课时分层检测(21) 椭圆及其标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

当∠MCV=90时，S△e取得最大值. 6荟+t1[设箱周的方程为mr一W2学+号-1[：△AB眼的两长为8， y ∴.MC⊥NC,又kw=1,则直线VC为y= -x十4. =1(m>0,n>0,m≠n),根据题意得：∴.AB+|AF2+BF=8,即AF十 十6-D-a得{浅 由∫y=-x十4， 25m+16n=1, m=1, BF+AF,+BF=8,..(AF+ {5,则N13减N6,-1D, 解得 故椭圆的！ AF)十(BF,十BF)=8,由椭圆的定 16 (25m+9n-1, n- 25 义可知，AF+AF,=2a,BF+|BF2 当点V(1,3)时，kN=一3，此时MN的方： 2 =2a,.2a十2a=8→a=2,由题意，得abm= 程为3.x十y-6=0.当，点N(5,-1)时，1 标准方程是25十x=1.] 2√5π，解得b=√3，椭圆的焦点在x轴上， kw=一了，此时MN的方程为x十3y:后十苦-1（答案不唯一）[由题可知桃 2 2 C的标准方程为号+号-1] 2=0..MN的方程为3x十y-6=0或1 x+3y-2=0. 5.解(1)经过点(2,1)与点(-2，一3)的直1 国方权的形天应方千中式。1>a学十首=1【由于超周是对称圆有：所 一3，且n≠0)，可取m=5(答案不唯一).] 线1的方程为=品即y=8.g[由蜡照方程可知12 以c1,) =3,则c2=9→c=3, 因为圆C与y轴相切于点(0,3)，所以圆{ OP=3,..PFPF, D1,一)必在椭圆上 {=x一1，所以圆 心在直线y=3上，联立y=3, PF1+PF2=4√5，两边平方，得 PF+PF,2+2 PF PF,=48, 于有+品-1. 心坐标为(4,3)， 故圆C的半径为4， 即4c2+2|PFPF2=48,即36+ 若点B(1,2)在椭圆上， 则圆C的方程为(x一4)2十(y-3)2 2 PF PF=48,解得PF:IPF2: =6 =16. (2)圆C1的方程为(x-4)2十(y-3)2=: SAPFf =2XIPFX IPF:|=3.] 所以点A(-2.0)在描圆上，则子-1.② 16,即x2十y2-8x-6y十9=0，國C2:x9.解(1)由焦距是4可得c=2,又焦点在y 联立①②解得a2-4,b-3, 十y一6x一3y十5=0，两式作差可得两圆【 轴上， 公共弦所在的直线方程为2x十3y-4=0,: ∴.焦点坐标为(0，-2)，(0,2). 故稀国的桥准疗程为号+苦=1门 圆C1的圆心到直线2x十3y一4=0的距！ 由椭圆的定义知， 4.解 (1)由题意知点M(x,2)在椭圆工 离4=8士94=厅，所以两图的公共 2a= √/3+(2+2)2+√32+(2-2)2} √/22+32 =8, =1上，为等+品=1，解得后= 2 弦长为2√16-13=2√/5. ∴.a=4,∴.=a2-c2=16-4=12. 又x0<0,.x0=-3. 课时分层检测（二十一） 基础达标练 “格圆的标准方粒为苦+台=1 =1的焦点在x轴 L.B[当MF1|+MF2|>FF2时，M: (2)由题意知，2a=26,即a=13,又c:a=1 上，且c2=9一4=5，故可设所求椭圆的方 的轨迹才是椭圆.] 5:13, 2.C[由题意可知25一m2=16,解得7m=3: ∴.c=5,.b2=a2-c2=132-52=144, =1(a2>5).由(1)可知点 (负值舍去).] ·焦点所在的坐标轴不确定， M的坐标为（一3,2），将其代入所设方程， 3.D[由椭圆方程知a=10,结合椭圆的定1 4 义，得△F1MN的周长为4a=40.] 精圆的标准方程为后丽+品=1或高 得9 a2a'-5 =1(a2>5),解得a2=15.故 4.C[由于△ABC的周长与焦点有关，设 另一焦，点为F,利用椭圆的定义，BA十|： +品-1 所来猫圆的方程为号+品-1 BF一2g,CA十CF一25，便可求10.解(1①依题意知，1，又=。-，5.解（)如图，设动圆 得△ABC的周长为4√3.] 且w心-号c=1,pc= C的半径为R. 、5,ACD[对于A,因为椭圆方程为孟十 1,,.a2=4,=3, 由题意得，定圆C的 69=1,169>144,所以焦点在y轴上，故 故桃圆的标准方程为号+号-1 半径为42，定圆C 的半径为2√2， (2)由于点P在椭圆上， A错误：对于B,因为椭图方程为 ∴.|PF1+PF2|-2a=2×2=4. 则CC=4√2-R,① 又PF-PF,=1, 1CC|=2√2+R,② m+1,m+1>,所以焦点在y轴 PE=号，PE,=又ER= 3 ①+②，得|C℃|+CC=6√2>6 上，又c2=m2十1一m2=1,所以焦，点坐标 =CC. 2c=2, 为(0，士1)，故B正确；对于C,椭图后 由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C ∴由余弦定理，得cOs∠FPF2= 为焦点，长轴长2a=6√2的椭圆的一部分 号-1的焦点坐标为（士3,0，又简圈方 ()() -22 3 (在C的内部)，其轨远方程为。十9 x2 =1 程x n5十。一1(n>5)中n十42 2x×号 5 (x2) 5,所以椭圆- 一5十n十4=1(m>5)的焦能力提 x2 v (2)设P(x1,y1),Q(x2), 点在轴上，C错：对于D,由条件.A[由题知，心-=（）=子， AB+AC=2 BC=12>BC=6,i 且A,B,C三点不共线，所以顶点A的轨· --(合）-a--1.又- ） 迹是以B,C为焦点，且长轴长为12的椭！ 圆去掉（士6,0）这两个点，所以顶点A的！ 62+c2,=1，b=1.a2= 轨连方程为需+芳-1x≠士6，故D错 a.] 误.故远A、C,D.] 234 9 9 所以4=5=5:一X5+ ∴.5a2-5b=a2即4a2=5b ∴.c2=a2-b2= 设椭圈的标准方程为二十5y 3 5y-18,③ =1(a>0), 4a2 由P,Q是轨远E上的两点，得 :椭圆过点P(-5,4),25+5X16-1, 3 18+9=1(<2), a2 4a2 ,∴e= 2 ,故远A. 25x(5%-18) 解得a2=45.∴.椭圆方程 =1(x2<2), 45+36-1.] 3.f ,1 [设左焦 18 9 解得∫=0， 8 [以线段A1A。为直径的圆的方程为 点为F,连接 {=3, x2十y2=a2,由原点到直线bx-ay十2ab} FoA,F。B, 代入③得，y1=一3，x1=0, 2ab 则四边形AFBF。为 所以P(0,-3),Q(0,3),PQ=6. =0的距离d= =a,得a2=3,1 平行四边形. ab 课时分层检测（二十二） .AF+BF=4,,∴.|AF|+AF。 基础达标练 所以C的高心率√-源] 6 4,∴.a=2. 1.B[由2x2+3y=m(m>0),得亡 ⊥y2 4 9解（1)“c=9-4=后，所求椭圆的 设M0,),则≥ ，.1b2. 2 3 焦点为（一√5,0），（√5,0） 离心率e= 所求精周的方程为后十芳 a =1-() =1(a>b> =1,c2= 2- 3 6,e2 6 0 1-()(] 合e-9J 1 .'e 5 5 ,c=√5，∴a=5,b=a2-c214解(1)由AF1=3FB,AB=4, 得AF1=3,FB=1. =20, 2.B[将椭圆方程9r2+4y=36化为 因为△ABF,的周长为16， “所求椭圆的方程为 25+20=1 所以由椭圆定义可得4a=16, =1，故共焦点为(0，±5).又b=1, y AF+AF,=-2a=8,故AF,|=8-3 (2)椭圆的焦点在x轴上， =5. ∴a=十c2=6,故所求椭圆的标准方程 小设它的标准方程为二 =1(a>b> (2)设F1B=k,则k>0且AF1=3k, 为苦+2=1.] AB=4k. 0), 由椭圆定义可得AF2=2a一3k,BF, 2c=8,.c=4,又a=6,∴.=a2-c2 3,B[先将椭圆方程化为标准方程为 =2a-k. =20. 49 在△ABF2中，由余弦定理得AB2= 等-1，则b=2,a=1,e=3后.故长轴长 3y2 椭國的方程为6十0=1. AF22+BF22-2|AFg·BF2 cos∠AF2B, 为2a=14,短轴长为2b=4,离心率e=:10. (1)由题意，点P(√2,1)在椭圆上， 合-35] 代入得号十品-1，解得m=2 即4k=(2a-3k)+(2a-kP-号(2a -3k)(2a-k) 4.C[直线与坐标轴的交点为(0,1)，（一2， 0).当焦点在x轴上时，设椭圆的方程为 (2②)由1加，箱圆方粒为号+兰-1， 化简可得(a十k)(a-3k)=0,而a十k>0, 故a=3k. a+东=1(a1>6>0),由题意知，G= 则a=2,b=√2，c=√2， 于是有AF2|=3k=|AFI,BF2=5k. 所以椭圆的长轴长2a=4:短轴长2b=1 因此|BF,2=|F,A2+AB2,可得F1A 2,b1=1,.a=5,.椭圆的标准方程为 2√2： ⊥FgA, 行十y=1;当焦点在y轴上时，设椭圆的 焦距2c=2W2;离心率e=C= 2 故△AF1F2为等腰直角三角形， 2 方程为 :能力提升练 从而c= 之a,所以椭圆E的离心率e= =1(a2>b>0),由题意 1.C[①由题意得a2=√5+1，=2，故e= 知，b,=2,ce=1,∴a吃=5，.椭圆的标准 2 方程为苦+千=1，故选C.] 2 专+干 =1!5.解如图所示，设椭 4 圆的左焦点为F,连 5.A[不妨设椭圆的左 是“黄金椭圆”；②=ac,即a2-c2=ac,! 接AF1,BF,则四边 右焦点分别为F,F2 故十e-1=0,解得e=5,1或e- 形AFBF为矩形， 2 B为椭圆的上顶点，依 ..AB =FF 题意可知，△BF1F2是 一厅-1（舍去），故该椭圆是“黄金椭國”； =2c, 2 正三角形.在Rt AF+BF=2a. △OBF。中，OF2=c, ③由∠ABF=90°，得(a+c)2=a2+b2+ .'AF=2csin a,BF=2ccos a, b2十c2,化简可知e2十e-1=0,解得e= ∴.2 csin a+2 ccos a=2a, BF2=a,∠OF2B=60°，∴.cos60°= 5,成e=一5-1（合去，故孩精國是： ,∴.e= 一，即描圆的离心率e=，故选A] 2 2 sin a++cos a “黄金椭圆”；④由F,F22=|AF|· 6.2,4[e=1 () 由b= FB,得(2c)2=(a十c)·(a-c),则e= ae[臣」a+∈[登] 1,0es 巨（负值合去），故该描國不是“黄金精 5 21 圆”.故远C] -(日解得1≤2 2.A[设圆柱的底面半径为 r,依题意知，最长母线与 601 +）[1] 最短母线所确定的截面如 ∴.2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2,1 图所示..AB=DE=2r 描国的高心率e【万-1，] 4.] 2r 课时分层检测（二十三） .+-1[e= c2 从而CD= 5 3 a" 基础达标练 4√3 因此在椭圆中长轴长2a= 3 r,短轴长 a 5, :1AD[易知精圆F十品-1的焦点为 2b=2r, F1(0,-3),F2(0,3),所以b=1或-1.] 235班级 姓名 得分 课时分层检测（二十一） 椭圆及其标准方程 …0 基础达标练。…。 C椭圆希+号=1与， y2 n-5十m+4=1(m> 5)的焦点坐标相同 1.平面内，F1,F2是两个定点，“动点M满足 D.已知△ABC中，B(-3,0),C(3,0),2BC引 IMF1|+|MF2为常数”是“M的轨迹是椭 =|AB引十|AC,则顶点A的轨迹方程为 圆”的 x2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 6.已知椭圆过点P(号，-4)和点Q(- C.充要条件 3）,则此椭圆的标准方程是 D.既不充分也不必要条件 2.已知椭圆s+w女、 =1(m>0)的左焦点为 汉.写曲一个与箱圆C考+号-1有公共焦点 3 的椭圆方程 F1(一4,0)，则m的值为 ( A.9 B.4 C.3 D.2 8.设EE,是椭圆C:2十3=1的两个焦 3.巴知椭圆品+精-1的左焦点为F1,一动 点，O为坐标原点，点P在C上且OP|=3, 则△PF1F2的面积为 直线过椭圆右焦点F,且与椭圆交于点M, 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程。 N,则△F,MN的周长为 ) (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2): A.16 B.20 C.32 D.40 (2)c:a=5:13,且椭圆上一点到两焦点的 4已知△ABC的顶点B,C在椭圆 +y2=1 距离的和为26. 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另： 外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 ( ) A.2√3 B.6 C.4√3 D.12 5.(多选)下列说法不正确的是 ( A稀圆需+品=1的熊点坐标为（一5， 0),(5,0) B,椭圆 y2 十m2+1=1的焦点坐标为(0， -1),(0,1) 151 班级 姓名 得分 10.已知椭圆 63 1(a>6>0)的焦点分别3.已知椭圆C多+当 b2 =1(a>b>0),A(-2, 是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2 0,B1,2.C1,2)D1,-)四个点中 (1)求椭圆的标准方程； 恰有三个点在椭圆C上，则椭圆C的方程是 (2)设点P在这个椭圆上，且PF1|-PF2| =1,求∠F1PF2的余弦值 4已知椭圆8， +需=1上-点Mw.且 xo<0,y0=2. (1)求xo的值； (2)求过点M且与椭圆写+学-1其焦点的 椭圆的方程。 …0能力提升练0 大y2 我们把申半椭国者 =1(x≥0)与半椭圆 十=1(x0)合成的曲线称作“果圆 (其中a2=b2+c2,a>b>c>0).如图所示，5.动圆C与定圆C1:(x十3)2十y2=32内切， 设点Fo,F1,F2是相应椭圆的焦点，A1,A2 与定圆C2:(x-3)2十y2=8外切，点A的坐 和B1,B2是“果圆”与x轴和y轴的交点，若 △FoF1F2是边长为1的等边三角形，则a,b 标为0，》， 的值分别为 (1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E; (2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP= 5AQ,求|PQ|的值. A竖1B原1 C.5,3 D.5,4 2.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到 椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴： 长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原 点，焦点F1,F2均在x轴上，C的面积为 23π，过点F1的直线交C于点A,B,且 △ABF2的周长为8.则C的标准方程为 152