1.6 相似三角形的应用 教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦相似三角形在实际测量中的应用，通过埃及风情公园研学情境导入，衔接已学的相似三角形判定和性质，搭建“实际问题→数学建模→相似求解”的学习支架，帮助学生掌握宽度与高度测量方法。 特色在于情境教学与探究式结合，通过影子比例法测金字塔高度、镜面反射法解决阴天测量等实例，渗透数学抽象和建模思想，培养学生逻辑推理与应用意识，教师使用可清晰把握重难点，提升教学效率。

1.6 相似三角形的应用 课题： 1.6 相似三角形的应用 课型： 新授课 课时： 1课时（45分钟） 教材版本： 湘教版九年级上册 教学方法： 情境教学法、探究式教学法、讲练结合法 教学用具： 多媒体课件、皮尺、标杆、小镜子 教材分析：本节是第1章"图形的相似"的最后一节，在学生已掌握相似三角形的判定和性质的基础上，将相似三角形知识应用于实际测量问题，包括测量不能直接测量的宽度和高度。本节内容体现了数学建模思想，是相似三角形知识的综合应用，也是培养学生应用意识和实践能力的重要载体，为后续学习锐角三角函数等知识奠定基础。 学情分析：学生已学习了相似三角形的判定和性质，能熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理进行推理和计算，具备一定的几何推理能力。但将实际问题抽象为数学模型的能力还比较薄弱，需要教师引导逐步建立"实际问题→数学建模→相似三角形求解→回归实际"的思维路径。学生对测量类问题有生活经验，学习兴趣较高。 一、核心素养目标 1. 数学抽象 能够将实际测量问题（测宽度、测高度）抽象为相似三角形的数学模型，体会数学建模的基本过程。 能从具体测量情境中识别出相似三角形的基本图形，理解构造相似三角形的依据。 能归纳出利用相似三角形测量高度和宽度的两种基本方法。 2. 逻辑推理 能运用相似三角形的判定定理证明实际问题中构造的三角形相似，并利用相似三角形的性质进行推理计算。 能通过"影子比例法"和"镜面反射法"推导出测量高度的表达式，理解不同测量方法的数学原理。 在解决测量问题的过程中，能有条理地表达推理过程，书写规范的几何解答格式。 3. 数学建模 经历"实际问题→数学问题→建立相似三角形模型→求解→验证"的完整建模过程。 体会相似三角形在实际测量中的广泛应用价值，增强数学应用意识。 能根据不同的测量条件选择合适的测量方法，发展优化意识。 4. 数学运算 能利用相似三角形对应边成比例的性质建立比例式，并准确求解未知量。 能在测量计算中正确进行单位换算和数值计算，会检验计算结果的合理性。 通过解决多个测量问题，提高列比例式和解方程的基本运算能力。 二、教学重难点 教学重点 利用相似三角形的性质解决测量不能直接测量的宽度和高度的问题，掌握"影子比例法"和"镜面反射法"两种基本测量方法。 教学难点 将实际测量问题转化为相似三角形的数学模型，正确构造相似三角形并列出比例式。 三、教学过程 环节一：学习目标展示（2分钟） 【教师活动】同学们，今天我们来学习第1.6节"相似三角形的应用"。首先来看本节课的学习目标。 【教师活动】本节课有两个学习目标：第一，能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度；第二，进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力。 【学生活动】认真阅读学习目标，明确本节课的学习任务：一是学会用相似三角形测量高度和宽度，二是体会数学建模的基本思想和方法。 【设计意图】课前明确学习目标，帮助学生建立学习预期，带着目标进入后续的学习活动。 【过渡语】明确了学习目标，我们先来看一个有趣的情境。 环节二：情境导入（3分钟） 【教师活动】同学们，你们知道埃及的金字塔有多高吗？在两千多年前，古希腊数学家泰勒斯就利用相似三角形的知识测量出了金字塔的高度。今天我们就来学习——相似三角形的应用。 【教师活动】假设你和本班的一些同学要去埃及风情公园研学。在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量"金字塔"的高度和"尼罗河"的宽度吗？ 埃及风情公园研学情境图 测量金字塔高度和尼罗河宽度的情境图 【学生活动】积极思考，踊跃发言。有的学生提出可以用影子测量高度，有的学生说可以用相似三角形知识解决。 【设计意图】以埃及风情公园研学为情境，激发学生的学习兴趣，引出测量高度和宽度两个核心问题，自然过渡到本节课的学习内容。 【过渡语】我们先来解决第一个问题：如何测量不能直接测量的两点间的距离（宽度）？ 环节三：新知探究——利用相似三角形测量宽度（18分钟） 探究一：构造相似三角形测量池塘两端距离 【教师活动】问题1：如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 【教师活动】分析：如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC、BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使AC/DC = BC/EC = k（k为正整数）。测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A，B间的距离了。 【学生活动】跟随教师的引导，理解构造相似三角形的基本思路：通过取点C，作延长线，使AC/DC = BC/EC，从而构造出△ABC和△DEC，且两三角形相似。 【教师活动】做一做：如图，如果AC/DC = BC/EC = 2，且测得DE的长为50 m，则A，B两点间的距离为多少？ 【教师活动】解：∵ AC/DC = BC/EC = 2，∠ACB = ∠DCE（对顶角相等），∴ △ABC ∽ △DEC。∴ AB/DE = AC/DC = 2。∵ DE = 50 m，∴ AB = 2 × 50 = 100 m。 【学生活动】理解并记录解题过程：由两边成比例且夹角相等判定△ABC∽△DEC，再利用相似比求出AB = 100 m。 【教师活动】请同学们思考：为什么我们要取AC/DC = BC/EC = k（k为正整数）？如果k不是正整数会怎样？ 【学生活动】思考后回答：取k为正整数是为了方便计算。如果k不是正整数，比如k=2.5，相似比仍然是2.5，也可以计算，但取整数更方便。只要是确定的比例值，都可以利用相似三角形对应边成比例求出AB。 【教师活动】说得很好！实际上，k可以是任意正数，只要我们能测量出DE的长度，就可以通过相似比求出AB。取正整数只是为了让计算更简便。 【知识点】构造相似三角形测量宽度的方法：在不能直接测量的两点外取一点，使该点与两点的连线延长后，在延长线上取点使得对应线段成比例，由相似三角形对应边成比例计算未知距离。 【设计意图】通过池塘测距问题，引导学生理解构造相似三角形的基本思路，体会"化不可直接测量为可间接计算"的数学思想。 理解要点：构造相似三角形的关键是找到或构造一组对应角相等（如对顶角、公共角），并确保对应边成比例，从而判定三角形相似。 探究二：利用相似三角形测量河宽（方法一） 【教师活动】问题2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交点R。已知测得QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽PQ。 测量河宽方法一的示意图 【学生活动】仔细阅读题目，理解测量方案：河对岸P点，近岸取Q、S，PS⊥河岸，过S作ST⊥PS，过Q作QR⊥PS，ST与QR平行，PT与QR交于R。已知QS=45m，ST=90m，QR=60m。 【教师活动】请同学们思考：在这个测量方案中，哪两个三角形相似？判定的依据是什么？ 【学生活动】思考后回答：△PQR与△PST相似。因为∠PQR = ∠PST = 90°，∠P = ∠P（公共角），所以△PQR ∽ △PST（两角分别相等的两个三角形相似）。 【教师活动】非常好！下面我们写出完整的解题过程。解：∵ ∠PQR = ∠PST = 90°，∠P = ∠P，∴ △PQR ∽ △PST。∴ PQ/PS = QR/ST，即 PQ/(PQ + QS) = QR/ST。代入数据：PQ/(PQ + 45) = 60/90 = 2/3。解得 PQ = 90。因此，河宽大约为90 m。 测量河宽方法一的解题过程 【学生活动】跟随教师一起完成解题过程，理解关键步骤：利用相似三角形对应边成比例建立方程，解分式方程求出PQ。 【知识点】利用相似三角形测量河宽（方法一）：利用垂直关系构造直角三角形，通过公共角或直角相等判定相似，由对应边成比例列方程求解。 判断技巧：在测量宽度问题中，通常利用"垂直+公共角"或"垂直+对顶角"来构造相似三角形。关键是要找到两个直角三角形，它们有一个公共角或对顶角。 探究三：利用相似三角形测量河宽（方法二） 【教师活动】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D。此时如果测得BD = 80 m，DC = 30 m，EC = 24 m，求两岸间的大致距离AB。 【学生活动】阅读题目，分析测量方案：A在河对岸，B、C在同侧，AB⊥BC，EC⊥BC，AE与BC交于D。已知BD=80m，DC=30m，EC=24m。 【教师活动】请同学们思考：哪两个三角形相似？为什么？ 【学生活动】思考后回答：△ABD与△ECD相似。因为∠ADB = ∠EDC（对顶角相等），∠ABC = ∠ECD = 90°，所以△ABD ∽ △ECD（两角分别相等的两个三角形相似）。 【教师活动】解：∵ ∠ADB = ∠EDC，∠ABC = ∠ECD = 90°，∴ △ABD ∽ △ECD。∴ AB/EC = BD/DC，即 AB/24 = 80/30，解得 AB = 64。因此，两岸间的大致距离为64 m。 【学生活动】理解第二种测量河宽的方法：利用对顶角相等和直角相等判定相似，直接由对应边成比例列比例式求解，不需要解分式方程。 【知识点】利用相似三角形测量河宽（方法二）：利用"对顶角+直角"构造相似三角形，由对应边成比例直接列比例式求解。 易错提示：方法一和方法二的区别在于：方法一利用公共角，比例式中含有未知数PQ，需要解分式方程；方法二利用对顶角，可以直接列比例式求解。学生需注意区分两种构造方式的异同。 【设计意图】通过三种不同的测量宽度问题，让学生全面掌握构造相似三角形测量宽度的多种方法，体会"公共角法"和"对顶角法"的异同，培养灵活运用能力。 【过渡语】解决了测量宽度的问题，接下来我们回到开头的情境：如何测量金字塔的高度？ 环节四：新知探究——利用相似三角形测量高度（12分钟） 探究四：影子比例法测高度 【教师活动】问题：如图，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O'B'，比较木棒的影长A'B'与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB。如果O'B' = 1米，A'B' = 2米，AB = 274米，求金字塔的高度OB。 利用影子测量金字塔高度的示意图 【学生活动】观察示意图，理解测量原理：金字塔和木棒在同一时刻阳光照射下，它们的影子长度与高度成正比。 【教师活动】请同学们思考：为什么可以利用影长来测量高度？太阳光线有什么特点？ 【学生活动】回答：太阳光线是平行光线，所以金字塔和木棒与地面形成的夹角相等，且金字塔和木棒都垂直于地面，可以构造出两个相似的直角三角形。 【教师活动】解：∵ 太阳光线是平行光线，∴ ∠OAB = ∠O'A'B'。∵ ∠ABO = ∠A'B'O' = 90°，∴ △OAB ∽ △O'A'B'（两角分别相等的两个三角形相似）。∴ OB/O'B' = AB/A'B'，∴ OB = (O'B' × AB) / A'B' = (1 × 274) / 2 = 137（米）。答：金字塔的高度OB为137米。 【学生活动】记录解题过程，理解"在同一时刻物高与影长成正比例"的测量原理。 【知识点】测高方法一（影子比例法）：测量不能到达顶部的物体的高度，可以用"在同一时刻物高与影长成正比例"的原理解决。表达式：物1高 : 物2高 = 影1长 : 影2长。 重点强调：影子比例法的前提是太阳光线为平行光线，且物体与地面垂直。两物体的影长必须在同一时刻测量，否则比例关系不成立。 探究五：镜面反射法测高度 【教师活动】思考：还可以有其他测量方法吗？如果测量时没有阳光（阴天或夜晚），还能用影子比例法吗？ 【学生活动】讨论后回答：不能，因为没有阳光就没有影子。可以考虑用其他方法，比如利用镜子的反射。 【教师活动】展示镜面反射法示意图。在金字塔一侧放置一面平面镜，人眼通过平面镜观察金字塔顶端的反射像。利用光的反射定律：入射角等于反射角，可以构造相似三角形。 【教师活动】根据光的反射定律，∠EAC = ∠BAC（入射角等于反射角），进而可得∠EAF = ∠BAO。又因为∠EFA = ∠BOA = 90°，所以△ABO ∽ △AEF。由相似三角形对应边成比例可得：OB/EF = OA/AF，即 OB = (OA · EF)/AF。 【学生活动】理解镜面反射法的原理：利用光的反射定律得到角相等，结合直角构造相似三角形，从而利用相似比计算高度。 【教师活动】请同学们对比一下影子比例法和镜面反射法，这两种方法有什么异同？ 【学生活动】讨论后回答：相同点是都利用了相似三角形的性质，都需要构造直角三角形。不同点是影子比例法依赖太阳光（平行光线），需要在同一时刻测量；镜面反射法利用光的反射定律，不受天气影响，但需要平面镜和测量人到镜子的距离。 【教师活动】总结得非常全面！在实际测量中，我们可以根据现场条件选择合适的方法。有阳光时用影子比例法更方便，阴天或室内用镜面反射法更合适。 【知识点】测高方法二（镜面反射法）：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用"利用镜子的反射测量高度"的原理解决。表达式：物1高 : 物2高 = 物1镜距 : 物2镜距。 理解要点："在同一时刻物高与影长成正比例"和"利用镜子的反射测量高度"这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度。影子比例法依赖平行光线（阳光），镜面反射法依赖光的反射定律，可根据实际情况选择合适的方法。 【设计意图】通过两种测高方法的对比学习，让学生体会不同测量方法的适用条件和数学原理，培养根据实际情况选择合适方法的意识和能力。 【过渡语】通过以上学习，我们已经掌握了利用相似三角形测量宽度和高度的基本方法。现在让我们通过一个实际例子来巩固所学知识。 环节五：例题精讲（5分钟） 【教师活动】例题：在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上。在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A偏离到A'，如图所示。已知OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求小明射击到的点B'偏离靶心点B的长度BB'（近似地认为AA'∥BB'）。 步枪瞄准偏差示意图 【学生活动】阅读题目，理解题意：瞄准时O、A、B共线，抖动后A偏离到A'，AA'∥BB'，已知OA=0.2m，OB=50m，AA'=0.0005m，求BB'。 【教师活动】请同学们思考：哪两个三角形相似？为什么？ 【学生活动】回答：△OAA'与△OBB'相似。因为AA'∥BB'，所以∠OAA' = ∠OBB'，∠OA'A = ∠OB'B，两角分别相等，两三角形相似。 【教师活动】解：∵ AA'∥BB'，∴ △OAA' ∽ △OBB'。∴ OA/OB = AA'/BB'。∵ OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，∴ BB' = (AA' × OB)/OA = (0.0005 × 50)/0.2 = 0.125 m。答：李明射击到的点B'偏离靶心点B的长度BB'为0.125 m。 【学生活动】理解并记录解题过程。注意到虽然AA'很小（0.5毫米），但放大到50米外的靶子上就变成了12.5厘米，这体现了相似三角形的放大效应。 【知识点】利用平行线构造相似三角形：当题目条件中出现平行线时，可以直接利用平行线的性质得到角相等，从而判定三角形相似。 判断技巧：遇到平行线条件时，优先考虑用平行线的性质（同位角相等、内错角相等）来判定三角形相似，这是最常用的相似判定方法之一。 【设计意图】通过步枪瞄准的实际问题，让学生体会相似三角形在生活中的广泛应用，同时巩固利用平行线构造相似三角形的方法。 【过渡语】通过以上的学习，我们已经掌握了利用相似三角形解决实际测量问题的多种方法。现在让我们通过练习题来检验一下学习效果。 环节六：课堂练习（5分钟） 【教师活动】练习1：如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是(　　) A. 6.4m B. 7m C. 8m D. 9m 练习1旗杆高度测量示意图 【学生活动】选C。解析：设旗杆高度为h，旗杆影子顶端到小红影子顶端重合，说明两人的影子顶端在同一点。小红身高1.6m，AC=2m，BC=8m，则AB=AC+BC=10m。由相似三角形可得：h/1.6 = 10/2，解得h = 8m。故旗杆高度为8m，选C。 【教师活动】回答正确！这道题考查的是影子比例法。关键是要找到对应边的比例关系：旗杆高与小红身高的比等于旗杆影长与小红影长的比。 【教师活动】练习2：学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　) A. 0.2m B. 0.3m C. 0.4m D. 0.5m 练习2栏杆下降距离示意图 【学生活动】选C。解析：AB⊥BD，CD⊥BD，∴ AB∥CD，∴ ∠OAB = ∠OCD，∠OBA = ∠ODC，△OAB∽△OCD。∴ AB/CD = AO/CO，即 1.6/CD = 4/1，解得 CD = 0.4m。故栏杆C端下降的垂直距离为0.4m，选C。 【教师活动】分析得很到位！这道题利用的是平行线构造相似三角形，与例题属于同一类型。注意AO和CO的比是4:1。 【教师活动】练习3：如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经过CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D。若AC=3，CE=4，ED=8，则BD=______。 练习3平面镜反射示意图 【学生活动】BD=6。解析：由入射角等于反射角及AC⊥CD，BD⊥CD，可得△ACE∽△BDE。∴ AC/BD = CE/ED，即 3/BD = 4/8，解得 BD = 6。 【教师活动】正确！这道题考查的是镜面反射法，利用入射角等于反射角构造相似三角形。两个直角三角形有一组锐角相等，所以相似。 【教师活动】练习4：小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽。测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线。已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m。求河宽AB。 练习4测量河宽示意图 【学生活动】解：∵ CB⊥AD，ED⊥AD，∴ BC∥DE，∴ △ABC ∽ △ADE。∴ BC/DE = AB/AD，即 1/1.5 = AB/(AB + 8.5)，解得 AB = 17。经检验，AB = 17是原分式方程的解。答：河宽AB的长为17 m。 练习4解题过程 【教师活动】非常好！这道题综合考查了利用平行线构造相似三角形测量河宽。注意：因为AB是未知数，所以列出的是分式方程，解完后需要检验。 解题思路总结：利用相似三角形解决实际测量问题的一般步骤：①审题，明确已知量和未知量；②在图中找出或构造相似三角形；③根据相似三角形的性质列比例式；④代入已知数据，解方程求解；⑤检验结果的合理性并作答。 【设计意图】四道练习题覆盖了本节课的全部知识点：影子比例法测高度（练习1）、平行线法构造相似三角形（练习2）、镜面反射法（练习3）、综合测量河宽（练习4）。题量适中，难度梯度合理。 【过渡语】通过今天的学习，我们对相似三角形的应用有了全面深入的认识。下面我们一起回顾本节课的主要内容。 环节七：课堂小结（2分钟） 【教师活动】请同学们回顾本节课所学内容，思考以下问题： 【教师活动】1. 利用相似三角形可以解决哪些类型的实际问题？ 【学生活动】回答：可以解决测量不能直接测量的宽度（两点间的距离）和高度（不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度）的问题。 【教师活动】2. 测量高度有哪两种基本方法？它们的原理分别是什么？ 【学生活动】回答：有两种方法。方法一：影子比例法，利用"在同一时刻物高与影长成正比例"的原理；方法二：镜面反射法，利用"光的反射定律（入射角等于反射角）"的原理。两种方法都用到相似三角形的性质。 【教师活动】3. 解决实际测量问题的一般步骤是什么？ 【学生活动】回答：①审题，明确已知和未知；②找出或构造相似三角形；③根据相似三角形性质列比例式；④代入数据求解；⑤检验并作答。 【教师活动】同学们总结得很好！相似三角形在实际生活中有广泛的应用，希望同学们能学以致用，用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界。 【知识点】本节课核心知识框架：相似三角形的应用分为两大方面——利用相似三角形测量宽度（不能直接测量的两点间的距离）和利用相似三角形测量高度（不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度）。测量高度的两种方法：影子比例法和镜面反射法。 【设计意图】通过三个递进式问题引导学生回顾本节课的核心内容，形成知识框架，强化"实际问题→数学建模→相似三角形求解→回归实际"的思维路径。 四、板书设计 1.6 相似三角形的应用 一、利用相似三角形测量宽度 1. 构造相似三角形法：取外点C，延长AC、BC至D、E，使AC/DC=BC/EC 2. 公共角法：垂直+公共角→△PQR∽△PST 3. 对顶角法：垂直+对顶角→△ABD∽△ECD 二、利用相似三角形测量高度 1. 影子比例法：物1高:物2高=影1长:影2长 原理：太阳光线平行→△OAB∽△O'A'B' 2. 镜面反射法：物1高:物2高=物1镜距:物2镜距 原理：入射角=反射角→△ABO∽△AEF 三、平行线构造相似三角形 AA'∥BB'→△OAA'∽△OBB'→对应边成比例 四、解题步骤 审题→构造相似三角形→列比例式→代入求解→检验作答 五、教学反思 1. 本节课的教学目标是否达成？学生能否独立运用相似三角形的知识解决测量宽度和高度的问题？ 2. 情境导入环节是否有效激发了学生的学习兴趣？学生对埃及风情公园研学的情境是否产生了共鸣？ 3. 三种测量宽度的方法（构造法、公共角法、对顶角法）和两种测量高度的方法（影子比例法、镜面反射法）是否讲解清晰？学生能否区分不同方法的适用条件？ 4. 学生在课堂练习中暴露了哪些共性问题？是比例式列错还是计算错误？如何在下节课中针对性纠正？ 5. 教学过程中学生的参与度如何？小组讨论和师生互动是否充分？是否关注到了不同层次学生的需求？ 6. 本节课的板书设计是否清晰反映了知识框架？时间分配是否合理？是否需要调整教学节奏？ 学科网（北京）股份有限公司 $