第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数的基本关系与诱导公式”核心考点，依据课标要求构建“知识要点+重要结论+考点突破”体系，覆盖平方关系、商数关系、诱导公式等高考必考点，通过基础检测与典型例题归纳公式直接应用、弦切互化、和积转换三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”，如例2通过弦切互化将代数式转化为tanθ的表达式，培养数学思维中的运算能力，例3用整体代入法解决sinα±cosα与sinαcosα关系问题，强化推理意识。特设易错点分析与巩固训练，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第4章 三角函数、解三角形 第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.能借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin2α+cos2α=　　;  (2)商数关系 tan α= . 1 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 正弦 ______ ______ 余弦 ______ ______ 正切 ______ ______ 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 记忆规律 奇变偶不变，符号看象限 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 【重要结论】 1.平方关系的常用变形:1=sin2α+cos2α，sin2α=1-cos2α，cos2α=1-sin2α，sin α=±，cos α=±. 2.商数关系的常用变形:cos αtan α=sin α，cos α= . 3.弦切互化变形:sin2α= = ， cos2α= = ， sin αcos α= = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 4.sin α+cos α，sin αcos α，sin α-cos α三者之间的联系 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α， (sin α-cos α)2=　 　，  (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2， (sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=　 　.  1-2sin αcos α 4sin αcos α 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α+cos2β=1.(　　) (2)若α∈R，则tan α=恒成立.(　　) (3)sin(π+α)=-sin α成立的充要条件是α为锐角.(　　) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z)，则sin α=.(　　) (5)已知角α的终边经过点(3，4)，把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，则tan β等于-.(　　) × × × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 2.若sin αtan α>0，且cos αtan α<0，则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 D [解析] 由sin αtan α>0，cos αtan α<0，得>0，sin α<0， 因此sin α<0，cos α>0，所以角α是第四象限角.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.[必修1p183例6]已知cos α=-，且α为第三象限的角，则sin α=　　　　，tan α=　　　　　.  - [解析] 因为cos α= - ，且α为第三象限的角， 所以sin α= -= -= - ，tan α= = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.[必修1p186T15]已知 = -5，那么tan α的值为　　　　.  - [解析] 由 = -5，知cos α≠0， 等式左边分子、分母同时除以cos α， 可得 = -5，解得tan α= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.[必修1p193例4]化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为　　　　　　.  -sin2α [解析] 原式=·(-sin α)·cos α= - sin2α. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 同角三角函数基本关系的应用 角度1.公式的直接应用 例1　已知cos α= -，则13sin α+5tan α=　　.  0 [解析] ∵cos α= -<0且cos α≠-1，∴α是第二或第三象限角. ①若α是第二象限角， 则sin α=== ， ∴tan α= = = - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 此时13sin α+5tan α=13×+5×=0. ②若α是第三象限角， 则sin α=-= -= - ， ∴tan α== = ， 此时13sin α+5tan α=13×+5× =0. 综上，13sin α+5tan α=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [小结]由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值.因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 角度2.弦切互化 例2　(2025高三下·江苏常州·阶段考)已知sin θ-4cos θ=0，则=(　　) A.- B. C. D.- D [解析] 由sin θ-4cos θ=0，得tan θ=4， 故 = = = = - .故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 [小结]利用 =tan α可以实现角α的弦切互化. (1)若已知tan α=m,求形如的值,其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos2α)转化为tan α的代数式,再求值.如果先求出sin α和cos α的值再代入,那么运算量会很大,问题的解决就会变得繁琐. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α通常把分母看作1,然后用sin2α+cos2α代换,分子、分母同除以cos2α再求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 角度3.“和”“积”转换 例3　已知α为第二象限角，且sin α+cos α=，则cos α-sin α=(　　) A. B.- C.± D.- B [解析] 解法一(整体代入法):由sin α+cos α= ， 两边同时平方，得1+2sin αcos α= ，则2sin αcos α= - ， 所以(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1+ = . 因为α为第二象限角，所以cos α-sin α= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 解法二(换元法):sin α+cos α= ，① 令cos α-sin α=t.② 由①2+②2，得2sin2α+2cos2α= +t2，即2= +t2， 整理得t2=2- = ，解得t=±. 因为α为第二象限角，所以cos α-sin α<0， 故cos α-sin α= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 解法三(列方程法):由sin α+cos α= ，两边同时平方，得1+2sin αcos α= ， 则2sin αcos α= - ，即sin αcos α= - . 所以sin α，cos α是方程x2- x- =0的两根， 解方程得x1= - ，x2= . 因为α是第二象限角，所以sin α= ，cos α= - ， 所以cos α-sin α= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 [小结]1.对于三角函数式sin θ±cos θ,sin θ·cos θ之间的关系,可以通过(sin θ±cos θ)2=1±2sin θ·cos θ进行转化. 2.若已知sin θ±cos θ,sin θ·cos θ中三者之一,利用方程思想进一步可以求得sin θ,cos θ的值,从而求出其余的三角函数值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 1.已知 =，则 =(　　) A. B.- C. D.- A [解析] 从 =可得，cos x≠0，所以sin x≠±1， 因为 = = = =，故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 2.(2025高三下·湖南长沙·阶段考)已知θ为第三象限角，sin θ-cos θ= - ，则sin3θ+cos3θ=(　　) A. B. C.- D. C [解析] 由sin θ-cos θ= - 两边平方， 得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ= ，∴sin θcos θ= - ，(sin θ+cos θ)2= ， 又∵θ为第三象限角，∴cos θ<0，sin θ<0，∴sin θ+cos θ= - ， ∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=-×= - .故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 考点2 诱导公式的应用 例4　(1)已知角α的终边上有一点P(1，3)，则的值为(　　) A.- B.- C. D.4 C [解析] 因为角α的终边上有一点P(1，3)， 所以sin α= ，cos α= ， 所以 = = = ，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 (2)已知f(α)= . (ⅰ)化简f(α); (ⅱ)若f(α)=2，求sin2α-3sin αcos α的值. [解析] (ⅰ)f(α)= =tan α. (ⅱ)由(ⅰ)易得tan α=2， 所以sin2α-3sin αcos α= = = = - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 (3)已知α为锐角，且cos= ，则tan=(　　) A.- B.- C. D. D [解析] 因为α为锐角，所以α+∈，又cos= ， 由诱导公式得sin=sin=cos= ， cos=sin= . 所以tan= = = .故选D. 所以解得sin= ， 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]应用诱导公式时，注意符号的确定原则是视α为锐角，符号是变形前的原三角函数值的符号. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 3.已知4tan(2025π+θ)-1=0，则=　　　.  [解析] 由题意可得tan θ= ， 故 = = = . 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 4.已知α为锐角，且 =tan，则角α=(　　) A. B. C. D. C [解析] 由 =tan= ，得sin=cos， 即sin=sin=sin， 因为0<α<，所以 - <α-<，- <-α<，所以α- = -α，解得α=.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 5.(24-25高三下·安徽·阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(4a，3a)，其中a<0，则的值为　　　　　　　 .  - [解析] 因为a<0，所以θ为第三象限角，则cos θ= - ，sin θ= - ， 所以 = = = - = - = - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 考点3 同角三角函数的基本关系与 诱导公式的综合应用 例5　(1)已知sin(θ+π)-cos+sin=0. 则tan θ的值为　　　　　　　;sin θcos θ的值为　　　　　　　.  - - [解析] 由题意得，sin(θ+π)-cos+sin=-sin θ-sin θ-cos θ=0， 即-2sin θ=cos θ，若cos θ=0，则sin θ=0，不符合sin2θ+cos2θ=1， 故cos θ≠0，则tan θ= - . 所以sin θcos θ= = = =- . 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 (2)化简: =　　　　.  sin θ [解析] = =sin θ. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 (3)(2024·广东·二模)tan 7.5°-tan 82.5°+2tan 15°=(　　) A.-2 B.-4 C.-2 D.-4 D [解析] tan 7.5°-tan 82.5°+2tan 15° = -+2tan 15° = -+2tan 15° = +2tan 15° = -+ = = = -4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 6.化简 =　　　.  -1 [解析] = = = = -1. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 7.已知α为锐角，且2tan(π-α)-3cos+5=0，tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0，则sin α的值是(　　) A.　 　B.　 　C.　 　 D. C [解析] 由已知得 消去sin β，得tan α=3， ∴sin α=3cos α，代入sin2α+cos2α=1， 化简得sin2α= ， 又α为锐角，∴sin α>0，则sin α= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 8.平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则f(α)= 的值为　　　.  4 [解析] 由题设sin α= = ，cos α= = - ， 所以tan α= =-2; 所以f(α)= = = =4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 $