2027届高三数学一轮复习 第二十讲同角三角函数的基本关系及诱导公式

该高中数学高考复习学案系统梳理了同角三角函数基本关系及诱导公式核心考点，以平方关系、商数关系为基础，结合六组诱导公式及“奇变偶不变”记忆口诀构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主归纳弦切互化、知一求二等应用方法，形成完整的三角函数化简求值认知体系。 亮点在于诊断性题型训练和分层任务设计，开篇设置18道覆盖各类应用的题型作为自测工具，学生通过错题分布明确薄弱环节，结合“解题方法总结”中的方程思想等策略自主提升。每个题型配有思路引导和易错点标注，培养学生数学思维与运算能力，教师可依据学生答题情况实施精准辅导，助力个性化复习与高效备考。

2027届高三数学一轮复习 第二十讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【学习目标】理解同角三角函数的基本关系，会用诱导公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数. 【学习重点】同角三角函数的基本关系和诱导公式. 【学习难点】同角三角函数的基本关系和诱导公式的灵活准确运用. 必掌握知识点 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 用途：弦切互化、知一求二、平方构造等式 2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 用途：用于任意角三角函数化为锐角三角函数，角度平移、正负角化简 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【解题方法总结】 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 必考题型全归纳 题型一 同角三角函数基本关系、诱导公式的应用 1．设，则（    ） A． B． C． D． 2．已知．则（    ） A． B． C．或 D．或 3．设为锐角，若，则的值为 A． B． C． D． 4．设，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D．1 8．已知sin＝，则cos的值等于（    ） A． B． C．－ D．－ 9．已知 ，则＝（　　） A． B． C．－ D．－ 10．已知，，则（    ） A．1 B． C．－ D．－1 11．在中，若cosA=，则sin2+cos2A=（    ） A．- B． C．- D． 12．已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 13．已知，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，则(    ) A． B． C． D． 15．已知，则=（    ） A． B． C． D． 16．已知，则（   ） A． B． C． D． 17．已知，则（    ）． A． B． C． D． 18（多选）．下列各式中，值为的是（    ） A．2sin15°cos15° B．2sin215°-1 C． D． 题型二、三角式求值、比较大小 19．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 20．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 题型三 三角函数图像与性质 21．已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 题型四、三角形内三角恒等变换 22．在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 题型五、向量与三角函数综合 23（多选）．下列命题中，正确的是（    ） A．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 B．若，，是平面内三个非零向量，则 C．若，，其中，则 D．若是所在平面上的一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心 题型六、三角换元（几何意义 、 最值） 24．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题．例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可． (1)当设时，利用上述内容求的取值范围； (2)利用恒等式和，求和的最小值； (3)已知：若，则有．现有实数x，y满足，求二元函数的最大值． 题型七、三角恒等式证明（和差化积 、积化和差） 25．世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 【学习目标】理解同角三角函数的基本关系，会用诱导公式化任意角的三角函数为锐角的三角函数. 【学习重点】同角三角函数的基本关系和诱导公式. 【学习难点】同角三角函数的基本关系和诱导公式的灵活准确运用. 必掌握知识点 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 用途：弦切互化、知一求二、平方构造等式 2、三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 用途：用于任意角三角函数化为锐角三角函数，角度平移、正负角化简 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【解题方法总结】 1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2、“”方程思想知一求二． 必考题型全归纳 题型一 同角三角函数基本关系、诱导公式的应用 1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件两边平方，利用同角三角函数基本关系和二倍角公式即可求出的值. 【详解】∵，∴，∴． 故选：D. 2．已知．则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用辅助角公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由得，故， 故．故选：B. 3．设为锐角，若，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为锐角，若，设 ， ．故选B． 4．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将条件平方求的值，再将正切转化为正弦和余弦，即可求解. 【详解】由条件可知，，可得， .故选：D 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简得，进而得，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 所以.故选：B. 6．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 由可得， 故，故选：A 7．已知，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】，, ， 又，则，即所以， 因为，所以，. 由平方可得，即，符合题意.综上，.故选：B. 8．已知sin＝，则cos的值等于（    ） A． B． C．－ D．－ 【答案】C 【解析】利用诱导公式，求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值. 【详解】∵， 则，故选：C. 9．已知 ，则＝（　　） A． B． C．－ D．－ 【答案】C 【分析】先由求出，再利用二倍角公式直接求解. 【详解】因为，所以两边平方得：，即. 所以.故选：C 10．已知，，则（    ） A．1 B． C．－ D．－1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答． 【详解】因为，而， 因此，则， 所以，故选：A. 11．在中，若cosA=，则sin2+cos2A=（    ） A．- B． C．- D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】sin2+cos2A=+2cos2A-1=+2cos2A-1=.故选：A 12．已知α为钝角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方关系求出，再根据，利用和角的余弦公式计算求解. 【详解】，则，， .故选：D. 13．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个式子两边平方后再相加即可. 【详解】因为,两边平方得， 同理可得,两边同时相加得,即,所以，故选：C. 14．已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦二倍角公式和辅助角公式化简已知等式求出，结合余弦二倍角公式即可求． 【详解】 ，， ∴．故选：B． 15．已知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由于，进而结合诱导公式和二倍角公式求解即可. 【详解】解：因为， 所以. 故选：B 16．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ，故. 17．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换公式化简求值得解. 【详解】解：. 故选：A 18（多选）．下列各式中，值为的是（    ） A．2sin15°cos15° B．2sin215°-1 C． D． 【答案】CD 【分析】A、B应用二倍角正余弦公式化简求值；C、D根据同角三角函数的商数关系及平方关系、二倍角正余弦及正切公式化简求值. 【详解】A：2sin15°cos15°，不合题设； B：2sin215°-1，不合题设； C：，符合题设； D：，符合题设. 故选：CD 题型二、三角式求值、比较大小 19．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】 因为当时，为增函数，所以，故故选：C. 20．设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式、二倍角公式化简，再利用三角函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，，， 而，因此，所以. 题型三 三角函数图像与性质 21．已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案. 【详解】因为图象的两个相邻对称中心之间的距离为，所以的最小正周期为，又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故，画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根， 则方程有且只有两个不同的实数根， 则与的图象仅有两个交点，所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为. 题型四、三角形内三角恒等变换 22．在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【分析】根据得到，求出，得到三角形形状. 【详解】， 故，即， 因为，所以，故为等腰三角形.故选：B 题型五、向量与三角函数综合 23（多选）．下列命题中，正确的是（    ） A．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 B．若，，是平面内三个非零向量，则 C．若，，其中，则 D．若是所在平面上的一定点，动点满足，，则直线一定经过的内心 【答案】CD 【分析】根据数量积的运算求出向量，的夹角，可判断A;根据向量的数乘的含义，可判断B；计算向量，的数量积，看结果是否为零，判断C;根据向量加减法的几何意义结合三角形的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为，所以，所以与的夹角为，A错误； 表示与共线的向量，而表示与共线的向量，不成立，B错误： 对于C，，，则， 所以，C正确； 对于D，，即，则为的平分线，一定经过的内心，D正确, 题型六、三角换元（几何意义 、 最值） 24．“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题．例如要求的取值范围，只需设，即，使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可． (1)当设时，利用上述内容求的取值范围； (2)利用恒等式和，求和的最小值； (3)已知：若，则有．现有实数x，y满足，求二元函数的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）设，可得直线与有公共点，进而求解可得的取值范围； （2）将问题转化为三角函数的最值问题，即动点到两定点距离之和最值问题即可； （3）设，变形得，则转化为表示点到点和的距离之差再加上，利用三点共线即可得到答案. 【详解】（1）因为，可设， 所以，所以，又为轴上方的半圆， 故直线与有公共点，所以， 所以，又直线过点时，， 又直线在轴上的截距为，所以，所以的取值范围为； （2）设，则，则，由（1）可得，所以的最小值为； 当时， ， 表示点到点和的距离之和，所以. 当时， ， 表示点到点和的距离之差， 所以.的最小值为. （3）因为，故，故，同理. 由已知得若，则有． 令，则，且； 设， 由 ， 所以 ， 所以可得 ， 其表示点到点和的距离之差再加上， 所以，当且仅当， 即，此时满足. 题型七、三角恒等式证明（和差化积 、积化和差） 25．世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式． 积化和差： ， ． 和差化积： ， ． 运用上面的公式解决下列问题： (1)证明：； (2)若，证明：； (3)若函数，判断的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)根据二倍角公式与和差化积恒等式得： . (2) 左边， 右边 . 由，得， 所以. (3)仅有一个零点.显然，下面证明当时，. . 当时，， 因此， 即当时，.所以仅有1个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $