精品解析：北京市昌平区2025－2026学年第二学期初二年级期末质量抽测 数学（第一组）

昌平区2025-2026学年第二学期初二年级期末质量抽测 数学（第一组） 本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 下列各曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 只有A选项中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，符合题意． 3. 已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随着x的增大而增大． 【详解】解：当时，y的值随x的增大而增大， 解得：． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的根 B. 没有根 C. 无法确定 D. 有两个不相等的根 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在一元二次方程中，， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（ ） A. 众数是5 B. 方差是1.5 C. D. 离差平方和是6 【答案】C 【解析】 【分析】方差公式： 【详解】解： 这组共4个数据，为，方差是1.5， 众数是5，， 离差平方和是， 只有C选项结论错误． 6. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为，结合正八边形各外角相等的性质，用外角和除以边数计算出单个外角的度数． 【详解】解： 任意多边形的外角和为，正八边形的8个外角都相等， 正八边形的每一个外角的度数为． 7. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识． 由平行四边形的性质得，由勾股定理求出，得出，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与交于点F， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程（米）与所用的时间（分）的函数关系如图所示．给出下面四个结论：①比赛全程1500米；②2分钟时，甲、乙相距200米；③乙到达终点时，甲距离终点还有150米；④3分40秒时，乙追上甲．上述结论中，所有正确选项的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】从图象可知，比赛全程为1500米，甲的速度为米/分，可判断①②结论；由图象可知，乙行驶分钟到达终点，进而求出甲行驶的路程，可判断③结论；分别求出甲乙的函数解析式，可判断④结论． 【详解】解：从图象可知，比赛全程为1500米，①结论正确； 甲跑完全程用时5分钟， 甲的速度为（米/分）， 2分钟时，甲行驶的路程为（米）， 由图象可知，2分钟时，乙行驶的路程为米， 2分钟时，甲、乙相距米，②结论错误； 由图象可知，乙行驶分钟到达终点， 此时甲行驶的路程为（米），距离终点还有（米），③结论正确； 设甲的函数解析式为，则，解得：， ， 由图象可知，当时，甲一直在乙前方，乙没有追上甲， 当时，设乙的函数解析式为， 则，解得：， ， 乙追上甲， ， ， 解得：， 分分秒，即3分40秒时，乙追上甲，④结论正确， 综上，正确选项的序号是①③④． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为． 10. 一次函数的图象经过一、二、四象限，则_________0（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 11. 为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表： 次数 频数 3 4 8 20 5 根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________． 【答案】名 【解析】 【分析】先计算样本中跳绳次数在范围的频数，再计算该范围对应频率，最后用全年级女生总人数乘以样本频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由频数分布表可得，样本中跳绳次数在范围的频数为， 根据用样本估计总体的方法，估计全年级该范围的女生人数为：（名）． 12. 一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 13. 菱形的对角线，交于点，，，则菱形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出与的长度，再利用勾股定理求出菱形的边长，最后根据菱形四条边相等计算周长即可. 【详解】解：四边形是菱形，对角线，交于点， ，，，， ，， ，， 在中，由勾股定理得， 菱形的周长为. 14. 若点都在一次函数的图象上，则________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数值的大小比较；将点和点的横坐标代入一次函数解析式，分别求出纵坐标和的值，再比较大小． 【详解】解：将，代入，得 ， 将，代入，得 ， 因为， 所以． 故答案为：． 15. 设，是关于x的方程的两个根，且，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出、，再根据求得x2＝2，代入 k的表达式，求解即可． 【详解】解：，是关于x的方程的两个根， ，， ， ，即，则， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： ①当时，点的纵坐标是10； ②点与原点距离的最小值是6； ③若点在轴正半轴上，则点的横坐标是6； ④若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是2． 上述结论中，所有正确的结论的序号是_________． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】连接，，由四边形是正方形，得，，，通过勾股定理得，根据旋转性质可知，当时，，此时三点共线，三点共线，从而可判断①；由，由三角形三边关系，当三点共线时，有最小值6，即可判断②；若在轴正半轴上，先求出，过作轴于点，证明，则，即可判断③；过作轴于点，过作轴于点，连接，交于点，同理可得，设，，则，，通过中点坐标得，根据题意得，解得，从而判断④． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 由旋转性质可知：， 当时，， 此时三点共线，三点共线，如图， ∴， ∴轴， 由旋转性质可知， ∵， ∴， ∴纵坐标为8，故①错误； 如图，连接， ∵，， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值6，故②正确； 若在轴正半轴上，如图，过作轴于点， 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标是，故③错误； 如图，过作轴于点，过作轴于点，连接，交于点，则， 同理可得：， ∴，， 设，， ∴， ∴，即， ∵直线将正方形分为面积相等的两部分， ∴直线过正方形中心，即点在上， ∴， 解得：， ∴纵坐标为2，故④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 三、解答题（本题共68分，第17，19-21，25-26题，每小题6分，第18，24题，每小题5分，第22-23题，每小题4分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或 解得，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，中三个顶点的坐标为，，． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形（，，的对应点分别为，，）； （2）将以点为旋转中心顺时针旋转得到的图形为（，，的对应点分别为，，），请画出，并写出的坐标． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： 坐标：． 【解析】 【分析】（1）利用关于原点中心对称的点坐标变换规则，横、纵坐标均取相反数，描点连线画出． （2）利用坐标绕原点顺时针旋转的变换规则描点连线画出，进而求出坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：画出略，坐标：． 19. 已知函数，解决下列问题： （1）画出此函数的图象； （2）根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）列表： 描点并连线： （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点法画一次函数图象，分别取、算出对应值，列表、描点、连线． （2）将与代入解析式求出对应，结合一次函数增减性确定时的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得时，． 20. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 【答案】（1）详见解析；（2）13． 【解析】 【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可； （2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN=EM=5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN=即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵BM⊥AC，DN⊥AC， ∴DN∥BM， ∴四边形BMDN是平行四边形； （2）∵四边形BMDN是平行四边形， ∴DM=BN， ∵CD=AB，CD∥AB， ∴CM=AN，∠MCE=∠NAF， ∵∠CEM=∠AFN=90°， ∴△CEM≌△AFN， ∴FN=EM=5， 在Rt△AFN中，AN===13． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求这个一次函数的解析式及点的坐标： （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）由一次函数平移，确定；将代入解析式求出，得到函数式；平行于轴且过的直线为，联立函数式计算横坐标，得到点坐标． （2）根据题意列不等式，变形为；结合，求出的取值上限，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：一次函数由平移得到， ， ， 图象经过点， ， 解得， 一次函数解析式为：， 过且平行于轴的直线为， 令代入， ， 解得， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得： ∴， ， ， ， ∵要保证时，恒成立， ． 22. 【课本再现】 下面是直角三角形关于斜边中线的一个性质定理及证明此定理的两种添加辅助线的方法： 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，点为斜边的中点，连接．求证：． 方法一：如图2，延长到点、使，连接，． 方法二：如图3，过点作，交于点，，交于点． 请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【答案】方法一证明：延长到点，使，连接，， 为中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 方法二证明：过点作，交于点，，交于点， ，， 四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 是中点， ， ∴， ∴， 垂直平分， ， 是中点 ， ， 【解析】 【分析】方法一，延长中线构造对角线互相平分的四边形，先证平行四边形，结合直角证矩形，利用矩形对角线相等完成线段等量代换． 方法二，作双垂线构造矩形与三角形全等，利用三角形全等得到，进而证明垂直平分，借助垂直平分线性质得等线段，完成证明． 【详解】略 23. 某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【详解】解：设参赛人数的年平均增长率为， 则， 解得：，（舍）， 答：参赛人数的年平均增长率为． 24. 某数学小组在主题为折纸中的数学活动课上，进行了如下的实践操作： 如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，，，． 如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 （1）①四边形的形状为_________； ②判定四边形的形状的依据是_________． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，． 如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 （2）判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）菱形，四条边相等的四边形是菱形； （2）四边形是菱形，证明如下： ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠使与重合，折痕， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）①由矩形两次对折得到四条折痕平分矩形四边，利用折叠性质得四边形四条边相等，判定菱形．②依据菱形判定定理，四边相等的四边形是菱形． （2）由折叠得垂直平分，推出，进而证明；结合矩形，证，得，又证四边形是平行四边形，再由对角线垂直判定菱形． 【小问1详解】 解：由折叠可得，， ∴四边形是菱形， 故①四边形的形状为菱形； ②判定四边形的形状的依据是四条边相等的四边形是菱形； 【小问2详解】 略 25. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 【答案】（1） （2）1； （3）如图， （4）①减小；②或 【解析】 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围． （2）将代入函数解析式，分步计算求出对应的值，即． （3）根据表格内多组、对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支． （4）①观察函数分支的图象升降趋势，判断随的增减变化．②先作出直线，结合函数图象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得， 解得， ∴自变量的取值范围是． 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①由图可知该函数当时，随的增大而减小； ②如图，过点，作一次函数， 由图可知，当时，的取值范围：或． 26. 某校图书馆为了解八年级学生的阅读习惯，以便优化图书采购与阅读推广策略，随机抽取八年级名学生，调查他们本学年（月至次年月）的课外书籍借阅数量．将借阅数量（单位：本）分为个区间，具体分组如下表： 组别 借阅数量（本） 整理数据如下： a．借阅数量频数分布表如下表： 借阅数量（本） 频数 频率 6 0.15 0.25 14 8 0.20 2 0.05 合计 40 1 b．借阅数量频数分布直方图如图： （1）填空：_________；_________； （2）补全频数分布直方图； （3）抽取的名学生的中位数落在区间_________内；上四分位数落在区间_________内；（填写、、、、中的字母） （4）若规定学年借阅数量在本以上（包括本）为阅读活跃者，学校计划对阅读活跃者进行表彰．如果八年级共有名学生，请估算八年级阅读活跃者大约有多少人？ 【答案】（1），； （2）补全频数分布直方图如下： （3）C，D； （4）人． 【解析】 【分析】（1）总人数乘以组频率求出，组频数除以总人数求出． （2）依据，在区间画出高度为10的矩形补全直方图． （3）依次计算各组累计频数，根据总数据个数定位中位数、上四分位数对应数据位置，确定所属区间． （4）先算出本及以上样本总频数，求出对应频率，再用年级总人数乘频率估算人数． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：解法一：组累计频数， 两组累计频数， 三组累计频数， 总数据共40个， ∴40个数据从小到大排序后，第20、21个数据都落在区间C，中位数为第20、21个数据的平均数， ∴中位数落在区间C； ∵总数据共40个，中位数为第20、21个数据的平均数， ∴上四分位数为后20个的中位数，即是第30、31个数据的平均数， ∵三组累计频数，、四组累计频数， ∴第30、31个数据的平均数大于第个数据， ∴上四分位数落在区间D． 解法二： 总数据共40个， ， 中位数为中位数为第20、21个数据的平均数， ∴第20、21个数据都落在区间C， ∴ 中位数落在区间C； ， ∴上四分位数为第30、31个数据的平均数， ∵三组累计频数，、四组累计频数， ∴第30、31个数据的平均数大于第个数据， 上四分位数落在区间D． 【小问4详解】 解：估算八年级阅读活跃者人数（人）， 答：八年级阅读活跃者大约有人． 27. 已知菱形，对角线与交于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）当时，判断的形状，是_________三角形； （2）猜想的度数：_________，并证明； （3）直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）等边 （2），证明如下： 四边形是菱形， ，，平分，， ∴，， 绕逆时针旋转得， ，， ，，， ，， 为等边三角形 ，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）时菱形为正方形，先算出旋转角，结合菱形边长相等得到，再计算的度数判定三角形形状． （2）先根据菱形性质推导角度表达式，结合旋转得到、，证出等边；再分别表示与，作差消去参数，算出固定度数． （3）由菱形对角线垂直得，结合、，过作垂线构造含直角三角形，用勾股定理列出等式，展开化简得到、、的平方关系式． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，， 菱形为正方形， ，， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ，， 是等边三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：菱形对角线，，， ∴， ∴， 由（2）得，， 过作于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． （1）已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； （2）如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①点，；②； （2）或． 【解析】 【分析】（1）①先将正方形四顶点绕分别顺、逆时针旋转，得到点的全部边界范围，再对比三个给定点坐标，判断落在范围内的点即为创新点．②求出旋转后点的完整矩形区域，再求直线与该正方形有交点时的最值，进而确定的取值． （2先把正方形四顶点绕顺、逆时针旋转，得到含参数的点正方形区域，再联立直线与正方形边界，求解直线与区域存在交点时的临界值，最终整合的取值范围． 【小问1详解】 解：①如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， ∵正方形的顶点坐标，，，， ∴由旋转可得、、、，点、、、， 结合图形可得点在正方形上，点不在正方形上，也不在正方形上，点在正方形上， ∴正方形的“创新点”是点，； ②由（）①得将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、的对应点分别为点、、、， 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 如图， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即直线上存在点，使点为正方形的“创新点”； 综上，的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵正方形的顶点坐标，，，， ∴正方形的对角线交点，点到正方形各边的距离都是， 如图，将正方形绕点逆时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，点、、、、的对应点分别为点、、、、， ∴、、、，点、、、， 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点； 当直线过点时，有，解得， 当直线过点时，有，解得， ∴当时，直线：与正方形有交点即直线上存在点，使点为正方形的创新点， 综上，当或时，直线上存在点，使点为正方形的创新点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2025-2026学年第二学期初二年级期末质量抽测 数学（第一组） 本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 1. 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 下列各曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（m是常数）的y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个相等的根 B. 没有根 C. 无法确定 D. 有两个不相等的根 5. 小田在整理一组数据时，列式如下：，则下列结论不正确的是（ ） A. 众数是5 B. 方差是1.5 C. D. 离差平方和是6 6. 我国古代园林连廊常采用八边形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 8. 甲、乙两人赛跑，两人所跑的路程（米）与所用的时间（分）的函数关系如图所示．给出下面四个结论：①比赛全程1500米；②2分钟时，甲、乙相距200米；③乙到达终点时，甲距离终点还有150米；④3分40秒时，乙追上甲．上述结论中，所有正确选项的序号是（ ） A. ②③④ B. ①③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是_________． 10. 一次函数的图象经过一、二、四象限，则_________0（填“”或“”）． 11. 为了解某校初二年级200名女生的跳绳情况，从中随机抽取40名女生进行调查，体育委员统计了60秒跳绳的次数，列出如下频数分布表： 次数 频数 3 4 8 20 5 根据以上数据，估计全年级女生跳绳次数在范围的女生的人数共_________． 12. 一元二次方程的解为_________． 13. 菱形的对角线，交于点，，，则菱形的周长为________． 14. 若点都在一次函数的图象上，则________（填“”或“”）． 15. 设，是关于x的方程的两个根，且，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，四边形为正方形，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形．给出下面四个结论： ①当时，点的纵坐标是10； ②点与原点距离的最小值是6； ③若点在轴正半轴上，则点的横坐标是6； ④若直线将正方形分为面积相等的两部分，则点的纵坐标是2． 上述结论中，所有正确的结论的序号是_________． 三、解答题（本题共68分，第17，19-21，25-26题，每小题6分，第18，24题，每小题5分，第22-23题，每小题4分，第27-28题，每小题7分） 17. 解方程： （1）（配方法）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，中三个顶点的坐标为，，． （1）请画出与关于原点成中心对称的图形（，，的对应点分别为，，）； （2）将以点为旋转中心顺时针旋转得到的图形为（，，的对应点分别为，，），请画出，并写出的坐标． 19. 已知函数，解决下列问题： （1）画出此函数的图象； （2）根据图象直接写出当时，的取值范围． 20. 如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N． （1）求证：四边形BMDN是平行四边形； （2）已知AF=12，EM=5，求AN的长． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． （1）求这个一次函数的解析式及点的坐标： （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 【课本再现】 下面是直角三角形关于斜边中线的一个性质定理及证明此定理的两种添加辅助线的方法： 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图1，在中，，点为斜边的中点，连接．求证：． 方法一：如图2，延长到点、使，连接，． 方法二：如图3，过点作，交于点，，交于点． 请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 23. 某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 24. 某数学小组在主题为折纸中的数学活动课上，进行了如下的实践操作： 如图①，一张矩形纸片． 【实践操作1】 步骤一：将矩形纸片上下对折，折痕为； 步骤二：然后左右对折，折痕为； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，，，． 如图②所示得到四边形． 【实践探索1】 （1）①四边形的形状为_________； ②判定四边形的形状的依据是_________． 【实践操作2】 步骤一：将矩形纸片先沿对角线对折； 步骤二：再将纸片折叠使点与点重合得折痕； 步骤三：将原纸片展开还原后，连接，． 如图③所示，得到四边形． 【实践探索2】 （2）判断四边形的形状，并加以证明． 25. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 26. 某校图书馆为了解八年级学生的阅读习惯，以便优化图书采购与阅读推广策略，随机抽取八年级名学生，调查他们本学年（月至次年月）的课外书籍借阅数量．将借阅数量（单位：本）分为个区间，具体分组如下表： 组别 借阅数量（本） 整理数据如下： a．借阅数量频数分布表如下表： 借阅数量（本） 频数 频率 6 0.15 0.25 14 8 0.20 2 0.05 合计 40 1 b．借阅数量频数分布直方图如图： （1）填空：_________；_________； （2）补全频数分布直方图； （3）抽取的名学生的中位数落在区间_________内；上四分位数落在区间_________内；（填写、、、、中的字母） （4）若规定学年借阅数量在本以上（包括本）为阅读活跃者，学校计划对阅读活跃者进行表彰．如果八年级共有名学生，请估算八年级阅读活跃者大约有多少人？ 27. 已知菱形，对角线与交于点，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）当时，判断的形状，是_________三角形； （2）猜想的度数：_________，并证明； （3）直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标，，，，对于平面内点和点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在正方形上，称点为正方形的创新点． （1）已知点的坐标为． ①如图1，在点，，中，正方形的创新点是_________； ②如图2，若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围； （2）如图3，点，直线：．若直线上存在点，使点为正方形的创新点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $