第4章 第1节 任意角、弧度制及三角函数的概念——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角、弧度制及三角函数的概念”核心考点，依据课标要求梳理了角的推广、弧度制互化、三角函数定义三大考查内容，通过教材改编题和高考真题分析，明确象限角判断、弧度制应用、三角函数定义求值等高频题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题改编+规律方法+素养培养”的备考设计，如例2扇形问题结合均值不等式求最值，培养数学思维中的运算与推理能力，例3利用终边上点的坐标求三角函数值，强化数学语言表达。规律方法总结助学生掌握答题技巧，教师可依托对点训练精准教学，提升复习效率。

第4章 第1节　任意角、弧度制及三角函数的概念 2027届高考数学总复习 目录索引 考前自测 知识梳理 考点突破 课标解读 课标解读　 1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.借助单位圆理解三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义,并能利用三角函数的定义解决相关问题. 考前自测 1.(人教B版必修第三册7.1.1节练习第5题改编)下列结论中,正确的是(　　) A.第一象限角一定是锐角 B.终边相同的角一定相等 C.小于90°的角一定是锐角 D.钝角的终边在第二象限 D 解析 361°角是第一象限角,但不是锐角,故A错误;361°与1°角终边相同,但不相等,故B错误;-30°角小于90°,但不是锐角,故C错误;钝角的取值范围为大于90°且小于180°,终边落在第二象限,故D正确.故选D. 2.(人教B版必修第三册7.1.2节练习第5题改编)一条弦的长度等于半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数为(　　) A. B.1 C. D.2 C 解析 由题可得,这条弦所对的圆心角的度数为60°,所以弧度数为.故选C. 3.(人教A版必修第一册5.2.1节练习第3题改编)已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin θ=　　　　,cos θ=　　　　,tan θ=　　　　.  　 　-　 　- 解析 r=|OP|=13,由三角函数定义可得sin θ=,cos θ=-,tan θ=-. 4.(人教A版必修第一册5.2.1节练习第4题)对于①sin θ>0,②sin θ<0, ③cos θ>0,④cos θ<0,⑤tan θ>0与⑥tan θ<0,选择恰当的关系式序号填空: (1)角θ为第一象限角的充要条件是　　　　　　　　　　　　　;  (2)角θ为第二象限角的充要条件是　　　　　　　　　　　　　;  (3)角θ为第三象限角的充要条件是　　　　　　　　　　　　　;  (4)角θ为第四象限角的充要条件是　　　　　　　　　　　　　.  ①③或①⑤或③⑤或①③⑤ ①④或①⑥或④⑥或①④⑥ ②④或②⑤或④⑤或②④⑤ ②③或②⑥或③⑥或②③⑥ 知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形.  (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　 　　　.  (4)象限角:使角的顶点与原点重合,角的始边与　　　　　　　重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.  端点 正角 负角 零角 象限角 轴线角 {β|β=α+k·360°,k∈Z} x轴的非负半轴　 微点拨 常用轴线角的集合 微思考 1.锐角一定是第一象限角吗?第一象限角一定是锐角吗?     2.终边相同的角是否一定相等?   提示 锐角一定是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角. 提示 终边相同的角不一定相等,它们之间相差360°的整数倍. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示,读作弧度. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=　　　　(l表示弧长)  角度与弧度的换算 1°=　　　　 rad; 1 rad=　　　　°  弧长公式 弧长l=　　  扇形面积公式 利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度 S=　　　　=|α|r2  　 ()　 |α|r　 　lr 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=　　　,cos α=　　　,tan α=　　　　.  (2)定义的推广:设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,它到原点O的距离为r(r>0),则sin α=　　　　,cos α=　　　　, tan α=　　　　.  即r=|OP|= 微点拨 若点P在角α的终边上,且到原点的距离为r,则点P的坐标为 P(rcos α,rsin α). y　 x 　(x≠0) (x≠0) (3)三角函数值在各象限内的符号 　 口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦 考点突破 考点一　象限角与终边相同的角 例1　(1)(2026·河南濮阳期中)与80°角终边相同的角的集合为(　　) A.{x|x=k·360°-80°,k∈Z} B.{x|x=k·180°+80°,k∈Z} C.{x|x=k·360°+440°,k∈Z} D.{x|x=k·180°-280°,k∈Z} C 解析 由于440°=360°+80°,所以80°角与440°角终边相同,因此与80°角终边相同的角的集合即为与440°角终边相同的角的集合{x|x=k·360°+440°,k∈Z}.故选C. (2)(多选题)若α是第二象限角,则下列结论正确的是(　　) A.-α是第一象限角 B.是第一或第三象限角 C.+α是第二象限角 D.2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴负半轴上 BD 解析 因为α是第二象限角,则+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.对于选项A,-π-2kπ<-α <--2kπ,k∈Z,则-α是第三象限角,故A错误;对于选项B,可得+kπ<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角,故B正确;对于选项C,2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α是第一象限角,故C错误;对于选项D,π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上,故D正确.故选BD. (3)(2025·福建厦门月考)在直角坐标系中,集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) C 解析 在直角坐标系中,当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,n∈Z,此时α表示的范围(阴影部分)与≤α≤表示的范围一样;当k=2n+1(n∈Z)时, 2nπ+π+≤α≤2nπ+π+,n∈Z,此时α表示的范围与+π≤α≤+π表示的范围一样.故选C. 规律方法　1.象限角的两种判断方法 图象法 在平面直角坐标系中作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 将已知角化为α+2kπ(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,由α所在象限判断已知角所在象限 2.求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k,且k∈Z)表示; (2)两边同除以n或乘n(n∈N*); (3)对k进行分类讨论,确定或nθ(n∈N*)所在的象限. [提醒]注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角. [对点训练1](2025·广东惠州期中)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内,则角α的取值范围是(　　) A.() B.() C.[] D.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D 解析 阴影部分的两条边界分别是角的终边,所以α的取值范围是[2kπ+,2kπ+](k∈Z).故选D. 考点二　弧度制及其应用 例2　已知一个扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的面积; (2)若扇形的周长为20 cm,面积为9 cm2,求扇形圆心角的弧度数; (3)若扇形面积为16,求扇形周长的最小值及此时扇形的圆心角. 解 (1)由题意可知扇形圆心角的弧度为,则该扇形的面积为 S=×102= cm2. (2)因为扇形圆心角的弧度为α,扇形半径为R,则该扇形的弧长为l=αR, 所以解得(舍去)或 所以扇形圆心角的弧度数为. (3)因为扇形圆心角的弧度为α,扇形半径为R,则αR2=16,则αR=,扇形的周长为αR+2R=+2R≥2=16,当且仅当R=4时,周长可取得最小值 16 cm,此时α=2,故此时扇形的圆心角为2. 规律方法　弧长与面积计算中的常用技巧 (1)注意弧长、弦长、圆心角、圆周角等的区别与联系; (2)注意合理运用圆心角所在的三角形及其中的边角关系和面积公式; (3)弓形的面积等于扇形的面积与三角形的面积之差. [对点训练2](2026·陕西西安期中)已知某扇形的圆心角为α,周长为10,设甲:α为第二象限角;乙:该扇形的面积为6,则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件 D 解析 设扇形的半径为r,弧长为l,则解得所以当r=2时,α==3,其为第二象限角;当r=3时,α=,其不是第二象限角.又第二象限角的范围为(2kπ+,2kπ+π),k∈Z,所以甲无法推出乙,乙也无法推出甲.故选D. 考点三　任意角三角函数的定义及其应用 考向1　利用三角函数的定义求值 例3　(1)[一题多变](2025·辽宁辽阳期末)若α的终边经过点(,6),则(　　) A.cos α= B.sin α= C.α为锐角 D.tan α=2 D 解析 因为角α的终边经过点(,6),所以r=.由三角函数的定义,sin α=,cos α=,tan α==2,且α为第一象限角,但不一定是锐角.故选D. (2)若角的终边上有一点P(3m-1,m+2),则实数m=　　　　　.  解析 由题得tan,而tan=-tan=-1,所以=-1,且3m-1<0, m+2>0,解得m=-. 变式 [变式1](点的坐标由具体数值变为参数)若α的终边经过点(m,6m)(m≠0),则cos α的值为　　 　　.  或- 解析 当m>0时,x=m,y=6m, 所以r=m, 故cos α=; 当m<0时,x=m,y=6m, 所以r==-m, 于是cos α==-, 所以cos α的值为或-. [变式2](由定点变为射线上的动点)若α的终边在射线3x+y=0(x<0)上, 则sin α的值为　　　　.  　 解析 在射线3x+y=0(x<0)上任取一点(-1,3),则x=-1,y=3,r=, 于是sin α=. 规律方法　 考向2　利用三角函数的定义求点的坐标 例4　(2025·安徽蚌埠期中)已知曲线C是以原点O为圆心的单位圆,P(0,1),将点P沿曲线C按逆时针方向运动后到达点Q,则点Q的坐标为(　　) A.(-) B.(-) C.(-,-) D.() A 解析 由题意知,圆的半径为1,点Q位于第二象限,且∠xOQ=,所以点Q的横坐标为cos=-,纵坐标为sin.故选A. 规律方法　利用三角函数的定义求点的坐标 由三角函数的定义可知,角θ的终边与以原点为圆心,半径为r的圆的交点的坐标为(rcos θ,rsin θ).因此在求角的终边或圆上(圆心为原点)一点的坐标时,关键是求出角的正弦值和余弦值. [对点训练3](2025·湖北武汉期末)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上从(1,0)出发沿顺时针方向做匀速圆周运动,每秒1 rad,则经过3秒,M的位置为(　　) A.(cos 3,sin 3) B.(cos 3,-sin 3) C.(-cos 3,sin 3) D.(-cos 3,-sin 3) B 解析 由题意,点M在角-3 rad的终边上,因此M的坐标为(cos(-3),sin(-3)),即为(cos 3,-sin 3).故选B. 考向3　判断三角函数值的符号 例5　(1)(2025·四川绵阳期中)“sin α<cos α”是“α为第四象限角”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析 当α=时,sin α<cos α成立,所以由sin α<cos α成立不能推出α是第四象限角;若α是第四象限角,则sin α<0,cos α>0,则sin α<cos α成立, 故sin α<cos α是α为第四象限角的必要不充分条件.故选B. (2)(2025·山西太原期中)设θ是第三象限角,则点P(sin(sin θ),cos(cos θ)) 在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 解析 因为θ是第三象限角,所以-1<sin θ<0且-1<cos θ<0,因此sin θ,cos θ都是第四象限角,于是sin(sin θ)<0,cos(cos θ)>0,所以点P(sin(sin θ),cos(cos θ))在第二象限.故选B. 规律方法　判断三角函数值的符号,关键是确定角所在的象限,然后结合三角函数值在各个象限的符号确定.特别注意:不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况(即轴线角). [对点训练4](2025·北京海淀期中)若角α顶点在原点,始边在x的正半轴上,终边上一点P的坐标为(sin,cos),则角α为(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C 解析 因为是第三象限角,是第二象限角,所以sin<0,cos<0,因此P点在第三象限,即角α为第三象限角.故选C. A. B. C. D. $