1.7 课时2 平面直角坐标系中的位似教案 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该教案聚焦平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变换规律，即对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。课堂导入通过复习位似图形画法步骤，引导学生思考坐标系中画位似图形的方法，搭建前后知识联系的学习支架。 该教案以核心素养为导向，通过两个探究情境让学生从特殊到一般归纳规律，培养逻辑推理能力，利用方格纸观察图形变换发展几何直观，例题和分层练习覆盖同侧、异侧等情形，帮助学生建立数学建模意识。对学生提升数形结合能力，对教师提供清晰教学流程，便于高效教学。

1.7 课时2 平面直角坐标系中的位似 教案 课题 1.7 课时2 平面直角坐标系中的位似 课型 新授课 课时 45分钟 教材版本 湘教版 教学方法 情境导入法、探究法、讲授法、练习法 教学用具 多媒体课件、三角板、直尺、方格纸 一、核心素养目标 （一）数学抽象 通过在平面直角坐标系中探究图形位似变换的过程，理解数形结合思想，发展几何直观素养 通过对坐标变换规律的归纳概括，体会从特殊到一般的数学推理方法，提升逻辑推理能力 通过画位似图形的操作实践，经历将几何问题代数化的过程，培养数学建模意识 （二）逻辑推理 能够通过具体情境中坐标变化的观察与分析，归纳出以原点为位似中心的坐标变换规律 能够运用位似图形的坐标关系进行简单的演绎推理，判断两个图形是否位似 能够区分同向位似(kx,ky)与反向位似(-kx,-ky)两种情形，并能根据条件选择正确的坐标变换 （三）数学建模 能够将平面直角坐标系中的位似图形问题转化为坐标的缩放变换模型 能够运用坐标变换公式(kx,ky)或(-kx,-ky)解决图形放大或缩小的实际问题 能够在方格纸中根据位似比和位似中心准确画出位似图形 （四）几何直观 能够直观感知平面直角坐标系中图形位似变换前后位置与大小变化的几何特征 能够通过观察坐标系中对应点与原点的共线关系，判断位似关系并确定位似中心 能够借助方格纸和坐标系，直观理解位似比与坐标缩放倍数的一致性 二、教学重难点 【教学重点】平面直角坐标系中以原点为位似中心的坐标变换规律：对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 【教学难点】理解位似图形对应点坐标的两种情形(kx,ky)与(-kx,-ky)的区别与联系，并能正确应用 三、教学过程 （一）情境导入（5分钟） 【教师活动】同学们，上节课我们学习了位似图形的概念和画法。请大家回忆一下，画位似图形的一般步骤有哪些？ 【学生活动】学生回忆并回答：第一步，确定位似中心；第二步，连接位似中心和能代表原图的关键点并延长；第三步，根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；第四步，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形。 【教师活动】非常好！画位似图形的四个步骤大家都掌握得很扎实。那么请大家思考一个新问题：如果我们把图形放在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，能否通过坐标的变化来画位似图形呢？如何在平面直角坐标系中画位似图形呢？这就是我们这节课要探究的内容——平面直角坐标系中的位似。 【过渡语】【过渡语】带着这个问题，让我们走进今天的数学探究之旅，看看坐标系中的位似图形有什么奥秘。 【知识点】复习画位似图形的一般步骤 第一步：确定位似中心 第二步：连接位似中心和能代表原图的关键点并延长 第三步：根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点 第四步：顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形 （二）新知探究（15分钟） 【教师活动】【探究一】请看情境1。如图，已知△AOB的顶点坐标分别为A(2,4)，O(0,0)，B(6,0)。第一个问题：将△AOB各个顶点的坐标分别扩大为原来的2倍，画出对应的△A′OB′。大家先在方格纸上试一试，把A、O、B三点的坐标分别乘2，看看得到的新坐标是什么？ 【学生活动】学生在方格纸上计算：A(2,4)的坐标乘2得A′(4,8)，O(0,0)乘2得O(0,0)，B(6,0)乘2得B′(12,0)。然后在坐标系中描出A′(4,8)、O(0,0)、B′(12,0)三点，顺次连接得到△A′OB′。 【教师活动】很好！大家画出的△A′OB′，顶点坐标分别是A′(4,8)，O(0,0)，B′(12,0)。现在请大家观察图形并思考第二个问题：点A′是否在直线OA上？点B′是否在直线OB上？△AOB与△A′OB′是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个？位似比是多少？ 【学生活动】学生观察后发现：点A′(4,8)在直线OA上，因为OA经过原点O(0,0)和A(2,4)，直线OA上的点坐标满足y=2x，而A′(4,8)满足8=2×4，所以A′在直线OA上。同理，点B′(12,0)在直线OB上（x轴上）。△AOB与△A′OB′是位似图形，位似中心是原点O，位似比为2。 【教师活动】分析得非常到位！A′在直线OA上，B′在直线OB上，两三角形对应顶点连线都经过原点O，对应边互相平行，因此△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为2。这说明：当顶点坐标乘以2时，所得图形与原图形以原点为位似中心，位似比为2。 【过渡语】【过渡语】刚才我们把坐标扩大了2倍，得到位似比为2的位似图形。如果换一组坐标数据，结论是否仍然成立呢？让我们继续探究。 【教师活动】【探究二】请看情境2。如图，已知△AOB的顶点坐标分别为A(3,6)，O(0,0)，B(6,3)。同样地，将各顶点坐标扩大为原来的2倍，画出△A′OB′。请大家计算新坐标。 【学生活动】学生计算：A(3,6)乘2得A′(6,12)，O(0,0)乘2得O(0,0)，B(6,3)乘2得B′(12,6)。在坐标系中描点并连接，得到△A′OB′。 【教师活动】没错。请大家再次思考：点A′是否在直线OA上？点B′是否在直线OB上？△AOB与△A′OB′是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个？位似比是多少？ 【学生活动】学生分析：直线OA过O(0,0)和A(3,6)，斜率为2，A′(6,12)满足12=2×6，所以A′在直线OA上。直线OB过O(0,0)和B(6,3)，斜率为1/2，B′(12,6)满足6=12×(1/2)，所以B′在直线OB上。△AOB与△A′OB′是位似图形，位似中心是原点O，位似比为2。 【教师活动】非常好！两组不同的数据得到了相同的结论。现在让我们一起来归纳这个重要规律。在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小至原来的k倍（k>0），则所对应的图象与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k。进一步地，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。请大家注意，这里有两种情况：同侧位似时坐标为(kx,ky)，异侧位似时坐标为(-kx,-ky)。 [#] 理解要点: 坐标变换规律(kx,ky)与(-kx,-ky)的区分：当位似图形与原图形在原点同侧（同一象限方向）时，对应点坐标为(kx,ky)；当位似图形与原图形在原点异侧（关于原点对称方向）时，对应点坐标为(-kx,-ky)。 [!] 易错提示: 位似比k必须为正数（k>0）。当坐标变换为(kx,ky)时，位似图形与原图形在位似中心同侧；当坐标变换为(-kx,-ky)时，位似图形与原图形在位似中心异侧，此时位似比仍为k（不是-k），负号仅表示方向。 【过渡语】【过渡语】通过两个情境的探究，我们归纳出了平面直角坐标系中位似图形的坐标变换规律。接下来，让我们通过例题来巩固这个规律的应用。 【知识点】情境1：坐标扩大2倍的位似变换 已知△AOB顶点A(2,4)，O(0,0)，B(6,0) 各顶点坐标乘2：A′(4,8)，O(0,0)，B′(12,0) A′在直线OA上，B′在直线OB上 △AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为2 【知识点】情境2：坐标扩大2倍的位似变换（另一组数据） 已知△AOB顶点A(3,6)，O(0,0)，B(6,3) 各顶点坐标乘2：A′(6,12)，O(0,0)，B′(12,6) A′在直线OA上，B′在直线OB上 △AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为2 【知识点】坐标变化规律（核心结论） 规律一：在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小至原来的k倍（k>0），则所对应的图象与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k 规律二：以原点为位似中心，相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 同侧位似：对应点坐标为(kx,ky)，图形在原点同侧 异侧位似：对应点坐标为(-kx,-ky)，图形在原点异侧 （三）例题精讲（10分钟） 【教师活动】【例题】如图，已知▱OABC的顶点坐标为O(0,0)，A(3,0)，B(4,2)，C(1,2)。以坐标原点O为位似中心，作▱OABC的位似图形，位似比为3。请大家思考解题思路。 【学生活动】学生思考后回答：根据坐标变换规律，位似比为3，以原点为位似中心，所以将各顶点坐标分别乘3即可。 【教师活动】思路正确！我们运用规律二，将▱OABC的各顶点的坐标分别乘3。O(0,0)乘3得O(0,0)，A(3,0)乘3得A′(9,0)，B(4,2)乘3得B′(12,6)，C(1,2)乘3得C′(3,6)。然后依次连接点O、A′、B′、C′，四边形OA′B′C′即为所要求的图形。大家看图，OA′B′C′与OABC是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3，图形被放大了。 【设计意图】通过例题精讲，帮助学生将坐标变换规律应用于具体问题，掌握在平面直角坐标系中画位似图形的方法，体会数形结合的思想。 【教师活动】【补充例题】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)，B(4,2)，C(2,2)。以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使位似比为1/2，且△A′B′C′与△ABC在原点异侧。 【学生活动】学生思考：位似比为1/2，且在原点异侧，所以对应点坐标为(-kx,-ky)，即(-1/2·x, -1/2·y)。 【教师活动】分析得很好！因为要求异侧位似，所以对应点坐标为(-kx,-ky)，这里k=1/2。计算各顶点：A(2,6)对应A′(-1,-3)，B(4,2)对应B′(-2,-1)，C(2,2)对应C′(-1,-1)。在坐标系中描出A′、B′、C′三点并顺次连接，就得到△A′B′C′。注意验证：△A′B′C′在第三象限，与△ABC（第一象限）关于原点异侧，且各边长为△ABC对应边长的1/2，位似比为1/2，符合题意。 [*] 判断技巧: 在平面直角坐标系中画位似图形的步骤：①确定位似中心（原点O）；②根据题意确定位似比k和方向（同侧用kx,ky，异侧用-kx,-ky）；③计算各顶点对应坐标；④描点并依次连接。 【过渡语】【过渡语】通过两道例题的讲解，相信大家对坐标变换规律有了更深入的理解。接下来让我们进行课堂练习，检验学习效果。 【知识点】例题：▱OABC的位似变换（位似比为3） 已知▱OABC顶点O(0,0)，A(3,0)，B(4,2)，C(1,2) 位似比为3，以原点O为位似中心 各顶点坐标乘3：O(0,0)，A′(9,0)，B′(12,6)，C′(3,6) 依次连接O、A′、B′、C′，得到位似图形OA′B′C′ 例题：平行四边形OABC及其位似图形OA′B′C′ 例题解答图：平行四边形OABC在坐标系中的位置 【知识点】补充例题：△ABC的位似变换（位似比为1/2，异侧） 已知△ABC顶点A(2,6)，B(4,2)，C(2,2) 位似比为1/2，以原点O为位似中心，异侧位似 对应点坐标为(-kx,-ky)：A′(-1,-3)，B′(-2,-1)，C′(-1,-1) △A′B′C′在第三象限，与△ABC关于原点异侧 （四）课堂练习（10分钟） 【教师活动】现在请大家完成以下4道练习题。第1题是选择题，第2题是选择题，第3题是填空题，第4题是解答题。请同学们认真审题，独立完成。 【学生活动】学生独立完成练习题，教师巡视指导。 【教师活动】时间到，请同学们来分享答案。第1题，将线段AB缩小为原来的1/2，端点C的坐标是多少？请说说你的思路。 【学生活动】学生回答：第1题选A。缩小为1/2，在第一象限同侧位似，对应坐标为(kx,ky)，k=1/2。A(6,6)对应C(3,3)，所以选A。 【教师活动】很好！第2题，△OBC与△ODE的相似比为1:2，M(x,y)的对应点M′坐标是什么？关键要判断是同侧还是异侧。 【学生活动】学生回答：第2题选B。从图上看△ODE与△OBC在原点异侧，所以对应坐标为(-kx,-ky)，k=2，即M′(-2x,-2y)，选B。 【教师活动】分析正确！第3题，A(1,0)对应A′(-2,0)，B(2,2)对应B′的坐标是多少？ 【学生活动】学生回答：第3题答案是(-4,-4)。从A到A′，坐标乘以-2，说明位似比为2且异侧。所以B(2,2)对应B′(-2*2,-2*2)=B′(-4,-4)。 【知识点】练习1（选择题） 题目：如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)，B(8,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1/2后得到线段CD，则端点C的坐标为( ) A. (3,3) B. (4,3) C. (3,1) D. (4,1) 答案：A 解析：缩小为原来的1/2，且在第一象限（同侧），对应点坐标为(kx,ky)，k=1/2。A(6,6)对应C(3,3)，B(8,2)对应D(4,1)。端点C对应A，故C(3,3)，选A。 练习1：线段AB及其位似图形CD 【知识点】练习2（选择题） 题目：如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以O点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1∶2，如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为( ) A. (-x,-y) B. (-2x,-2y) C. (-2x,2y) D. (2x,-2y) 答案：B 解析：相似比为1∶2，即△ODE是△OBC放大2倍的结果。从图中可知△ODE与△OBC在原点异侧，故对应点坐标为(-kx,-ky)，k=2，即M′(-2x,-2y)，选B。 练习2：△OBC与△ODE的位似关系 【知识点】练习3（填空题） 题目：如图，原点O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，点A(1,0)与点A′(-2,0)是对应点，点B(2,2)，则B′点的坐标为______。 答案：(-4,-4) 解析：A(1,0)对应A′(-2,0)，坐标变为原来的-2倍（-2×1=-2，-2×0=0），说明位似比为2，且为异侧位似，对应坐标为(-2x,-2y)。B(2,2)对应B′(-2×2,-2×2)=B′(-4,-4)。 练习3：△ABC与△A′B′C′的位似关系 【知识点】练习4（解答题） 题目：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)，B(1,3)，C(2,1)。 (1) 请在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使它与△ABC的相似比为2∶1； (2) 求出△A′B′C′的周长。 解(1)：相似比为2，以原点O为位似中心。取异侧位似，对应坐标为(-2x,-2y)。A(0,2)→A′(0,-4)，B(1,3)→B′(-2,-6)，C(2,1)→C′(-4,-2)。在坐标系中描出A′、B′、C′并依次连接，得到△A′B′C′如图所示。 解(2)：△ABC各边长：AB=√2，BC=√5，AC=√5。△ABC周长=√2+2√5。位似比为2，故△A′B′C′周长=2(√2+2√5)=2√2+4√5。 练习4：△ABC在平面直角坐标系中的位置 练习4解答：△ABC及其位似图形△A′B′C′ （五）课堂小结（5分钟） 【教师活动】同学们，这节课我们学习了平面直角坐标系中的位似。请大家回顾一下，本节课你学到了哪些知识？ 【学生活动】学生总结：①学习了平面直角坐标系中的位似变换——以原点为位似中心时，顶点坐标扩大或缩小k倍，所得图形与原图形位似，位似比为k；②掌握了坐标变化规律——相似比为k时，对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；③学会了平面直角坐标系中位似图形的画法——确定位似中心、计算对应坐标、描点连线。 【教师活动】总结得很全面！本节课的知识框架包括四个方面：平面直角坐标系中的位似变换、平面直角坐标系中的图形变换、坐标变化规律、平面直角坐标系中的位似图形的画法。核心规律是：以原点为位似中心，相似比为k时，对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)。希望大家课后多加练习，熟练掌握这个规律。 [!] 重点强调: 本课核心规律：以原点O为位似中心，相似比为k时，原图形上点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)（同侧位似）或(-kx,-ky)（异侧位似）。位似比k>0，负号仅表示方向，不改变位似比的大小。 【知识点】知识框架：平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换：以原点为位似中心，顶点坐标扩大或缩小k倍 平面直角坐标系中的图形变换：图形的放大与缩小 坐标变化规律：对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky) 平面直角坐标系中的位似图形的画法：定中心→定比值→算坐标→描点连线 （各环节时间分配合计：45分钟） 四、板书设计 平面直角坐标系中的位似 一、坐标变换规律 以原点O为位似中心，相似比为k： 同侧位似： 异侧位似： 二、画位似图形步骤 1. 确定位似中心（原点O） 2. 确定位似比k和方向（同侧/异侧） 3. 计算各顶点对应坐标 4. 描点并依次连接 三、位似比k > 0（负号仅表示方向） 五、教学反思 1. 本节课的情境导入是否有效激发了学生的探究兴趣？学生能否自然地从画位似图形的步骤过渡到坐标系中的位似问题？ 2. 两个探究情境的设计是否体现了从特殊到一般的认知规律？学生在归纳坐标变换规律时是否遇到了困难？ 3. 例题的选取是否具有代表性？补充例题（异侧缩小）是否帮助学生理解了(-kx,-ky)的情形？ 4. 课堂练习的难度层次是否合理？4道练习题是否全面覆盖了本课的知识点？学生在哪些题目上出错较多？ 5. 教学过程中是否充分体现了数形结合思想？学生能否将坐标变换与图形变换建立联系？ 6. 课堂时间分配是否合理？15分钟的新知探究环节是否充分？5分钟的课堂小结是否到位？ 学科网（北京）股份有限公司 $