精品解析：天津市河北区2025-2026学年高一第二学期期末质量检测数学试卷

河北区2025-2026学年度第二学期期末高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i是虚数单位，则的虚部为（ ） A. 3 B. 1 C. -i D. i 2. 抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，则“与同向”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，两人的射击结果互不影响，则两人各射击一次恰好有一人中靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.02 C. 0.98 D. 0.72 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 10. 如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两个正交四面体公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上． 11. 某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________． 12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为14的样本.如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为_________. 13. 如图，已知正方体的棱长为2，是的中点，则点到平面的距离为__________． 14. 天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为__________． 15. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 将一个红球和一个黑球任意放入标号为、、的三个盒子里面． （1）用集合的形式写出试验的样本空间； （2）用集合的形式表示下列事件并求出事件的概率． （i）“号盒子不空”； （ii）“每盒至多一个球”． 17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 18. 为优化假期安排，调整学生学习节奏，某中学调查“五一”小长假学生外出体验的情况．随机选取了该校高一及高二共名学生并对其进行了问卷调查．将外出时间（单位：小时）数据按照、、、、依次分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知该校高一及高二共有名学生，估计这两个年级“五一”小长假外出时间不少于小时的人数，说明理由； （3）估计学生“五一”小长假外出时间的众数、中位数，说明理由． 19. 如下图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025-2026学年度第二学期期末高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. i是虚数单位，则的虚部为（ ） A. 3 B. 1 C. -i D. i 【答案】B 【解析】 【详解】，故虚部为1. 2. 抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件{至少1枚正面朝上}，{至多2枚正面朝上}，事件{没有硬币正面朝上}，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】合理设出事件，从而得到事件A，B，C三者的关系. 【详解】记事件{1枚硬币正面朝上}，{2枚硬币正面朝上}，{3枚硬币正面朝上}，则，， 显然，，，C不含于A. 故选：D 3. 设向量，，则“与同向”的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面平行向量的坐标表示求出的值，验证同向与反向即可. 【详解】， 当时，，同向； 当时，，反向. 故选：A． 4. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】圆锥的底面半径为，高为，则母线长为 ， 所以该圆锥的表面积为. 5. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，两人的射击结果互不影响，则两人各射击一次恰好有一人中靶的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.02 C. 0.98 D. 0.72 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式可得. 【详解】由题意可得恰好有一人中的概率为. 6. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，根据平行于同一平面的两条直线无法直接推出这两条直线平行；B选项，根据面面平行得到线线平行需满足这两条直线共面的条件；C选项，根据面面垂直的判定定理和线面垂直的性质即可得出；D选项，没有面面垂直的前提无法得到线面垂直． 【详解】A选项，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面也可能相交； B选项，两平行平面内的两条直线没有公共点，可能平行，也可能异面； C选项，两平行线中，有一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故由，可得，根据过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直可判定结论正确； D选项，当两平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，没有面面垂直的前提无法推得线面垂直． 7. 如图，正方体中，E，F分别是，DB的中点，则异面直线EF与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解. 【详解】 如图所示，连接直线， 因为分别为直线和直线的中点， 所以为的中位线， 所以， 则异面直线EF与所成角的正切值即为直线与所成角的正切值， 因为, 所以平面, 平面, 所以, 所以为直角三角形， 所以. 故选：B. 8. 如图所示，平行四边形中，，点F为线段AE的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，，，化简计算即可得出结果. 【详解】. 故选：C. 9. 已知三个不共线的向量，，满足，则O为的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算判断出分别在的角平分线上，即可得出结论. 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又，所以， 而是以为底的等腰三角形，因此在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A 10. 如图，两个正交的全等正四面体（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点），若正四面体棱长为2，则这两个正交四面体公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】想清楚大小正四面体体积的关系，列出等式关系，根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】根据题意可知该几何图形的体积由八个小正四面体和所求公共部分的体积组成， 设大正四面体为，是中心， 因为大正四面体的棱长为2， 所以，， 所以大正四面体的高，小正四面体的高， 设所求部分的体积为，大正四面体的体积为，小正四面体的体积为， 则，， 所以，即解得，即这两个正交四面体公共部分的体积为 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上． 11. 某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________． 【答案】89 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排序依次为65，67，71，78，89，91，102，因为，所以这组数据的第70百分位数为第5个数据，即89． 故答案为：89 12. 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为14的样本.如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解. 【详解】由题意可知 抽取男运动员的人数为， 故答案为：. 13. 如图，已知正方体的棱长为2，是的中点，则点到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设到平面的距离为，到平面的距离为， 由三棱锥体积公式可得：，其中， 由题可得，， 则， 是的中点， ， 由题可知均是直角三角形，且，, ， 是正方体的对角线， ，则三边分别长， ∴底边对应的高， ，故， 即点到平面的距离为. 14. 天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地．已知某游客游览五大道的概率为，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论符合题干的情况，根据独立事件的概率公式计算即可． 【详解】游览三个景点： 包含五大道的概率：； 不包含五大道的概率：； 游览四个景点：； 则至少游览三个景点的概率为． 15. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 将一个红球和一个黑球任意放入标号为、、的三个盒子里面． （1）用集合的形式写出试验的样本空间； （2）用集合的形式表示下列事件并求出事件的概率． （i）“号盒子不空”； （ii）“每盒至多一个球”． 【答案】（1）用表示红球放在第号盒子里，用表示黑色球放在第号盒子里， 样本空间为. （2）（i），则； （ii），则. 【解析】 【分析】（1）用表示红球放在第号盒子里，用表示黑色球放在第号盒子里，应用列举法可用集合的形式写出试验的样本空间； （2）（i）利用列举法和古典概型的概率公式可求得的值； （ii）利用列举法和古典概型的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略； （ii）略. 17. 在中，角、、的对边分别为、、，满足，． （1）求及边的值． （2）若的面积为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可. 【小问1详解】 在中，， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，可得， 又，则，解得. 【小问2详解】 因为的面积为， 由（1）知，， 所以， 解得，已知， 由余弦定理得，解得. 18. 为优化假期安排，调整学生学习节奏，某中学调查“五一”小长假学生外出体验的情况．随机选取了该校高一及高二共名学生并对其进行了问卷调查．将外出时间（单位：小时）数据按照、、、、依次分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知该校高一及高二共有名学生，估计这两个年级“五一”小长假外出时间不少于小时的人数，说明理由； （3）估计学生“五一”小长假外出时间的众数、中位数，说明理由． 【答案】（1） （2）由频率分布直方图可知，这两个年级“五一”小长假外出时间不少于小时的学生所占的频率为， 由于该校高一及高二共有名学生，估计这两个年级“五一”小长假外出时间不少于小时的人数为人. （3）由频率分布直方图可知，众数为， 数据在的频率为， 数据在的频率为， 设中位数为，则，由中位数的定义可得，解得， 估计学生“五一”小长假外出时间的众数为，中位数为. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图可知，所有小矩形的面积之和为，可得出关于实数的等式，解之即可； （2）计算出这两个年级“五一”小长假外出时间不少于小时的学生所占的频率，再乘以即可； （3）利用最高矩形底边的中点值可得出众数，分析出中位数，根据中位数的定义可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，所有小矩形的面积之和为， 即，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如下图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，，为中点，且. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由中位线定理得出 ,故平面ACF； （2）由面面垂直的性质得出平面CDE,故而 ,又 ,于是平面DAE,从而 ; （3）过F作于点M，连接CM，,则可证平面ABCD,于是 为所求的线面角,利用勾股定理和相似三角形求出,,得出 . 【小问1详解】 证明：如下图，连接BD和AC交于点O，连接OF， 为正方形， 为BD的中点， 为DE的中点， ， 平面ACF， 平面ACF， 平面ACF． 【小问2详解】 证明：平面CDE， 平面CDE， ， 为正方形， ， ，AD，平面DAE， 平面DAE， 平面DAE， ． 【小问3详解】 如图，过F作于点M，连接CM， 平面DAE，平面ABCD， 平面平面DAE， 又平面平面，， 平面ABCD， 是FC在平面ABCD上的射影， 是FC与平面ABCD所成角. 由题意，， ，，故为等腰直角三角形，，, 又，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $