第21讲 三角恒等变换导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理三角恒等变换核心考点，以两角和差、二倍角公式为基础，通过降次、半角、辅助角公式构建知识内在联系，设计问题链引导学生自主推导公式逻辑，形成从基础公式到恒等变形的层次化解题体系。 亮点在于分题型诊断与方法迁移设计，如必考题型涵盖5大高频考点，每题设置公式应用提示，培养数学思维的推理与运算能力。巩固提高题分层设计，学生可自主检测薄弱环节，教师通过题型反馈精准指导，助力学生提升自主复习效率与数学语言表达能力。

2027届高三数学一轮复习 第二十一讲 三角恒等变换 【学习目标】理解记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并能利用上述公式进行简单的恒等变形. 【学习重点】应用三角函数恒等变换公式进行求值与化简． 【学习难点】熟练应用三角函数恒等变换公式求值与化简． 必掌握知识点 一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二．二倍角公式 ①； ②； ③； 3. 降次（幂）公式 四.半角公式 五．辅助角公式 （其中）． 解题方法总结: 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； 3、其他常用变式 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤ 注意：特殊的角也看成已知角，如． 必考题型全归纳 题型一、任意角三角函数定义（单位圆 、终边上点） 1．在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线对称且，若角的终边与单位圆交于点，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称求出角的终边与单位圆交于点，然后得到，再根据单位圆得到，进而求得. 【详解】若角的终边与角的终边关于直线对称，则角的终边与单位圆交于点，则；因为点在单位圆上，所以；由，代入解得或（舍）；因此.故选：C. 2．已知，，且是第二象限角，则实数的值为______． 【答案】 【分析】根据角所在象限，结合同角的三角函数关系，列出不等式和相应等式，即可求得答案. 【详解】由题意，，且是第二象限角，可得， 解，可得或，当时，不满足，适合题意，故实数的值为，故答案为： 3．如图， 以轴的非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的横坐标为． (1)求的值； (2)若， 求的值． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数，代入求值； （2）由条件可知，，利用诱导公式，结合三角函数的定义，求函数值. 【详解】（1）的横坐标为，     . （2）由题可得，      ，     . 题型二、同角三角函数基本关系 4．已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各象限三角函数的符号，结合同角三角函数的基本关系求值. 【详解】因为为第四象限角，且， 所以，且.所以.故选：D 5．已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对两边平方化简可求出，再结合的范围和，可求出，从而进行判断即可. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以，故B正确．又，所以，所以由，解得，故C错误，所以，，故A错误，D错误，故选：B． 6．设甲：，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可确定选项. 【详解】若，则； 而当时，有，. 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A. 题型三、诱导公式 7．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（   ） 5° 15° 25° 35° m n p q A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式，再利用二倍角公式，接着齐次化转化为正切可求. 【详解】 ，故选：B. 8．已知cos，且π<α<，则cos等于（    ） A． B． C． D． 【答案】 选:D 【分析】由cos，利用诱导公式转化为cos=sin，再根据π<α<， 利用平方关系求解. 【详解】∵cos=sin，又-π<α<-α< ∴cos=-= 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式和同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题. 9（多选）．已知，则的可能值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用同角三角函数关系和正弦二倍角公式得到，故或. 【详解】由， 得，所以或.故选：AB． 10．下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先根据诱导公式得到sin168°=sin12°和cos10°=sin80°，再结合正弦函数的单调性可得到sin11°＜sin12°＜sin80°从而可确定答案． 解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°，cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°． 又∵y=sinx在x∈[0，]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．故选C． 考点：正弦函数的单调性． 11．已知，，则的值为________. 【答案】2 【解析】利用同角三角函数的基本关系可得，，再根据半角公式即可求解. 【详解】由题意得，即， ，，，. 故答案为2 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及半角公式，需熟记公式，属于基础题.1 题型四、恒等变换公式（和差、二倍、半角、辅助角、降幂） 12．若,则 A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】将，两边平方，再利用“1”的代换可得，即，再分子分母同除以，得到求解. 【详解】，，则，即，，解得.故选：B 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 13．已知，. (1)求和的值； (2)若，，求证：. 【答案】(1)， 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦公式以及两角差的余弦公式即可求解； （2）根据题意，结合两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，，且，所以，所以；所以. （2） 由（1）知，因为， 因为，，所以，所以. 14．已知，． 的值 求的值． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）将条件平方得，从而得， 进而由可得解； （2）由，可得从而得解. 解析：⑴ ,,又，， ，. ⑵， 15．已知，，求的值． 【答案】 【分析】将，两边平方可求得，再利用平方关系可求得，再根据结合二倍角公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，得，∵450°<α<540°，∴， ∴. 题型五、三角函数图像性质 16．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先联立两个三角函数解析式求交点坐标，取距离最短的两交点利用两点间距离公式计算即得的值. 【详解】令，整理得，，因此，解得交点横坐标为，对应的纵坐标，取相邻的两交点，当时，交点为， 当时，交点为.由，，因，所以. 巩固提高： 1．已知：关于的方程的两根为和，．求： （1）的值； （2）的值； （3）方程的两根及此时的值． 【答案】（1） ；（2）；（3）方程的两个根分别为、，对应的值为 或． 【分析】（1）由题意得，再根据三角函数的恒等变换化简 为，从而求得结果． （2）由、 以及同角三角函数的基本关系可得，由此解得的值． （3）由以上可得，、，解得 和 的值，从而求得故此时方程的两个根及的值． 【详解】（1）由于关于的方程的两根为和，故有， （2）由、，，即，解得． （3）由以上可得，、，解得，； 或者，．故此时方程的两个根分别为、，对应的值为 或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，同角三角函数的基本关系的应用，三角函数的恒等变换，根据三角函数的值求角，属于中档题． 2．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）根据三角函数的诱导公式化简即可. 【详解】（1）角的终边经过点，则， ； （2）原式. 3．已知， (1)先化简，再求的值； (2)已知，求的值； (3)若已知，且，求的值. 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用两角和的正切公式求出，再由二倍角余弦公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （3）利用诱导公式求出，即可求出，再由二倍角公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为，所以，解得， 所以； （3）因为可得，即，所以， 因为，所以，， 又，所以，所以， 所以，解得（负值已舍去）. 4．（1）化简： （2）化简： （3）化简：. 【答案】（1）; （2）. (3)1 【详解】（1）原式=. （2）原式. (3)原式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十一讲 三角恒等变换 【学习目标】理解记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，并能利用上述公式进行简单的恒等变形. 【学习重点】应用三角函数恒等变换公式进行求值与化简． 【学习难点】熟练应用三角函数恒等变换公式求值与化简． 必掌握知识点 一．两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； 二．二倍角公式 ①； ②； ③； 3. 降次（幂）公式 四.半角公式 五．辅助角公式 （其中）． 解题方法总结: 1、两角和与差正切公式变形 ； ． 2、降幂公式与升幂公式 ； 3、其他常用变式 4、拆分角问题：①；；②；③； ④；⑤ 注意：特殊的角也看成已知角，如． 必考题型全归纳 题型一、任意角三角函数定义（单位圆 、终边上点） 1．在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线对称且，若角的终边与单位圆交于点，且，则为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且是第二象限角，则实数的值为______． 3．如图， 以轴的非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的横坐标为． (1)求的值； (2)若， 求的值． 题型二、同角三角函数基本关系 4．已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 6．设甲：，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 题型三、诱导公式 7．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间的三角函数值，右表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（   ） 5° 15° 25° 35° m n p q A． B． C． D． 8．已知cos，且π<α<，则cos等于（    ） A． B． C． D． 9（多选）．已知，则的可能值是（    ）． A． B． C． D． 10．下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 11．已知，，则的值为________. 题型四、恒等变换公式（和差、二倍、半角、辅助角、降幂） 12．若,则 A． B．2 C． D． 13．已知，. (1)求和的值； (2)若，，求证：. 14．已知，． 的值 求的值． 15．已知，，求的值． 题型五、三角函数图像性质 16．已知，在函数与的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固提高： 1．已知：关于的方程的两根为和，．求： （1）的值； （2）的值； （3）方程的两根及此时的值． 2．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）化简：. 3．已知， (1)先化简，再求的值； (2)已知，求的值； (3)若已知，且，求的值. 4．（1）化简： （2）化简： （3）化简：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $