精品解析： 北京市昌平区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

昌平区2024～2025学年第二学期初二年级期末质量抽测 数学试卷 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点所在的象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 4. 体育课上，甲、乙两名同学进行了8组投篮练习，每组练习投篮10次，下表是甲、乙两名同学的进球数记录，设两组数据的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是（ ）． 甲 7 4 7 10 9 8 7 4 乙 6 7 8 6 8 7 7 7 A ， B. ， C. ， D. ， 5. 随着新能源汽车推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（ ）． A. 坐标原点不在此函数图象上 B. 点M在第二象限 C. D. 8. 如图，正方形，E，F，G，H是其边上的点（不与A，B，C，D重合），，过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，，构成四边形，点，分别是射线和上的点，且，分别作射线，，交，于点，，分别连接，，，，可得四边形．给出下面四个结论： ①四边形是正方形； ②四边形是平行四边形； ③若，四边形是菱形不是正方形； ④若，四边形正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 写出一个图象经过点，且满足y随x的增大而减小的一次函数表达式______． 10. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 11. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 12. 已知一次函数的图象与直线平行，且与y轴交于点，则这个一次函数的表达式为______． 13. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 14. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为______． 16. 某校在3月14日国际数学节来临之际举办趣味数学活动．活动共有A，B，C，D，E五个数学游戏项目，每个游戏项目的游戏时间和规定参与人数固定（不满足规定参与人数，游戏无法开始），如下表所示． 游戏项目 A B C D E 游戏时间（min） 3 6 6 4 3 规定参与人数（人） 2 3 2 1 1 （1）若只有1位同学，则他可以参与游戏项目的总时间为______min； （2）若有3位同学，他们希望能够体验全部游戏项目（每个游戏项目至少有人参与过一次），则体验全部游戏项目的最短时间为______min． 三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分．） 17. 解方程：． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的表达式； （2）画出函数图象，并根据图象直接写出当时，y的取值范围． 19. 已知，中，，作，平行于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在线段上取一点F，使得，连接，交于点O．求证：四边形是矩形． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值恒小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 22. 昌平区面向全区中小学校发起“‘班超’来了！邀你来接力”活动．某校积极响应号召，组织全校师生在昌平区奥北森林公园开展定向越野活动．参与者分成不同的小队，从起点出发，途经对应的打卡点完成任务，最后抵达终点（如图1）．A小队和B小队分别需要在打卡点A、打卡点B完成任务，从起点出发行走的路程和（单位：）与花费时间x（单位：）的对应关系如图2；A小队在起点到打卡点A，打卡点A到终点的前行过程中，保持同样的速度． （1）起点到终点的距离为______； （2）A小队和B小队进行打卡任务的时长分别为______，______； （3）当两个小队在路上第二次相遇时，距离终点还有______． 23. 已知，，点D是中点，于点O，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，，，求的长． 24. 2025年5月20日是第36届中国学生营养日，为了解学生的营养状况，某校开展“数学+生物”跨学科实践活动，各小组自主选择探究主题．水是七大营养素之一，科学饮水有助于维持身体健康，因此某小组决定开展初中生饮水习惯调查．该小组从不同地区的两个学校各抽取n名初二年级学生进行调查，其中学校A的饮水量数据x的频数分布表与频数分布直方图如下所示： 分组/升 频数 频率 3 0.0375 6 0.0750 14 0.1750 19 0.2375 12 0.1500 9 0.1125 a b 7 0.0875 2 0.0250 合计 n 1.0000 （1）填空：______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）根据中国营养学会制定的《中国学龄儿童膳食指南（2022）》，学龄儿童每日的饮水量应为0.8～1.4升．已知学校A初二年级共有210人，请你估计初二年级学生饮水量达到标准的人数； （4）学校A、学校B学生饮水量中位数分别为，，其中，则______（填“＞”，“＝”，“＜”）． 25. 某同学家里购买了一个内部高为的碗筷沥水柜，在帮妈妈整理厨房时，他想把一些规格相同的碗尽可能多地放入沥水柜中．他把碗按如图那样整齐地叠放成一摞，但他不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．该同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度y（单位：cm）随着碗的个数x（单位：个）的变化而变化，如图所示： （1）求y与x的函数表达式； （2）帮该同学算一算，放进柜子里的一摞碗最多能叠多少个？ 26. 在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（ ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（ ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤； （2）根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 27. 正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． （1）①补全图形； ②求的度数； （2）延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 28. 对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：图形和上任意两点间距离的最小值，称为图形与图形的“下限距离”，记作．图形和上任意两点间距离的最大值，称为图形与图形的“上限距离”，记作． （1）若，，图形为线段，图形为线段． 如图，，，则的值是______，的值是______； 点，是直线上的点（点在点左侧），且满足，则的最小值为______，当取最小值时，的取值范围是______； （2）图形为正方形，边长为，对角线在轴上，图形N是直线上的线段（点在点左侧），，若存在，且满足最大值是，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2024～2025学年第二学期初二年级期末质量抽测 数学试卷 本试卷共8页，三道大题，28个小题，满100分．考试时间120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请交回答题卡． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则点所在的象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，四个象限的坐标符号特征分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．点的坐标为，横坐标和纵坐标均为负数，因此点位于第三象限． 【详解】解：点的坐标为，横坐标和纵坐标均为负数， 点位于第三象限． 故选：C． 2. 福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键．根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形不是中心对称图形；不符合题意； B．选项中的图形不是中心对称图形；不符合题意； C．选项中的图形不是中心对称图形；不符合题意； D．选项中的图形是中心对称图形；符合题意． 故选：D． 3. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 4. 体育课上，甲、乙两名同学进行了8组投篮练习，每组练习投篮10次，下表是甲、乙两名同学的进球数记录，设两组数据的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是（ ）． 甲 7 4 7 10 9 8 7 4 乙 6 7 8 6 8 7 7 7 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式． 首先依据平均数计算公式分别计算出，，即可判断其大小；再依据方差的计算公式分别计算甲、乙的方差即可作出判断． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 5. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（平均变化率问题），解题的关键是根据平均降低率的规律列出方程． 根据平均降低率的公式，结合初始成本、降低率和两个月后的成本，列出方程并判断选项． 【详解】解：设月平均成本降低率为，则第一个月后的成本为万元，第二个月后的成本为万元， 根据题意，两个月后成本降至12万元， 因此方程为： 故选：C． 6. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题． 7. 在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（ ）． A. 坐标原点不在此函数图象上 B. 点M在第二象限 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质及点与函数图象的关系，解题的关键是根据一次函数的表达式分析函数的性质以及点的坐标特征． 根据一次函数的性质，结合各选项逐一分析判断． 【详解】A、当时，，故坐标原点不在函数图象上，A正确； B、点的横坐标，纵坐标．当时，，点在第二象限；当时，，点在第三象限．由于中可能小于，故点的位置不一定在第二象限，B不一定正确； C、函数的，随增大而增大．由可知，C正确； D、当时，，故恒成立，D正确． 综上，不一定正确的是B． 故选：B． 8. 如图，正方形，E，F，G，H是其边上的点（不与A，B，C，D重合），，过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，，构成四边形，点，分别是射线和上的点，且，分别作射线，，交，于点，，分别连接，，，，可得四边形．给出下面四个结论： ①四边形是正方形； ②四边形是平行四边形； ③若，四边形是菱形不是正方形； ④若，四边形是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）． A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，证明四边形是矩形，得到；再证明，同理可证明四边形和四边形是矩形，则，进而可证明，则可证明四边形是正方形，据此可判断①；证明，得到，同理可证明，得到；再证明，得到，则可证明，同理可证明，据此可判断②；可证明，，证明，得到，，再证明，即可判断③④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证明四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形，故①正确； ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形； ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故③错误，④正确； 故选：D． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 写出一个图象经过点，且满足y随x的增大而减小的一次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，先设出一次函数的解析式，再根据随的增大而减小可知，再把点代入此函数解析式，得出、的关系式，设出符合条件、的值，代入此关系式即可，能根据题意得出是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一． 【详解】解：设此一次函数的解析式为， 随的增大而减小， ，把点代入得，， 设，则， 故此一次函数的解析式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形中位线定理：三角形的中位线长平行于第三边且等于第三边的一半．熟记性质是解决实际问题的关键．由、分别是、的中点可知，是的中位线，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别为、的中点， 是的中位线， 米， （米）． 故答案为：40． 11. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理列式求出，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，，，， ∵， ∴是直角三角形， ∵点D为的中点， ∴． 故答案：． 12. 已知一次函数的图象与直线平行，且与y轴交于点，则这个一次函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系内两条平行直线的函数解析式的性质，平面直角坐标系内直线与轴的交点问题．根据直线与直线平行得到k的值；再根据直线交轴于点得到b的值，进而得出函数的表达式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ， 将点代入中，可得 ， 一次函数的表达式为：． 故答案为：． 13. 如图，菱形的两条对角线、相交于点，，，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积，根据菱形的性质解答即可求解，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴， 故答案为：． 14. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为一次函数的函数值为0时对应的的值，利用数形结合的思维解答是解题的关键． 【详解】解：由图象知，当时， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，将矩形沿翻折，点B恰好落在边上的点F处，则线段的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，由轴对称的性质可得：，则，在中，由勾股定理可得，则，由翻折得出对应对应的线段相等是解题的关键． 【详解】解：由翻折，， 则． 四边形是矩形， ，，． 在中， ， ． 故答案为：2． 16. 某校在3月14日国际数学节来临之际举办趣味数学活动．活动共有A，B，C，D，E五个数学游戏项目，每个游戏项目的游戏时间和规定参与人数固定（不满足规定参与人数，游戏无法开始），如下表所示． 游戏项目 A B C D E 游戏时间（min） 3 6 6 4 3 规定参与人数（人） 2 3 2 1 1 （1）若只有1位同学，则他可以参与游戏项目的总时间为______min； （2）若有3位同学，他们希望能够体验全部游戏项目（每个游戏项目至少有人参与过一次），则体验全部游戏项目的最短时间为______min． 【答案】 ①. 7 ②. 15 【解析】 【分析】本题考查推理与论证，解题的关键看懂表格信息，结合题意，仔细分析，解决问题． （1）找出规定参与人数为1人的游戏项目，再求它们的游戏时间和； （2）先分析出要体验全部游戏项目，所需时间包括A，B，C，3个项目的时间，即不少于 min，再列出一种时间为15 min的方案即可． 【详解】（1）由题知，若只有1位同学，则他可以参与的游戏项目为D，E，所求总时间为 min． （2）由表知，游戏项目A，B，C，D，E规定参与人数分别为2人，3人，2人，1人，1人， 若要体验全部游戏项目，则所需时间包括A，B，C，3个项目的时间，即不少于 min， 又先安排3人参与游戏项目B，6 min后，安排2人参加A，另1人同时参加E，3 min后，安排2人参加C，另1人同时参加D，6 min后可体验全部游戏项目，所需时间为15 min， 故所求最短时间为 15 min． 故答案为：7；15． 三、解答题（本题共12道小题，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解： 或， ∴，． 18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的表达式； （2）画出函数图象，并根据图象直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练求得一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用描点法画出一次函数图象，然后根据函数图象写出在轴右侧所对应的函数值的范围即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为， 把，分别代入得， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 当时，，当时，， 函数图象经过两点， 根据函数图象可得，当时，． 19. 已知，中，，作，平行于． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在线段上取一点F，使得，连接，交于点O．求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键． （1）证明，根据平行四边形的定义即可得证； （2）根据，，得到四边形是平行四边形，再由即可得证四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． （1）求m的取值范围； （2）若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【小问1详解】 解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值恒小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由平移可得，再利用待定系数法求出的值即可求解； （）求出直线经过点时的值，再结合图象解答即可求解； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴一次函数， 把点代入，得， ∴， ∴这个一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得， ∴， ∵当时，对于的每一个值，函数的值恒小于一次函数的值，如图， ∴． 22. 昌平区面向全区中小学校发起“‘班超’来了！邀你来接力”活动．某校积极响应号召，组织全校师生在昌平区奥北森林公园开展定向越野活动．参与者分成不同的小队，从起点出发，途经对应的打卡点完成任务，最后抵达终点（如图1）．A小队和B小队分别需要在打卡点A、打卡点B完成任务，从起点出发行走的路程和（单位：）与花费时间x（单位：）的对应关系如图2；A小队在起点到打卡点A，打卡点A到终点的前行过程中，保持同样的速度． （1）起点到终点的距离为______； （2）A小队和B小队进行打卡任务的时长分别为______，______； （3）当两个小队在路上第二次相遇时，距离终点还有______． 【答案】（1）4 （2）20；6 （3）1.5 【解析】 【分析】本题考查从图象获取信息，读懂图象找到相关信息是解题的关键． （1）直接由图象即可解答； （2）A小队到达打卡点A，离开，即可求出A小队打卡时长；先求出B小队到达打卡点B的时间点，进而可求出B小队打卡时长； （3）先分别求出两小队在打卡后的行进速度，设他们同时离开打卡点后相遇，根据此时他们走过的路程相等列出方程，求出他们相遇的时间点，进而求出B小队离终点还需要的时间，即可求出距离终点的路程． 【小问1详解】 解：由图象可得，起点到终点的距离为． 故答案为：4 【小问2详解】 解：A小队打卡时长为， B小队到达打卡点B的时间为， 打卡时长为． 故答案为：20；6 【小问3详解】 解：A小队行进速度为， B小队打卡后行进速度为， 设他们同时离开打卡点后相遇，则， 解得， 此时B小队离终点还需， 路程为． 故答案为： 23. 已知，，点D是中点，于点O，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明，得，再证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再证明，则，然后由勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵，点D是中点， ∴， ∵于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵菱形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 24. 2025年5月20日是第36届中国学生营养日，为了解学生的营养状况，某校开展“数学+生物”跨学科实践活动，各小组自主选择探究主题．水是七大营养素之一，科学饮水有助于维持身体健康，因此某小组决定开展初中生饮水习惯调查．该小组从不同地区的两个学校各抽取n名初二年级学生进行调查，其中学校A的饮水量数据x的频数分布表与频数分布直方图如下所示： 分组/升 频数 频率 3 0.0375 6 0.0750 14 0.1750 19 0.2375 12 0.1500 9 0.1125 a b 7 0.0875 2 0.0250 合计 n 1.0000 （1）填空：______，______，______； （2）补全频数分布直方图； （3）根据中国营养学会制定的《中国学龄儿童膳食指南（2022）》，学龄儿童每日的饮水量应为0.8～1.4升．已知学校A初二年级共有210人，请你估计初二年级学生饮水量达到标准的人数； （4）学校A、学校B学生饮水量的中位数分别为，，其中，则______（填“＞”，“＝”，“＜”）． 【答案】（1）80，8，0.1000； （2）见解析； （3）人 （4）＜ 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是熟练掌握频数分布表和频数分布直方图的关键数据． （1）根据组数据求出n值，n值减去其他各组频数即得a值，a值除以n值，即得b值； （2）利用a值补全频数分布直方图即可； （3）201乘，，三组总占比，即得； （4）A校抽取的80名学生的饮水量按从小到大的顺序排列，第40名和第41名学生在组，得中位数，由B校中位数，得． 【小问1详解】 解：（名）， （名）， ； 故答案为：80，8，0.1000； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如图 【小问3详解】 解：（名）， 答：约有105名同学饮水达标； 【小问4详解】 解：∵， ∴抽取A校的80名学生的饮水量按从小到大的顺序排列，第40名和第41名学生在组， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 25. 某同学家里购买了一个内部高为的碗筷沥水柜，在帮妈妈整理厨房时，他想把一些规格相同的碗尽可能多地放入沥水柜中．他把碗按如图那样整齐地叠放成一摞，但他不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．该同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度y（单位：cm）随着碗的个数x（单位：个）的变化而变化，如图所示： （1）求y与x的函数表达式； （2）帮该同学算一算，放进柜子里的一摞碗最多能叠多少个？ 【答案】（1） （2）放进柜子里的一摞碗最多能叠14个 【解析】 【分析】本题考查一次函数及一元一次不等式解实际问题．熟练掌握待定系数法确定函数关系，函数解析式列不等式求解，是解决问题的关键． （1）由图中数据可知，与的函数关系是一次函数，设，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）根据柜子内高度为，列不等式，结合实际意义即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可知，设， 由图得， ， ∴y与x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵柜子内侧高， ∴， 解得， ∵x为整数，所以x最大取14． 答：放进柜子里的一摞碗最多能叠14个． 26. 在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（ ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（ ），可得方程，则方程正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． （1）补全花拉子米的解法步骤； （2）根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和2的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案． 【小问1详解】 解：思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是； 思路二：如图②所示，将原方程转化为可得方程，则方程的正数解是． 故答案为：，5； 【小问2详解】 解： 思路一：在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和2的矩形，再补上四个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 思路二：在边长为x的正方形的两条邻边上作边长分别为x和4的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 27. 正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． （1）①补全图形； ②求的度数； （2）延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由点，关于射线对称，得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，推出，于是得到； （2）连接交于点，连接，求得，，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：①补全图形如下； ②点，关于射线对称， ，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 理由：如图，连接交于点，连接， ，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 28. 对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：图形和上任意两点间距离的最小值，称为图形与图形的“下限距离”，记作．图形和上任意两点间距离的最大值，称为图形与图形的“上限距离”，记作． （1）若，，图形为线段，图形为线段． 如图，，，则的值是______，的值是______； 点，是直线上的点（点在点左侧），且满足，则的最小值为______，当取最小值时，的取值范围是______； （2）图形为正方形，边长为，对角线在轴上，图形N是直线上的线段（点在点左侧），，若存在，且满足最大值是，直接写出点的坐标． 【答案】（1），； ，； （2）或）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式，解决本题的关键是读懂题目中“上限距离”和“下限距离”的定义画出图形，根据点的坐标计算出两点之间的距离． 根据“上限距离”和“下限距离”的定义，过点作，可得：，； 根据垂线段最短的定义，过点作直线的垂线段，当点的坐标是时，根据可以求出点的坐标是，此时的“上限距离”是；当点的坐标是时，根据可以求出点的坐标是，此时的“上限距离”是，从而可得：； 根据“上限距离”和“下限距离”的定义，分四种情况讨论，当点的坐标是，点的坐标是；当点的坐标是，点的坐标是，当点的坐标是，点的坐标是，当点的坐标是，点的坐标是． 【小问1详解】 解：如下图所示，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， ， ； 如下图所示，连接，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ； 故答案为：，； 解：如下图所示，当点在的位置时， ， ， 设点的坐标为， ， 则有， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时， 点的坐标是， 此时，， ； 如下图所示， 当点的坐标是时， 设点的坐标是， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 点的坐标是， 此时， 综上所述，的最小值是，当取最小值时，的取值范围是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如下图所示， 当点在原点时，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 满足，， 此时，， 此时，点的坐标是； 如下图所示， 当点在原点时，坐标为，点的坐标是，点的坐标是时， 满足， 此时，，， 此时点的坐标是； 如下图所示， 当点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是时， ， 此时，，， 此时，点的坐标是； 如下图所示，当点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是时， ， 此时，，， 此时，点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $