精品解析：天津市滨海新区滨海中学2025-2026学年高二下学期第二次质量检测数学试卷

天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第二次质量检测试卷 本训练分第I卷（选择题）和第II卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第I卷选择题（60分） 一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是（ ） A. 变量x与y不独立 B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C. 变量x与y独立 D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 8. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数变大；③残差平方和变小；④变量x与变量y的相关性变强．其中正确说法的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 设离散型随机变量的分布列如下表所示，则与的值分别是（ ） -1 0 1 2 0.3 0.3 A. B. C. D. 10. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 11. 下列说法正确的个数为（ ） ①已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ②已知正数满足，则一定有 ③已知函数在区间上单调递增，则实数取值范围是 ④已知函数，使得成立，则实数的取值范围是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 第II卷非选择题（90分） 二､填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 13. 已知展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________. 14. 现有甲､乙､丙等5人排成一排，要求甲､乙两人必须相邻，且甲､乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为_________.（用数字作答） 15. 函数的定义域是_________. 16. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则_________.其中的一个样本点的残差为_________ 17. 已知函数（其中是正实数）. ①若函数为偶函数，则满足的关系式_________； ②若函数的最小值为4，则的最小值为_________. 18. 某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，若事件A表示该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生，则事件A的概率为_________.若事件B表示该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是甲班的同学，则为_________. 19. 已知且，若集合，，则求解并化简集合_________.若，则实数的取值范围是_________. 20. 函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：．则下列正确结论的序号是______． ①若，则； ②； ③导函数的最大值是； ④，，． 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲､乙､丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲､乙､丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望和方差. 22. 某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品. （1）若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率； （2）若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为，求的分布列和数学期望； （3）某工作人员在不知情的情况下，从这10件产中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对3件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件200元，所有返厂产品的运输费用为一次性80元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本300元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？ 23. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知，且对任意的恒成立，求的最大值； （3）设的零点为，当，，且时，证明：. 24. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2024级高二数学学科 第二次质量检测试卷 本训练分第I卷（选择题）和第II卷两部分，满分150分，训练时间100分钟. 第I卷选择题（60分） 一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 2. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊值结合单调性的性质判断选项ABC；根据奇偶性的定义以及利用导数证明单调性即可判断D选项． 【详解】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为奇函数，由，则不单调，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 3. 在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布.若X在内的概率是0.6，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出概率，再由独立重复试验的概率计算公式求解 【详解】因为在内的概率为，所以，故， 记“任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85”为事件，则 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出不等式的解集，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式，显然， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 7. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，则下列结论正确的是（ ） A. 变量x与y不独立 B. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C. 变量x与y独立 D. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用独立性检验的知识求解. 【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当，我们可以下结论变量与独立.故排除选项A,B； 依据的独立性检验，， 所以不能得到：变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05； 故C正确，D错误. 故选：C 8. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，给出下列说法：①相关系数r变大；②相关指数变大；③残差平方和变小；④变量x与变量y的相关性变强．其中正确说法的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用散点图，结合相关性，相关指数，残差以及与的相关性，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，散点图有5个数据中去掉， 可得与的相关性越强，并且是正相关， 所以相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小， 所以四个命题都正确. 故选：D. 9. 设离散型随机变量的分布列如下表所示，则与的值分别是（ ） -1 0 1 2 0.3 0.3 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用离散型随机变量分布列的性质即可. 【详解】+. 的取值为，则对应的的取值为 所以的分布列为 1 3 5 P 0.3 0.4 0.3 所以. 10. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 11. 下列说法正确的个数为（ ） ①已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ②已知正数满足，则一定有 ③已知函数在区间上单调递增，则实数取值范围是 ④已知函数，使得成立，则实数的取值范围是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由函数为奇函数求解即可；对于②，由换底公式以及对数的性质求解即可；对于③，由复合函数的单调性求解即可；对于④，应用函数的单调性将恒成立以及存在问题转化为最值问题即可求解. 【详解】对于①，因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以，故①正确； 对于②，由换底公式可得，，，因为， 若，所以，所以可得， 因为指数函数在时单调递增，因此， 若，则，因为指数函数在时单调递减， 所以，故②正确； 对于③，令，因为函数在区间上单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递增，且恒大于0， 其处，，解得， 则二次函数对称轴，解得， 所以的取值范围为，故③错误； 对于④，因为函数， 使得成立，在上的值域为， 在上单调递增，值域为， 所以，解得，故④错误. 12. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，然后对分情况讨论逐一判断. 【详解】由，， 令，则或；令，则， 所以函数在单调递增，在单调递减. 在上单调递减. 对于A，当时，， 函数在单调递减，故A正确； 对于B，当时，，， 所以当时，根据上面对函数单调性的判断可知函数有最大值2，故B正确； 对于C，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减， 则函数有3个极值点，故C正确； 对于D，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，， 所以函数直线与曲线恰有3个交点，则D错误. 故选：D. 第II卷非选择题（90分） 二､填空题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分. 13. 已知展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先根据二项式系数的性质确定的值，再利用二项展开式的通项公式求解常数项. 【详解】由二项式系数的对称性和题意可知，展开式共有7项，. 的展开式通项公式为，. 令，得，所以展开式中常数项为. 14. 现有甲､乙､丙等5人排成一排，要求甲､乙两人必须相邻，且甲､乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为_________.（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】采用捆绑法处理甲乙相邻的条件，再通过插空法保证甲乙整体与丙不相邻，利用分步乘法计数原理计算总排法数. 【详解】将甲、乙两人捆绑视为一个整体，两人内部的排列数为； 先对除甲、乙、丙外的剩余2人进行全排列，排列数为，排完后共形成3个空隙（包含排列两端的位置）； 插空满足不相邻约束：将甲乙整体与丙两个不同元素插入上述3个空隙中，每个空隙至多插入1个元素，即可保证甲乙均不与丙相邻，对应的排列数为； 根据分步乘法计数原理，总排法种数为 . 15. 函数的定义域是_________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，解得或， 故定义域为 16. 若变量与之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则_________.其中的一个样本点的残差为_________ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】将样本点中心代入经验回归方程得，所以 . 将代入经验回归方程得，所以样本点的残差为. 17. 已知函数（其中是正实数）. ①若函数为偶函数，则满足的关系式_________； ②若函数的最小值为4，则的最小值为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据奇偶性的定义可以推导的关系. ②结合基本不等式求最值. 【详解】①函数的定义域为，若为偶函数，则对任意，均满足，即整理得，由于该式对任意恒成立，且不恒为0，因此，. ② 已知是正实数，且，，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 由的最小值为4，得，解得. 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 18. 某次社会实践活动中，甲､乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲､乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，若事件A表示该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生，则事件A的概率为_________.若事件B表示该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是甲班的同学，则为_________. 【答案】 ①. ##0.48 ②. ##0.5 【解析】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式进行计算. 【详解】由题意得， ，， 故， . 19. 已知且，若集合，，则求解并化简集合_________.若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性解指数不等式可得空1的答案；先明确集合的关系，分和求的取值范围.当时，构造函数，利用导数求函数的最值，可求的取值范围；当时，利用数形结合的方法可求的取值范围. 【详解】由，所以. 因为，所以，即. 若，因为，所以，，所以不成立， 所以此时必须有，才能满足. 即不等式在无解才可以. 由，，，可得，该不等式解集为，只需. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 由. 若，在同一坐标系内作函数与的图象，如图： 可知必定存在，使得， 所以不等式的解集为. 综上，实数的取值范围为. 20. 函数是神经网络中最常用的激活函数之一，其解析式为：．则下列正确结论的序号是______． ①若，则； ②； ③导函数的最大值是； ④，，． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，可举反例进行判断；对于②，先求出，然后求和即可；对于③，对函数求导，令导数为新函数，再次求导判断单调性确定最大值；对于④，先求出的表达式，然后构造新函数，求导判断单调性求出最大值和极大值点，即可证明. 【详解】对于①： 举反例，令，则，所以， 所以，此时，所以①错误； 对于②： 因为， 所以，②正确； 对于③： 对函数求导得：，令， 再次求导得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以③正确； 对于④： 由题意恒成立， 令，则 令，则，解得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时. 所以要使得不等式恒成立，则即可，此时.所以④正确. 故答案为：②③④. 三､解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲､乙､丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. （1）求甲没有被录用的概率； （2）设甲､乙､丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望和方差. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望，方差 【解析】 【分析】（1）先求出甲被录用的概率，再利用对立事件即可求解； （2）首先说明服从二项分布，进而可得分布列，期望、方差. 【小问1详解】 设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. 【小问2详解】 由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为，. 22. 某工厂生产的10件产品有8件优等产品，2件不合格产品. （1）若从这10件产品中不放回地抽取两次，每次随机抽取一件，求第二次取出的是不合格产品的概率； （2）若从这10件产品中随机抽取3件，设抽到的不合格产品件数为，求的分布列和数学期望； （3）某工作人员在不知情的情况下，从这10件产中随机抽取了3件产品销售给了下级经销商.现该工厂针对3件已销售产品中可能出现的不合格产品，提出以下两种处理方案：方案一：将不合格产品返厂再加工，不合格产品的再加工费用为每件200元，所有返厂产品的运输费用为一次性80元；方案二：将不合格产品就地销毁，每件不合格产品损失成本300元.若以返厂再加工费用与运输费用之和的期望值为决策依据，要使损失最小，应选择哪种方案处理不合格产品？ 【答案】（1）；（2）分布列见解析；；（3）选择方案一. 【解析】 【分析】（1）第二次取出的是不合格产品，则相当于取出一个不合格品放到第二个空位，而第一个空位没有任何要求. （2）先确定的取值，再计算出每个值得概率，列出分布列，根据期望公式求出答案. （3）分别选取两种方案，通过期望算出每种方案的平均损失，即可得出答案. 【详解】（1）记A=“第二次取出的是不合格产品”，则； （2）由题意：可以取0,1,2. ，，， 则分布列为： X 0 1 2 P 所以. （3）若选择方案一：需要付出的损失费用为：元； 若选择方案二：需要付出的损失费用为：元. 所以选择方案一损失较小. 23. 已知函数. （1）求的极值； （2）已知，且对任意的恒成立，求的最大值； （3）设的零点为，当，，且时，证明：. 【答案】(1)极小值为-1，无极大值；(2)3；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)对函数求导，分析导函数在其零点分定义区间上的正负即可得解； (2)将给定不等式等价转化，构造函数，并讨论其最值即可得解； (3)讨论函数的零点，构造函数并讨论其单调性，再借助单调性即可作答. 【详解】(1) 函数定义域为，， 时时，时，取得极小值，无极大值， 所以的极小值为-1，无极大值； (2)，令， ， 由(1)知在上单调递增，而， ，即，当时，，当时，， 于是得在上递减，在上递增， 则时，， 从而有，而，则， 所以的最大值是3； (3)由(1)知在上递增，，， 即大于1的零点， 令，， 显然在上单调递减，， 于是得，在上单调递减，，且时，， 即， 所以，且时，.. 24. 已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）若，，设曲线在点处的切线交轴于点. （i）求出点的横坐标（用表示）； （ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）（i） （ii），， 已知点在轴上，且轴， 所以，若为等腰直角三角形，则， 即， 则，因为，所以， 画出，图象如图： 结合图象可知，，在有一个交点， 所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论研究单调性； （2）求导，求出切线方程，令横坐标等于0，求出的横坐标；为等腰直角三角形时，，则，即，构造函数，，画出图象，在有一个交点，即可得证. 【小问1详解】 ，其中，定义域为， 令，则或， 当时，即，此时，所以在上单调递减； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，即，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 （i）当时，，， 当时，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则，所以点 所以点的横坐标. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $