2.1等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1等式性质与不等式性质 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 不等式性质： 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 一、单选题 1．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 2．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 4．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 5．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 6．（26-27高一·全国·暑假作业）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 二、多选题 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 8．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 10．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 11．（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高三下·上海·阶段检测）设，不等式的解集为__________． 【答案】 【知识点】公式法解绝对值不等式 【详解】不等式可变形为，即，解得. 所以不等式的解集为. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 【答案】4 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、根据函数的最值求参数、分类讨论解绝对值不等式 【分析】根据多个绝对值和的最小值在绝对值零点的中位数位置取得的性质，按、、三种情况分类讨论，分别求出函数最小值并令其等于4，解出符合条件的后计算所有的取值之和. 【详解】表示数轴上动点到定点、、的距离之和， 对于奇数个绝对值相加，距离和的最小值在中间点（中位数）处取得， 分情况讨论： 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 当时，三个点排序为，最小距离和，不合题意，舍去； 当时，三个点排序为，最小距离和为， 令，解得； 的所有取值为和，取值之和为. 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【知识点】作差法比较代数式的大小、利用不等式求值或取值范围 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 16．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【知识点】利用不等式求值或取值范围、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 17．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，求证:. 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. 【知识点】由不等式的性质证明不等式、作差法比较代数式的大小 【分析】利用不等式的性质及作差法比较，即可得到结论． 【详解】略. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1等式性质与不等式性质 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 不等式性质： 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 一、单选题 1．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 4．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一·全国·暑假作业）若，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高三下·上海·阶段检测）设，不等式的解集为__________． 13．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，，则的取值范围是________． 14．（2026·山西忻州·模拟预测）若函数的最小值为4，则实数的所有取值之和为__________. 四、解答题 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 17．（26-27高一·全国·暑假作业）已知，求证:. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $