精品解析：天津市第一百中学2025-2026学年高二第二学期过程性诊断(2) 数学试卷

天津市第一百中学2025—2026学年第二学期过程性诊断（2） 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，解得，故， ，解得或，故或， 故， 故． 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，满足，而，即“”不能推“”； 由，得可得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且，，所以，函数为偶函数， 排除BC选项； 当时，，则，排除D选项. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 4. 已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，故是偶函数，则， 又，，且，都有， 故在上单调递减， 又，则，即． 5. 下列说法中正确的个数是（ ） ①在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好； ②对于分类变量X与Y的随机变量的值越小，“X与Y有关联”的可信程度越小 ③已知随机变量X的方差为，则 ④样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 ⑤在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量增加0.3个单位 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】①在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；故①正确； ②由题意得随机变量的值越小分类变量X与Y有关联的可信度就越小，所以②正确； ③根据方差的性质可得，故③错误； ④根据相关系数的计算公式可知，相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故④正确； ⑤根据线性回归方程回归系数的含义，可知在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量减少0.3个单位，故⑤错误. 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将指数式转化为对数式，利用换底公式的倒数关系表示和，代入已知等式结合对数运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，因为，所以. 7. 函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对原函数求导，将“存在单调递增区间”转化为导函数在给定区间上存在大于零的解，分离参数后构造新函数，利用导数研究新函数在区间上的最值，即可推得参数的取值范围. 【详解】函数在上存在单调递增区间，等价于在上有解， 对求导得：， 有解等价于：有解， 令，则只需，求导得：， 当时，，，故，即在上单调递减， 因此的最小值在处取得：， ，故的取值范围是. 8. 有5个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的不同取法总数为（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】设三次取出的球编号依次为，由题可得，然后由列举法可得答案. 【详解】设三次取出的球编号依次为，由题可得. 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有2种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有8种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有12种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有8种； 当时，可得，则可为，即满足题意的情况有2种. 综上可得满足题意的不同取法数为：. 9. 函数，若对恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形得到，令，则，根据的单调性得到，求出最小值为，得到. 【详解】因为，且，所以，所以， 所以， 令，则， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以，所以 所以， 在处取得最小值，最小值为， 故. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 在的二项式展开式中，常数项为________（用数字作答） 【答案】 ## 【解析】 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，所以所求常数项为. 11. 已知随机变量，若，则___________. 【答案】0.2 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性列式计算求解而得. 【详解】由，得，， 所以. 故答案为：0.2 12. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 13. 曼尼同学在操场跑圈，每周2次，一次跑4圈或5圈．第一次跑4圈或5圈的概率均为0.5，若第一次跑4圈，则第二次跑4圈的概率为0.3，跑5圈的概率为0.7；若第一次跑5圈，则第二次跑4圈的概率为0.6，跑5圈的概率为0.4．曼尼每周跑9圈的概率为________；若每周至少跑9圈为运动量达标，则连续跑8周，记合格周数为X，则________ 【答案】 ①. 0.65 ②. 6.8 【解析】 【分析】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【详解】设曼尼同学一周跑9圈为事件，设第一次跑4圈为事件，设第二次跑4圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，. 14. 已知，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】先对代数式进行齐次化变形，然后结合基本不等式与函数的单调性求解即可. 【详解】记. 令，当且仅当时取等号. 再令， ，，即. 在上单调递增，，. 15. ，函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围________ 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程恰有 2 个不同实根，分和两种情况讨论求解，函数的总零点数是2，所以总的根的个数是2，即 的根个数与的根个数的和是2，分情况讨论. 【详解】函数恰有 2 个不同零点，等价于方程恰有 2 个不同实根， 分和两种情况讨论： （1）当时，方程为，则， 令，，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值， 结合函数趋势：时，； 时，；时，， 因此方程的实根个数：时0 个根； 时时时时s1 个根；时2 个根；时1 个根； （2） 当时，方程为， 整理得：， 记二次函数，开口向上， 判别式，故方程恒有两个不同实根， 由韦达定理，两根满足：，， 当即时，且，两根均非正，即时有 2 个根； 当即时，，两根一正一负，即时有 1 个根， 函数的总零点数是2，所以总的根的个数是2， 即 的根个数与的根个数的和是2，分情况讨论： 有 0 个根，有 2 个根，需满足且，由于，故取； 有 1 个根，有 1 个根，需满足有 1 个根（或），且， 和均满足，故此情况解为或； 有 2 个根，有 0 个根，由于恒成立，至少有 1 个根，故此情况不存在； 综上所述，实数的取值范围是. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． （1）求选取的3人中既有男生又有女生的概率； （2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式，结合对立事件直接求解即可； （2）易判断服从超几何分布，利用超几何分布概率模型求出各变量对应的概率，即可解决问题. 【小问1详解】 由题可知，共有7人，从中随机选取3人有种取法， 全部选取男生有种，全部选取女生有种， 所以，选取的3人中既有男生又有女生的概率. 【小问2详解】 由题可知，X可能的取值有：0，1，2，3，服从超几何分布， 则，，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求四面体的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过建系证明直线的方向向量与平面的法向量平行，得出线面垂直的结论，从而确定夹角正弦值。 （2）利用第一问线面垂直的结论，将线段DF直接作为四面体的高即可求解. （3）分别求出两个平面的法向量，利用法向量数量积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得平面，且平面，则且， 因为，所以， 又因为，所以且，即两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，因为是的中点， 则，，，， 设平面的法向量为，则 ，令，则，即， 则，即与平面的法向量平行，即平面， 所以直线与平面所成的角为，其正弦值为. 【小问2详解】 由上知平面，且平面，所以是四面体的高， 则， 因为平面，且平面，所以， 则，， . 【小问3详解】 易得平面的法向量为， ，设平面的法向量为， 则，令，则，即， 平面与平面所成的角为， 则. 18. 椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积取最大值时的直线方程； （3）若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）（或、）； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率及过定点条件，结合联立求解参数，即可得椭圆标准方程. （2）设出直线的方程，联立椭圆方程求得点纵坐标，结合三角形面积公式表达的面积，利用基本不等式求最值及对应斜率，即可得直线方程. （3）先求出点及中点的坐标，假设存在定点，根据垂直关系斜率乘积为列式求解，验证结果与无关即可. 【小问1详解】 ∵ 椭圆离心率，∴ . 又，∴ ，椭圆方程可化为. 将点代入得，化简得， ∴ ，，. ∴ 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意得左顶点，设直线的方程为. 联立，消去整理得. 已知是方程的一个根，设，由韦达定理得， ∴ ， 代入直线方程得. 的面积，其中， ∴ . ∵ ，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立. ∴ ，即面积最大值为，此时， 直线的方程为. 【小问3详解】 在中令，得，∴ . ∵ 是线段的中点， ∴ ，， ∴ 直线的斜率. 假设轴上存在定点满足题意，则直线的斜率. ∵ ， ∴ ，即，解得. 该结果与的取值无关，对任意均成立. ∴ 存在定点满足题意. 19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求； （3）记为数列在区间（）内项的个数，求不等式成立的m的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出关于和的方程求解和，然后写出的通项公式，再列出和的方程求解和，然后写出的通项公式. （2）先求出的通项公式，然后利用分组求和与裂项相消求和法求解. （3）先求出的通项公式，然后解不等式求出的最小值即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为. 是公差为2的等差数列，其前8项和为64，，得. . ，又，，即，得. . 【小问2详解】 记数列 . 记 . 记 . . 【小问3详解】 ，区间内的项满足，解得且. 因此项数，（表示不小于的最小整数）. ，. . ， ，即的最小值为. 20. 已知函数，函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； （2）若，，使成立，求m的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求的导数得到切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为列式求解. （2）将双量词条件转化为函数最值关系，分别求的最小值和的最小值，建立不等式求解的范围. （3）化简解析式，将零点问题转化为方程有两个不同解，通过比值换元构造函数分析单调性，求解的范围. 【小问1详解】 的定义域为，求导得. 则曲线在点处的切线斜率. 因切线与直线垂直，故直线斜率必存在，为， 故有，解得. 【小问2详解】 由，求导得. 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递减；在上单调递增， 则 ，则的最小值为. 题设条件等价于：对任意，恒成立， 即对任意恒成立. 设，则. 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递增；在上单调递减， 因，，且， ∴ ，∴ . 【小问3详解】 由题意得， 有两个不同零点等价于方程有两个不相等的正实根. 设，则， 令，得， 当时，，当时，， 则在上单调递增；在上单调递减，∴ ， 且当时，,当时，. 故当时，有两个不同零点，，则. 由得， 令，则,且， 代入化简得. 构造关于的函数，其中， 代入可得，令，则. 对求导得， 分子部分整理为，对求导得， 当时恒成立，故在上单调递减，， 因此，即在上单调递减. 又因为，所以，即， 对函数求导得，故在上单调递增. 根据复合函数“同增异减”的单调性规律，内层单调递减、外层单调递增， 因此复合函数在上单调递减，故在该区间上单调递减. 因此的最大值为时的取值，代入得，， 计算得. 当时，此时，又，因此实数的取值范围为. 【点睛】方法归纳：1. 导数几何意义应用：切线斜率等于切点处导数值，两直线垂直斜率乘积为. 2. 双量词问题转化：等价于. 3. 双零点问题常用比值换元法，将双变量转化为单变量构造函数求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一百中学2025—2026学年第二学期过程性诊断（2） 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的个数是（ ） ①在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好； ②对于分类变量X与Y的随机变量的值越小，“X与Y有关联”的可信程度越小 ③已知随机变量X的方差为，则 ④样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 ⑤在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，响应变量增加0.3个单位 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上存在单调递增区间，则a的取值范围是（） A. B. C. D. 8. 有5个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5，从中无放回地随机取3次，每次取1个球．记m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大于的不同取法总数为（ ） A. 28 B. 32 C. 36 D. 48 9. 函数，若对恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将正确的答案填写到答题纸上． 10. 在的二项式展开式中，常数项为________（用数字作答） 11. 已知随机变量，若，则___________. 12. 函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 13. 曼尼同学在操场跑圈，每周2次，一次跑4圈或5圈．第一次跑4圈或5圈的概率均为0.5，若第一次跑4圈，则第二次跑4圈的概率为0.3，跑5圈的概率为0.7；若第一次跑5圈，则第二次跑4圈的概率为0.6，跑5圈的概率为0.4．曼尼每周跑9圈的概率为________；若每周至少跑9圈为运动量达标，则连续跑8周，记合格周数为X，则________ 14. 已知，则的最大值为________ 15. ，函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围________ 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感与参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二（1）班某小组有4名男生，3名女生，现从中随机选取3人作为志愿者参加活动． （1）求选取的3人中既有男生又有女生的概率； （2）记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点，，， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求四面体的体积； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 椭圆的离心率，椭圆经过点，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求面积取最大值时的直线方程； （3）若点是线段的中点，问是否存在轴上一定点，对于任意的都有，若存在求出点坐标，若不存在请说明理由． 19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求； （3）记为数列在区间（）内项的个数，求不等式成立的m的最小值． 20. 已知函数，函数 （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求b的值； （2）若，，使成立，求m的取值范围； （3）设函数有两个不同的零点，，且满足，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $