2027届高三数学一轮复习 第十九讲任意角、弧度制及三角函数概念

该高中数学高考复习学案系统梳理了任意角、弧度制及三角函数概念核心考点，以角的概念、弧度制、三角函数定义及三角函数线为知识架构，通过问题导向的题型设计引导学生自主构建知识网络，体现从基础概念到应用的层次性与系统性。 亮点在于诊断性题型与自主学习支持设计，如设置象限角判断、三角函数符号辨析等自测题，学生通过题型训练提升数学思维与抽象能力，每个模块配有定义应用实例与扇形公式推导任务，帮助自主诊断薄弱点，教师可依据答题情况精准指导，助力因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第十九讲 任意角、弧度制及三角函数概念 【学习目标】了解任意角概念和弧度制，能进行角度与弧度的互化，理解三角函数定义. 【学习重点】三角函数的定义． 【学习难点】三角函数定义的理解和灵活运用. 必掌握知识点 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 必考题型全归纳 题型一 象限角、轴线角、终边相同的角 1．判断以下说法是否正确(均指在平面直角坐标系中,始边在x轴正半轴上). (1)第一象限角一定是锐角;     (2)终边相同的角一定相等; (3)小于的角一定是锐角;   (4)钝角的终边在第二象限. 2．下列说法中正确的是(　　) A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等 3．已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是（    ） A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合 C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合 4（多选）．已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5（多选）．若，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6（多选）．已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7（多选）．下列说法中正确的是（   ） A．终边在直线上角的集合是 B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 8．下述正确的是（    ） A．“，”是“”的充要条件 B．若，则 C．若的终边为第三象限平分线，则 D．若为第四象限角，则 9． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来： ①60°；②－21°. (2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来. 题型二、三角函数符号判断 10．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　) A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 11．如果已知，那么角的终边在 A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第四或第三象限 12（多选）．满足下列各条件的是第二象限角的有（   ） A． B． C．是第四象限角 D．，，且 题型三、三角函数定义（终边上点求参数 、三角函数值） 13．已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．若角的终边过点，且则实数的值为（    ） A． B． C． D． 15．下列说法正确的是（   ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则是第一象限角 C．若，且，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 题型四、充分必要条件、三角命题真假判断 16．下列命题正确的有（ ） A．若是第一象限角，则一定是锐角 B．“”是“”的充分不必要条件． C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 题型五、扇形、扇环周长、面积最值（弧度制应用） 17．已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于 A． B． C．1 D．2 18．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时，____________米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为____________元（）. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十九讲 任意角、弧度制及三角函数概念 【学习目标】了解任意角概念和弧度制，能进行角度与弧度的互化，理解三角函数定义. 【学习重点】三角函数的定义． 【学习难点】三角函数定义的理解和灵活运用. 必掌握知识点 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 必考题型全归纳 题型一 象限角、轴线角、终边相同的角 1．判断以下说法是否正确(均指在平面直角坐标系中,始边在x轴正半轴上). (1)第一象限角一定是锐角;     (2)终边相同的角一定相等; (3)小于的角一定是锐角;   (4)钝角的终边在第二象限. 【答案】（1）不正确（2）不正确（3）不正确（4）正确 【解析】根据象限角、锐角、终边相同的角的概念即可区分出答案. 【详解】(1)不正确,如,都是第一象限角,但它们不是锐角. (2)不正确.如与的终边相同,但它们不相等. (3)不正确,如不是锐角(锐角的取值范围是) (4)正确.(钝角的取值范围是) 【点睛】本题主要考查了象限角，终边相同的角的概念，属于中档题. 2．下列说法中正确的是(　　) A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等 【答案】C 【详解】：比较锐角和第一象限角的关系，比较第一象限角和第二象限角的关系，比较负角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论．第一象限的角一定不是负角，不正确，例如-300°,对于－831°是第四象限角，应该是第三象限角，错误，对于D，由于终边与始边均相同的角一定相等，比如0和3600，因此错误，故排除法得到C． 点评：本题考查象限角和轴线角，是一个基础题，解题的关键是举出特殊的角度来说明问题是错误或正确的． 3．已知角的终边在x轴上方，那么角的范围是（    ） A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合 C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合 【答案】C 【分析】由题设知且，求的范围，进而判断其所在的象限. 【详解】由题意，且，则， ∴角的范围是第一或第三象限角的集合.故选：C 4（多选）．已知角α的终边在第一象限，那么角的终边可能在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】先写出角α的终边在第一象限角的集合，再通过运算进行求解判断即可. 【详解】因为角α的终边在第一象限，所以，， 即，．当时，，则终边在第一象限； 当时，，则终边在第二象限；当时，，则终边在第三象限；当时，，则终边在第一象限．故选：ABC． 5（多选）．若，则角的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】对分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果. 【详解】当为偶数时，设，则， 此时与角终边相同，为第二象限角； 当为奇数时，设，则， 时，与角终边相同，为第四象限角．故选：BD． 6（多选）．已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】先写出角的终边在第一象限角的集合，再通过运算求解判断即可. 【详解】因为角的终边在第一象限，所以， 所以，当时，，则终边在第一象限； 当时，，则终边在第三象限；所以角的终边可能在第一象限或第三象限.故选：AC 7（多选）．下列说法中正确的是（   ） A．终边在直线上角的集合是 B．若角的终边落在第二象限，则角是钝角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】ACD 【分析】写出终边落在直线上角的集合，即可判断A；写出终边落在第二象限角的集合，举出反例即可判断B；写出终边落在第一象限角的集合，再求出即可判断C；根据已知条件结合基本不等式等号成立的条件即可判断D. 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B，终边落在第二象限的角的集合为， 所以角不一定为钝角，例如，所以B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以，由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则，即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值，此时，解得，所以D正确.故选：ACD 8．下述正确的是（    ） A．“，”是“”的充要条件 B．若，则 C．若的终边为第三象限平分线，则 D．若为第四象限角，则 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的定义即可判断A；根据特殊角的余弦函数值即可判断B；根据第三象限正切值的符号即可判断C；根据第四象限正弦值的符号即可判断D. 【详解】对于A，若，，当为奇数时， ， 当为偶数时， ，综上，， 若，则，即， 所以，所以，， 所以“，”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若的终边为第三象限平分线，则，故C错误； 对于D，若为第四象限角，则，故D错误.故选：A. 9． (1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来： ①60°；②－21°. (2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【分析】根据终边相同的角的概念，写出与所求角的终边相同的角的集合S，再求出S中适合条件的元素α即可． 【详解】（1）①与60°角终边相同的角的集合为S＝{α|α＝60°+k•360°，k∈Z}， 当k＝﹣1时，α＝﹣300°，k＝0时，α＝60°，k＝1，α＝420°； ∴S中适合不等式﹣360°≤α＜720°的元素α为：﹣300°，60°，420°； ②与﹣21°角终边相同的角的集合为S＝{α|α＝﹣21°+k•360°，k∈Z}， 当k＝0时，α＝﹣21°，k＝1时，α＝339°，k＝2时，α＝699°； ∴S中适合不等式﹣360°≤α＜720°的元素α为：﹣21°，339°，699°； （2）直线yx的斜率为k，倾斜角为β＝120°， ∴终边在直线yx上的角的集合为S＝{α|α＝120°+k•180°，k∈Z}， 当k＝﹣1时，α＝﹣60°，k＝0时，α＝120°； ∴S中适合不等式﹣180°≤α＜180°的元素α为﹣60°，120°． 【点睛】本题考查了与已知角终边相同的角的概念的应用问题，是基础题目． 题型二、三角函数符号判断 10．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　) A．0 B．2 C．－2 D．2或－2 【答案】A 【详解】∵α是第三象限角，∴是第二或第四象限角． 当为第二象限角时，y＝1＋(－1)＝0；当为第四象限角时，y＝－1＋1＝0.∴y＝0. 11．如果已知，那么角的终边在 A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第四或第三象限 【答案】B 【详解】由不等式得知在第二或者第四象限，由第二个不等式得知在第二或者第三象限，所以在第二象限，，则，可见为第一或者第三象限角，故正确选项为B． 考点：任意角三角函数的正负及任意角的象限． 12（多选）．满足下列各条件的是第二象限角的有（   ） A． B． C．是第四象限角 D．，，且 【答案】BD 【分析】由象限角、弧度制及任意角定义判断A、B；由求范围判断C；根据方程确定正余弦函数值符号判断角所在象限判断D. 【详解】对于A，，不是第二象限角，故A错误； 对于B，，是第二象限角，所以是第二象限角，故B正确； 对于C，是第四象限角，则，故，即第二或第四象限角，故C错误； 对于D，由所给条件可得，，所以是第二象限角，故D正确．故选：BD 题型三、三角函数定义（终边上点求参数 、三角函数值） 13．已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由即可得. 【详解】，故的终边在第四象限.故选：D. 14．若角的终边过点，且则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，然后利用三角函数的定义结合求出实数 的值. 【详解】，则点的坐标为， 因为．所以角的终边在第二象限或第三象限，故． 再根据三角函数的定义得：，即，解得（舍)或.故选：C． 【点睛】本题考查利用三角函数的定义求参数，在利用三角函数的定义列式时，要结合三角函数值符号判断出参数的符号，考查计算能力，属于基础题. 15．下列说法正确的是（   ） A．若终边上一点的坐标为，则 B．若角为锐角，则是第一象限角 C．若，且，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为 【答案】BC 【分析】由终边上一点即可求其余弦值，即可对A判断；由角为锐角，则可对B判断；若，则，再结合题意求得，从而可对C判断；利用弧长及扇形面积公式即可求解D. 【详解】A：若终边上一点的坐标为，则，故A错误； B：若角为锐角，则是第一象限角，故B正确； C：若，则，又因为且，所以， 解得，则，故C正确； D：圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为，故D错误. 故选：BC. 题型四、充分必要条件、三角命题真假判断 16．下列命题正确的有（ ） A．若是第一象限角，则一定是锐角 B．“”是“”的充分不必要条件． C．若，则 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BC 【分析】根据象限角及锐角的概念即可判断出选项A；根据三角函数的求值及充分条件、必要条件、充要条件的概念即可判断出选项B；根据诱导公式即可判断出选项C；根据扇形弧长公式和面积公式即可判断出选项D. 【详解】选项A：第一象限角的范围为，.如是第一象限角，但不是锐角，A错误； 选项B：充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 选项C：因为，所以，C正确； 选项D：设扇形的半径为，则，所以， 所以该扇形的面积为，D错误.故选：BC. 题型五、扇形、扇环周长、面积最值（弧度制应用） 17．已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】设半径 ，弧长 ，扇形面积 对称轴是 ， 时，面积有最大值 ，半径 ，弧长 ，扇形的中心角的弧度数 . 18．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时，____________米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为____________元（）. 【答案】 / 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得，当时，解得， ， 装饰费为 故，令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为，花坛每平方米的装饰费用最小为元.故答案为：5；. 【点睛】题意可得，，得是解决本题的关键. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $