精品解析：天津市河北区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

河北区2024—2025学年度第二学期期末高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是（ ） A. 个体 B. 样本 C. 总体 D. 样本量 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体，个体，样本，样本量的定义判断即可. 【详解】被抽取的200名学生是样本. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由，得，解得. 故选：B. 3. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 4. 以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为2，高为2圆锥， 则该几何体的体积为. 故选：A 5. 如图，在中，点是的中点，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求得答案. 【详解】由点是的中点，点是的中点， 得. 故选：D 6. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,根据线面角定义可以判断出是直线A1C与平面ABCD所成角,设出正方体的棱长,利用勾股定理和锐角的三角函数定义可以求出直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值. 【详解】连接,由正方体的性质可知：A1A平面ABCD,由线面角的定义可知：是直线A1C与平面ABCD所成角,设正方体的棱长为1,底面是与正方形,故,在中, ,. 故选：D 【点睛】本题考查了线面角的求法,考查了数学运算能力. 7. 已知集合，点P的坐标为，其中，，则点P落在第一象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有的情况，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】点P的坐标为， 其中在第一象限的有， 则点P落在第一象限的概率为. 故选：D. 8. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 9. 走路是“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结论中不正确的是（ ） A. 这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 B. 这一星期内甲的日步数的方差大于乙 C. 这一星期内乙的日步数的分位数是7030 D. 这一星期内甲的日步数的中位数为11600 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数，方差，百分位数，中位数的定义求解判断各选项即可. 【详解】对于A，， ， 所以，故A正确； 对于B，由折线图可以看出，甲的日步数的波动性大于乙的日步数的波动性， 所以，故B正确； 对于C，乙的步数从小到大排列为：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200， 因为，故这一星期内乙的日步数为分位数是10060，故C错误； 对于D，甲的步数从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800， 中位数是11600，故D正确. 故选：C. 10. 已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三棱柱的体积求出棱长，设到平面的距离为，利用以及棱锥的体积公式即可求解. 【详解】直三棱柱的各棱长均相等，设棱长为，因为体积为， 所以，解得：， 设点到平面的距离为， 因为，， 所以中，边上的高为， 则， 取的中点，连接，则， 因为面，面，所以， 因为，所以面，在中，， 由，即， 即， 解得：， 故点到平面的距离为， 故选：A. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. i是虚数单位，化简的结果为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 12. 一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为______. 【答案】6 【解析】 【分析】由极差定义求得，再根据方差定义计算方差． 【详解】由题意得，则， 所以这组数据的平均数为， 方差. 故答案为：6. 13. 甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响，则至少有一人达标的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先考虑两人均未达标的概率，即可得到至少有一人达标的概率. 【详解】两人均未达标的概率为：， 故至少有一人达标的概率为. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是________． 【答案】45° 【解析】 【分析】由题意可证得CD⊥平面PAD，从而∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角，求解即可. 【详解】因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以AD⊥CD， 又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD， 因为PA∩AD＝A，PA、AD在面PAD内，所以CD⊥平面PAD， 又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD， 于是∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角， 因为PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，PA⊥AD， 又因为PA＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°， 于是侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小为45°． 故答案为：45°． 15. 在中，，，，，则______；设，且，则的值为______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】由可得，然后两边平方处理，结合平面向量的数量积运算，解方程即可； 把和代入，化简整理后，代入已知数据，解关于的方程即可得解． 【详解】解：，、、三点共线， ， 两边平方得：， ， 解得：（舍去）． ， ， 化简整理，得， ，解得． 故答案为：3，． 【点睛】本题考查平面向量的模、向量的加减法运算以及向量的数量积运算，利用到了平面向量基本定理，还采用了平方法解决模长问题，考查学生的分析能力和运算能力． 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. （2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 【答案】（1）详见解析（2）;; 【解析】 【分析】 （1）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.，有放回地抽样，任取一个，然后与所有的组合，包括自身；无放回抽样，任取一个，然后与剩下的所有组合；按性别等比例分层抽样，取一个男的，只能与一个女的组合，同样取一个女的，只能与一个男的组合．这样可一一列举出所有样本点． （2）分别求出各种抽样中事件所含样本点的个数，然后计算概率． 【详解】解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点. （1）根据相应的抽样方法可知： 有放回简单随机抽样的样本空间 ，，， 不放回简单随机抽样的样本空间 ，，， 按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 （2）设事件A=“抽到两名男生”，则 对于有放回简单随机抽样，， 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此. 对于不放回简单随机抽样，， 因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 因此 因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以，因此. 【点睛】本题考查样本空间，考查古典概型．属于基础题． 17. 在中，内角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求c的值和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据平方关系可得，进而结合正弦定理求解即可； （2）由余弦定理可得，再结合三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，， 由，则，解得. 【小问2详解】 由， 解得或（舍去）， 则. 18. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，． （1）求的值； （2）求这100户居民问卷评分中位数； （3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率． 【答案】（1）0.02 （2）77.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件, 由频率分布直方图中各组矩形面积之和等于1, 即可求出的值; （2）结合频率分布直方图的性质, 以及中位数的定义, 即可求解; （3）根据已知条件, 结合分层抽样的定义, 列举法, 以及古典概型的概率公式, 即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得, , 解得 ; 【小问2详解】 由频率分布直方图可得, ， 则中位数在 之间, 设 , 则 , 解得 , 故中位数为 77.5 分; 小问3详解】 评分在 对应的频率为 0.1,0.2, 从评分在 和 内的居民中共抽取 6 人, 则评分在 占 2 人, 设为, 评分在 占 4 人, , 从6人中选取 2 人的情况为: , 共15种, 其中这 2 人中恰有 1 人的评分在 的情况为:, 共8种, 故这 2 人中恰有 1 人的评分在 内的概率为: . 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为线段PD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连结，交于点O，连结，可得，再由线面平行的判定可得平面； （2）由，E为线段PD的中点，得，再由平面，得，由线面垂直的判定可得平面； （3）借助等体积法求解. 【小问1详解】 连结，交于点O， 如图示： ∵O是正方形对角线交点，∴O为中点， 由已知E为线段的中点，∵， 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵，E为线段的中点， ∵平面，∴， 在正方形中，， ∴平面，又平面， ∴，又且两直线在平面内， ∴平面； 【小问3详解】 三棱锥的体积 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2024—2025学年度第二学期期末高一年级质量检测 数学 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析.在这个问题中，被抽取的200名学生是（ ） A. 个体 B. 样本 C. 总体 D. 样本量 2. 已知向量，，若，则（ ） A B. 1 C. D. 4 3. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 4. 以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为2，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点是的中点，点是的中点，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1C与平面ABCD所成角余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，点P的坐标为，其中，，则点P落在第一象限的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 9. 走路是“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图，则下列结论中不正确的是（ ） A. 这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 B. 这一星期内甲的日步数的方差大于乙 C. 这一星期内乙的日步数的分位数是7030 D. 这一星期内甲的日步数的中位数为11600 10. 已知直三棱柱的各棱长均相等，体积为，为中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. i是虚数单位，化简结果为______. 12. 一组数据按从小到大的顺序排列为56，59，60，62，a，若这组数据的极差为7，则这组数据的方差为______. 13. 甲、乙两名同学参加某项测试，已知甲达标的概率为，乙达标的概率为，两人能否达标互不影响，则至少有一人达标的概率为______. 14. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是________． 15. 在中，，，，，则______；设，且，则的值为______. 三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人. （1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. （2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 17. 在中，内角所对的边分别为．已知，，． （1）求的值； （2）求c值和的面积. 18. 为提高服务质量，某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查．随机抽取了100户居民的问卷进行评分统计，评分的频率分布直方图如图所示，数据分组依次为：，，，，，． （1）求的值； （2）求这100户居民问卷评分中位数； （3）若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法，从评分在和内的居民中共抽取6户居民，查阅他们答卷的情况，再从这6户居民中选取2户进行专项调查，求这2户居民中恰有1户的评分在内的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点E为线段PD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$