精品解析：天津南开区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 共100分，考试时间100分钟 参考公式： ·如果事件，互斥，那么. ·如果事件，相互独立，那么. ·球的表面积公式，其中表示球的半径. ·台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面面积，表示台体的高. 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（ ） A. 42 B. 50 C. 126 D. 150 2. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若与是异面直线，，，则 D. 若，，，，则 9. 在侧面积为的正四棱台中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 设复数在复平面内对应点为，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则点在第二象限；②若为纯虚数，则点在虚轴上；③若，则点的集合所组成的图形面积为；④若，则为实数. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 12. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则___________. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则___________. 14. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 15. 如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 某中学举办学生数学素养知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计全校答卷成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 17. 已知平面向量与的夹角为45°，且，． （1）求 （2）求； （3）若与垂直，求的值． 18. 小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； （2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 19. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求证：； （3）求. 20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 共100分，考试时间100分钟 参考公式： ·如果事件，互斥，那么. ·如果事件，相互独立，那么. ·球的表面积公式，其中表示球的半径. ·台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面面积，表示台体的高. 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高中有42个班，每个班有50名学生，现从该校高中每班随机选派3名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是（ ） A. 42 B. 50 C. 126 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】由样本量的定义可得答案. 【详解】由题意可知样本量是. 故选：C 2. 已知（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法求出，进而求出其模. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】设，由余弦定理可得最大角为锐角，据此可判断三角形形状. 【详解】由，设， 所以C是的最大内角．因为， 所以，所以C是锐角，则是锐角三角形． 故选：A. 4. 已知在平面直角坐标系中为坐标原点，点、点，则向量和的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量夹角的公式求解即可，注意向量夹角的取值范围. 【详解】因为点、点，所以， 所以，， 设向量和的夹角为，因为， 又因为，所以， 所以向量和的夹角为. 故选：B. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台体积公式求出棱台的高，再利用正四棱台的结构特征求出侧棱长. 【详解】在正四棱台中，作于，则即为棱台的高， 由棱台的体积为28，得，解得， 在等腰梯形中，， 所以该正四棱台的侧棱长为. 故选：C 6. 已知事件，互斥，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先求，最后根据投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意有，所以向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 8. 已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若与是异面直线，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断ABC，利用线面平行的性质定理即可判断D. 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，或，故B错误； 对于C：若与是异面直线，，，则或与相交，故C错误； 对于D：若，，，，所以，，所以，故D正确. 故选：D. 9. 在侧面积为的正四棱台中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦定理，利用定义法可得线线角的余弦值. 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接 则，， 由正四棱台可知，， 又， 所以，且， 即四边形为平行四边形， 所以， 又正四棱台的侧面积为， 即，解得， 又四边形为等腰梯形， 所以， 又，分别是棱，的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 10. 设复数在复平面内对应点为，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则点在第二象限；②若为纯虚数，则点在虚轴上；③若，则点的集合所组成的图形面积为；④若，则为实数. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】①根据复数的除法运算法则化简z，再根据复数的几何意义判断；②根据复数的几何意义确定其所对应的点判断；③根据复数的几何意义确定满足条件的复数所组成的图形再利用圆的面积公式进行求解判断；④由题意可得，则为实数. 【详解】①，对应点在虚轴上，错误； ②若为纯虚数，则点在虚轴上，正确； ③设（），，所组成图形是以原点为圆心、半径为3的圆及其内部，面积为，正确； ④设（），若，则，，为实数，正确. 故选：C 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【解析】 【分析】法一，由也是方程的根，然后利用韦达定理可知；法二，将代入方程，利用复数相等概念建立方程求解求可得. 【详解】法一：因复数是关于的方程的根， 则其共轭复数也是方程的根， 所以由韦达定理得. 法二：因为复数是关于的方程的根， 所以， 解得. 12. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则___________. 【答案】 或 【解析】 【分析】根据正弦定理求出的值，再结合三角形内角范围确定角的取值. 【详解】在中，由正弦定理可得，即得， 因，又，则，故或. 13. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则及直观图的面积公式求出，再利用纵向线段长度变为原来一半的逆运算求得. 【详解】由斜二测画法的规则可知，在直观图中， .因为的面积为，且， 所以， 解得. 根据斜二测画法的规则，原图形中平行于轴，且， 即. 14. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定外接球球心位置，利用球的截面小圆性质求出球半径即可. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，取线段的中点，连接， 则，，设点在底面的射影为点， 则为正的中心，，则， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上，设球的半径为R， 则，由勾股定理得，即，解得， 所以该正三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 15. 如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，则，利用数量积的定义得，利用三角恒等变换和三角函数即可求解. 【详解】设，，则，所以， 所以， 令，由有，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 某中学举办学生数学素养知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计全校答卷成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】（1） （2）40百分位数为72.9，平均数为76.2 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1列方程求解； （2）根据累计频率判断第40百分位数所在区间，然后代入百分位数求解公式计算，区间中点值与对应区间频率的乘积之和即为平均数. 【小问1详解】 由频率分布直方图，可知，则. 【小问2详解】 前三个小矩形的面积和为， 前四个小矩形的面积和为，则第40百分位数位于内， 由，得第40百分位数为72.9， 平均数为 . 17. 已知平面向量与的夹角为45°，且，． （1）求 （2）求； （3）若与垂直，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，即可求解； （2）利用向量数量积运算律，结合模长公式即可求解； （3）根据向量垂直，则，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由题意可知， 即，解得： 18. 小张、小胡两位同学进行两轮语文常识答题比赛，每轮由小张、小胡各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为，小胡每轮答对的概率为，在每轮比赛中，小张、小胡答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求小张在两轮比赛中至少答对1题的概率； （2）求在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对立事件的内涵进行求解即可. （2）分别求出在两轮比赛中，小张、小胡答对题目个数为的概率，然后概率之积求得结果. 【小问1详解】 记“小张在两轮比赛中至少答对1题”为事件， 所以，即小张在两轮比赛中至少答对1题的概率为． 【小问2详解】 记“小张在两轮比赛中答对题”为事件， “小胡在两轮比赛中答对题”为事件， “在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等”为事件， 所以，， ，， 所以， 即在两轮比赛中，小张、小胡答对题目的个数相等的概率为． 19. 在中，角，，的对边分别是，，，已知，，. （1）求的值； （2）求证：； （3）求. 【答案】（1） （2）由（1）得，则， 由余弦定理可知， 又， 且在中，由，可知，，，即， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理解三角形； （2）根据三角形的边长结合余弦定理可得，即可得证； （3）由三角形的三个内角关系直接计算. 【小问1详解】 由已知，则， 又在中，，即， 由余弦定理可知， 解得； 【小问2详解】 由（1）得，则， 由余弦定理可知， 又， 且在中，由，可知，，，即， 所以； 【小问3详解】 由（2）得，所以， 又，则， 则. 20. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角. 【答案】（1）设，连接，因为底面为菱形，所以， 又因为，所以，且，平面， 所以平面； （2）取PC的中点F，连接OF，EF， 所以，，又因为，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （3） 【解析】 【分析】（1）设，连接，根据底面为菱形，得到，再由，得到证明； （2）取PC的中点F，连接OF，EF，结合，，论证四边形是平行四边形，得到证明； （3）由（1）知平面，从而是直线与平面所成的角求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（1）知平面， 所以是直线与平面所成的角， 设，因为， 所以,, 因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $