±4，错误； D、＝|﹣2|＝2，错误， 故选：B． 7．【解答】解：＝3，0是整数，是分数，它们不是无理数， ﹣π，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 8．【解答】解：∵+（b+3）2＝0，≥0，（b+3）2≥0， ∴a﹣2＝0，b+3＝0， 解得：a＝2，b＝﹣3， 则ab＝2×（﹣3）＝﹣6， 故选：D． 9．【解答】解：∵12＝1，正数的正平方根是它的算术平方根， ∴1的算术平方根是1，A正确，不符合题意； ∵，∴，B正确，不符合题意； ∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4，C正确，不符合题意； ∵，5的算术平方根是，不是5， ∴D错误，符合题意； 10．【解答】解：＝4． 故答案为：4 11．【解答】解：原式＝4﹣3＝1， 故答案为：1． 12．【解答】解：，， ∵25＞23， ∴，即， ∴． 故答案为：＜． 13．【解答】解：x2﹣2＝7， x2＝9， x＝±3． 故答案为：±3． 14．【解答】解：因为， 所以8的立方根是 2，即的立方根是2， 故答案为：2． 15．【解答】解：∵16＜20＜25， ∴， 即， 观察数轴可知，点Q表示的数在3和4之间，点P表示的数在2和3之间，点M表示的数在4和5之间，点N表示的数在5和6之间， ∴在数轴上表示的点可能是点M． 故答案为：M． 16．【解答】解：由题可知， ， 解得， 则x+y＝4， 故x+y的算术平方根为＝2． 故答案为：2． 17．【解答】解：∵， ∴13x﹣1＝25， ∴x＝2， 故答案为：2． 18．【解答】解：∵25＜33＜36， ∴，即， ∵， ∴a＝5． 故答案为：5． 19．【解答】解：∵＝8， ∴8的平方根为±，即±2； ∵2﹣＞0， ∴2﹣的绝对值是2﹣． 故答案为：±2；2﹣． 20．【解答】解：∵a，b是2026的两个平方根，且a≠b， ∴a与b互为相反数， 若a、b是2026的两个平方根（a≠b），则a+b＝0． 故答案为：0． 21．【解答】解：（1） ＝ ＝． （2）原式＝＝． （3） ＝3﹣4+×（﹣2）+4 ＝3﹣4+（﹣1）+4 ＝2． （4） ＝﹣3+2+2﹣ ＝1． 22．【解答】解：（1）16x2﹣25＝0， 16x2＝25， ， x＝； （2）3（x+5）3＝﹣81， （x+5）3＝﹣27， x+5＝﹣3， x＝﹣8． 23．【解答】解：（1）∵一正数的平方根是a+1与a﹣11， ∴a+1+a﹣11＝0， 2a﹣10＝0， 2a＝10， a＝5， ∵5a+2b的立方根是3， ∴5a+2b＝27， 5×5+2b＝27， 25+2b＝27， 2b＝2， b＝1， ∵， ∴的整数部分是c＝3； （2）由（1）可知：a＝5，b＝1，c＝3， ∴a+b+c＝5+1+3＝9， ∴a+b+c的平方根是±3． 24．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＜2 【解答】解：从数轴获取信息观察数轴上点a和点b的位置： 点b的位置：点b在﹣2 和﹣1之间． ∴﹣2＜b＜﹣1． b是一个负数，且其绝对值|b|在1和2之间（即1＜|b|＜2）． 点a的位置：点a在1和2之间． ∴1＜a＜2． a是一个正数，且其绝对值|a|在1和2之间（即1＜|a|＜2）． 选项A．b＞﹣1，根据数轴，点b在﹣1的左侧．在数轴上，左边的数总是小于右边的数．所以b＜﹣1．故选项A错误； B．b﹣a＞0，这个不等式等价于b＞a．根据数轴，点b在原点左侧（负数），点a在原点右侧（正数）．负数永远小于正数，且点b在点a的左侧．所以b＜a，即b﹣a＜0．选项B错误； C．ab＞0，已经b＜0（负数），a＞0（正数）．根据有理数乘法法则：“异号得负”，即正数乘以负数结果为负数．所以ab＜0．选项C错误； D．|a|＜2，已经知道1＜a＜2．因为a是正数，正数的绝对值等于它本身，所以|a|＝a．既然a＜2，那么自然|a|＜2．从几何意义上看，点a到原点的距离显然小于2个单位长度．选项D正确． 故选：D． 25．如果的小数部分分别为a，b，那么a+b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为8，小数部分为， ∵， ∴的整数部分为3，小数部分， ∴． 故选：C． 26．下列说法：①11的平方根是±；②负数和零没有立方根；③﹣1是无理数；④16的算术平方根是4；⑤0.008的立方根是0.2．其中正确的有（　　） A．①③ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【解答】解：根据平方根、立方根、算术平方根、无理数的定义逐项分析判断如下： ①正数有两个平方根，且互为相反数，11的平方根是，故①正确； ②任意实数都有立方根，负数有立方根，0的立方根是0，故②不正确； ③是无限不循环小数，属于无理数，因此仍是无理数，故③正确； ④16的算术平方根是它的正平方根，即，故④正确； ⑤∵0.23＝0.008，∴0.008 的立方根是0.2，故⑤正确； 综上，正确的说法是①③④⑤． 故选：C． 27．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 28．【解答】解：由题意可得：正方形ABCD的面积为5， ∴， ∵AM＝AD， ∴， ∴点M在数轴上所表示的数为， 故选：D． 29．【解答】解：若一个正数的小数点每向左（或向右）移动两位，那么其算术平方根的小数点向左（或向右）移动一位， 若， 则≈48.5， 故选：A． 30．【解答】解：∵，， ∴． 故选：A． 31．【解答】解：将g＝10m/s2，h＝150m代入t＝，得 t＝＝， ∵52＝25，62＝36，而25＜30＜36， ∴5＜＜6， 即5＜t＜6， 故选：C． 32．【解答】解：根据平方运算求出a的所有可能值为： 由a2＝16，得a＝4或a＝﹣4 由， 两边同时立方得b＝（﹣2）3＝﹣8 当a＝4时，a+b＝4+（﹣8）＝﹣4； 当a＝﹣4时，a+b＝﹣4+（﹣8）＝﹣12． 故答案为：﹣4或﹣12． 33．【解答】解：根据题意可知，， ∴2x﹣6＝0，2+y＝0， 解得：x＝3，y＝﹣2， ∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7， ∴x2+y的算术平方根是． 故答案为：． 34．【解答】解：设a＝2，b＝4，c＝4， ∴； ∵，n＜S＜n+1， ∴n为的整数部分，即n＝3． 故答案为：3． 35．【解答】解：如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数和字母， 设三阶幻方的幻和为S（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为S）， 设三阶幻方的9个数字分别为： y ﹣2 0 4 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： ， 解①得b＝6， 解②得y＝2，则S＝y+4+b＝12， 再代入①得x＝8， ∴xy＝16， ∴xy的平方根为±4． 故答案为：±4． 36．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， ∴a＝4， a+3＝7， 这个正数为72＝49； （2）a+12＝4+12＝16， ∵＝4， ∴的平方根是＝±2 37．【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积＝800×2＝1600cm2， ∴大正方形纸片的边长＝＝40（cm）． 故答案为：40． （2）∵长方形纸片的长宽之比为5：4， ∴设长方形纸片的长和宽分别是5xcm，4xcm， ∴5x•4x＝1300， ∴x2＝65， ∵x＞0， ∴x＝， ∴长方形纸片的长是5x＝5cm， ∵5＞40， 38．【解答】解：设长方形信封的长为3x（cm），宽为2x（cm）， 由题意得：3x•2x＝240， ∴， 根据边长的实际意义得， ∴长方形信封宽为， ∵40＞36， ∴， ∴， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， 即能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 39．【解答】（1）证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得＝， 于是有5m2＝n2． ∵5m2是5的倍数， ∴n2也是5的倍数， ∴n是5的倍数． 设n＝5t（t是正整数），则n2＝25t2，即25t2＝5m2， ∴5t2＝m2， ∴m也是5的倍数， ∴m，n都是5的倍数，不互质，与假设矛盾， ∴假设错误， ∴不是有理数； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分a为4，小数部分b为：﹣4＝﹣2， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴+2的整数部分x为3，小数部分y为：+2﹣3＝﹣1， ∴， ∴x﹣y的相反数是． 40．【解答】解：（1）a，b都是正整数，现定义新运算：， ∵2＜3， ∴； ∵9＞4， ∴， ∵3＞1， ∴， 故答案为：；； （2）当x≥9时，，故， 解得x＝64，经检验，符合题意； 当x＜9时，，故， 解得x＝4，经检验，符合题意， 综上：x的值为64或4． 故答案为：64或4． 41．【解答】解：根据题意，设y＝2x+5， 则可化为， ∴y3＝y，即y3﹣y＝0， y（y﹣1）（y+1）＝0， 解得：y＝0 或y＝1或y＝﹣1， 当y＝0 时，2x+5＝0，则2x﹣5＝﹣10； 当y＝1 时，2x+5＝1，则2x﹣5＝﹣9； 当y＝﹣1 时，2x+5＝﹣1，则2x﹣5＝﹣11． 验证均满足原方程，故2x﹣5 的值为：﹣11或﹣10或﹣9． 故答案为：﹣11或﹣10或﹣9． 42．【解答】解：（1）依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， 故答案为：，； （2）由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点B所表示数的整数部分为2，小数部分， 故答案为：2，； （3）由（2）得， ∴， ∵x是整数，0＜y＜1，且， ∴x＝8，， ∴． 43．【解答】解：（1）对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于的最大整数，称[]为a的根整数， ∵22＜5＜32，52＜27＜62 ∴，， ∴，； （2）∵， ∴， ∴9≤x＜16， ∴符合题意的x值可以是9，10，11，12，13，14，15，写出任意一个即可； （3）∵152＝225，162＝256，42＝16，32＝9， ∴，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 44．【解答】解：∵，，，…，． ∴S1＝（）2，S2＝（）2，S3＝（）2，…，Sn＝（）2， ∵， ∴S＝， ∴S＝1+， ∴S＝1+1﹣+1+﹣+…+1+， ∴S＝n+1﹣＝． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假作业2 实数 一、知识梳理 （一）平方根 1.1平方根的定义 若一个数的平方等于，则这个数叫做的平方根（或二次方根）. 即：若，则叫做的平方根，记作（）. 示例：因为，，所以9的平方根是，记作. 1.2算术平方根的定义 正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作；0的算术平方根是0. 示例：9的算术平方根是；0的算术平方根是. 1.3平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数. （2）0的平方根是0. （3）负数没有平方根（因为任何数的平方都非负）. 被开方数 平方根个数 示例 正数 2个（互为相反数） 4的平方根是±2 0 1个 0的平方根是0 负数 0个（无意义） -4没有平方根 1.4算术平方根的性质（双重非负性） （1）（）——被开方数非负，结果也非负. （2）（）. （3） 易错警示：16的算术平方根是4，记作，但16的平方根是，记作. 1.5算术平方根的小数点移动规律 被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，算术平方根的小数点相应地向右（或向左）移动1位. 示例：，，. （二）立方根 2.1立方根的定义 若一个数的立方等于，则这个数叫做的立方根（或三次方根）. 即：若，则叫做的立方根，记作. 示例：，故8的立方根是；，故的立方根是. 2.2立方根的性质 被开方数 立方根 示例 正数 正数 负数 负数 0 0 关键区别：平方根中负数无意义，但立方根中负数有意义！任何数都有且只有唯一的立方根. 2.3立方根的运算性质 （1） （2） （3）（立方根的符号与被开方数一致） 2.4立方根的小数点移动规律 被开方数的小数点每向右（或向左）移动3位，立方根的小数点相应地向右（或向左）移动1位. 示例：，， （三）实数及其简单运算 3.1实数的分类 按定义分： 按符号分： 3.2无理数的判断（易错点） 常见误区 正解 带根号的数都是无理数 是有理数 无限小数都是无理数 是有理数 分数都是有理数 所有分数都是有理数 无理数的本质：无限不循环小数. 3.3实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，反之亦然. 数轴上右边的点表示的实数总比左边的大. 3.4实数的性质 性质 定义 示例 相反数 a的相反数是-a 的相反数是 绝对值 ; ; 倒数 非零a的倒数是 3.5实数的运算 实数的加、减、乘、除、乘方运算与有理数一致，运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内. 示例：（同类二次根式合并） 注意：（非同类不能合并） 3.6实数比较大小的方法 方法 说明 正负法 正数>0>负数 近似值法 用估算近似值比较 数轴法 右边点表示的数总比左边的大 绝对值法（负数） 两个负数，绝对值大的反而小 （四）平方根与立方根对比 对比项 平方根 立方根 定义 若，则x是a的平方根 若，则x是a的立方根 表示 （） （a为任意实数） 正数 2个，互为相反数 1个，正数 0 1个，0 1个，0 负数 无意义 1个，负数 根指数 2（可省略） 3（不可省略） 被开方数范围 a为任意实数 （五）易错点归纳 1.算术平方根是其本身的数：0和1 2.平方根是其本身的数：0 3.立方根是其本身的数：0、1和-1 二、基础训练 1．在实数1，0，，﹣π中，最大的数是（　　） A．1 B．0 C． D．﹣π 2．估计的值应在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．已知，则整数n的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C．|π﹣3.14|＝3.14﹣π D． 5．一个数值转换器的原理如图所示，当输入的值是64时，输出的值是（　　） A． B．4 C．2 D． 6．下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．有下列实数：，0，﹣π，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．若实数a、b满足，则ab的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 9．下列说法中错误的是（　　） A．1的算术平方根是1 B． C．16的平方根是±4 D．的算术平方根是5 10．16的算术平方根是 　 　． 11．计算的结果是　 　． 12．比较大小：﹣5　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 13．已知x2﹣2＝7，则x＝　 　． 14．的立方根是　 　． 15．如图，在数轴上表示的点可能是点 ． 16．已知，则x+y的算术平方根为 　 　． 17．已知，则x＝　 　． 18．一个正整数a满足，则a＝　 　． 19．的平方根是 　 　 ，2﹣的绝对值是 　 　． 20．若a、b是2026的两个平方根（a≠b），则a+b的值为　 　． 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22．求下列各式中的x． （1）16x2﹣25＝0； （2）3（x+5）3＝﹣81． 23．已知一正数的平方根是a+1与a﹣11，5a+2b的立方根是3，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求a+b+c的平方根． 三、能力提升 24．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．b＞﹣1 B．b﹣a＞0 C．ab＞0 D．|a|＜2 25．如果的小数部分分别为a，b，那么a+b的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 26．下列说法：①11的平方根是±；②负数和零没有立方根；③﹣1是无理数；④16的算术平方根是4；⑤0.008的立方根是0.2．其中正确的有（　　） A．①③ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 27．如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 28．如图，正方形ABCD的面积为5，顶点A在数轴上表示的数为1．若点M在数轴上（点M在点A的左侧），且AM＝AD，则点M在数轴上所表示的数为（　　） A． B． C． D． 29．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 若，，则（　　） A．48.5 B．485 C．15.3 D．153 30．若，，则（　　） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 31．在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间t（单位：s）与下落高度h（单位：m）近似满足公式t＝，其中重力加速度g取10m/s2．若一物体从距地面150m的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间t（单位：s）的估算正确的是（　　） A．3＜t＜4 B．4＜t＜5 C．5＜t＜6 D．6＜t＜7 32．若，则a+b＝　 　． 33．如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　 　． 34．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和n+1之间，则n的值是　 　． 35．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy的平方根为　 　． 36．已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15． （1）求这个正数； （2）求的平方根． 37．如图，分别把两个面积为800cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　 　 cm； （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为1300cm2． 38．为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国的责任心和使命感，市教育局举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动．各学校积极响应组织开展手工绘制精美贺卡活动．小芳制作了一张面积为144cm2的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为240cm2，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 39．阅读下列材料： 材料1：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得， 于是有2m2＝n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2， ∴2t2＝m2， ∴m也是偶数， ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误， ∴不是有理数． 材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分． 请解答： （1）用类似的方法，请证明是无理数； （2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值； （3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数． 四、拓展探究 40．已知a，b都是正整数，现定义新运算：． （1）计算：2*3＝　 　，3*（9*4）＝　 　； （2）若x*9＝5，则x的值为　 　． 41．当时，2x﹣5的值是　 　． 42．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． （1）点A表示的数为　 　 ；点B表示的数为　 　 ． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ∵，∴2＜＜3． ∴的整数部分为2，小数部分﹣2． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为　 　 ，小数部分为　 　 ． （3）已知x是整数，0＜y＜1，且x+y＝6+，求x﹣3y的值． 43．对于实数a，我们规定：用符号[]表示不大于的最大整数，称[]为a的根整数，例如：[]＝3，[]＝3． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　 ；[]＝　 　 ． （2）若[]＝3，写出满足题意的x的一个整数值． （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，[]＝3→[]＝1，这时候结果为1．如果只需进行3次连续求根整数运算，结果为1的所有正整数中最大的是　 　 ． 44．设，，，…，．若，求S（用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 第1页共10页 学科网（北京）股份有限公司 $