2.5 有理数的乘法与除法 《知识解读·题型专练》 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，从两个有理数乘法法则出发，延伸至多个有理数乘法的符号法则，结合倒数概念与求法、乘法运算律，再过渡到除法法则、乘除混合运算，最终形成四则混合运算及实际应用的完整知识链，搭建递进式学习支架。 资料通过9类题型归纳与分层例题、变式题设计，以出租车行程、身高对比等实际问题培养数学语言表达现实世界的应用意识，借助倒数求法表格、运算律简便运算提升数学眼光的抽象能力和数学思维的运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

2.5 有理数的乘法与除法（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 2 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 3 【题型 3·倒数】 4 【题型 4·有理数乘法运算律】 4 【题型 5·有理数的除法运算】 5 【题型 6·有理数乘除混合运算】 5 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 6 【题型 8·有理数四则混合运算】 7 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 8 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 【例1】计算所得结果是（   ） A．5 B．6 C． D． 【变式1-1】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】计算：___________. 【变式1-3】计算：______． 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【题型 3·倒数】 【例3】2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】互为倒数，互为相反数，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】若a的相反数是5，则a的倒数是（   ） A． B． C． D．5 【题型 4·有理数乘法运算律】 【例4】计算： 【变式4-1】计算：． 【变式4-2】计算． 【变式4-3】简便运算． (1)； (2)． 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 【题型 5·有理数的除法运算】 【例5】计算___________． 【变式5-1】计算：的值为______． 【变式5-2】计算：_________； 【变式5-3】计算： (1)________． (2)________． (3)________． 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型 6·有理数乘除混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式6-1】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【变式6-3】计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 【例7】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【变式7-1】计算：． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【变式7-3】用运算律简便运算 (1) (2) 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型 8·有理数四则混合运算】 【例8】计算： (1)； (2)． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【变式8-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【变式8-3】计算： (1) (2) 题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】在疫情防控期间的一天上午，出租车司机小王在东西向的海秀路上免费接送核酸检测的医护人员.如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，，+13，，，+3，，． (1)小王将最后1名核酸检测的医护人员送到目的地时，小王在上午第一次出发地的什么方向，与出发地相距多少千米？ (2)若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油9元，则小王在这次免费接送活动中花了多少元的汽油钱？（注：列出算式，并计算） 【变式9-1】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣7 ﹣12 ﹣13 0 ﹣17 +40 +9 (1)请求出这7天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶50km需用汽油4升，汽油价6.8元/升，计算小亮家这7天的汽油费用大约是多少元？ 【变式9-2】如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位∶站）∶－4，＋3，－6，－1，＋9，－2，－5，＋4． (1)请通过计算说明 A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【变式9-3】学习了正负数，第一小组组长调查了本组6名同学的身高，与全班同学平均身高做了对比 之后，列出了下面的表格，作为本组同学的一个活动课作业． 请你完成这道题： 学生 A B C D E F 身高（单位：cm） 157 163 173 165 身高与全班平均身高的差值 －6 ＋2 －3 （1）将表格中的空白部分填上正确的数字； （2）他们6人中最高身高比最矮身高高多少cm？请列式计算． （3）如果身高达到或超过平均身高时叫达标身高，这6个同学身高的达标率约为 （结果写成的形式，其中保留到小数点后一位）． 随堂检测 【随堂检测】 1．的倒数是（    ） A． B．2025 C． D． 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 3．已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的有（ ） A． B． C． D． 4．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 5．杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，，，，则这4筐杨梅的总质量是（    ） A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 6．已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 7．的倒数是__________． 8．某地气象资料表明，高度每增加米，气温就下降大约，现在米高空的气温是，则地面气温约是______ 9．若与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是2，则____________________． 10．某组5人的体重记录（以为标准，超出记为正）：，，，，，平均体重为____． 11．计算： (1)； (2) 12．为保障小麦越冬前农机检修保养工作的顺利推进、某农机配件车间需在一周内赶制一批农机核心配件．车间制定计划时，设定每天加工400件，由于各种原因，实际每天加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值/件 (1)这周加工最多的一天比加工最少的一天多加工了________件． (2)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元．以每周加工2000件配件为基础任务、若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周工人的总收入． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5 有理数的乘法与除法（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 2 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 3 【题型 3·倒数】 6 【题型 4·有理数乘法运算律】 8 【题型 5·有理数的除法运算】 10 【题型 6·有理数乘除混合运算】 11 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 14 【题型 8·有理数四则混合运算】 17 【题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 20 知识点1 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点2 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点3 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点4 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 【题型 1··两个有理数的乘法运算】 【例1】计算所得结果是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，注意计算的准确性即可． 根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】解： ， 故选：D 【变式1-1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式1-2】计算：___________. 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，同号两数相乘得正，异号两数相乘得负． 根据两个负数相乘，结果为正数即可求解． 【详解】解：， 故答案为：48． 【变式1-3】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘法运算，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数乘法法则，异号两数相乘，结果为负，并将绝对值相乘． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【题型 2·多个有理数的乘法运算】 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 （1）先确定乘积的符号，再计算后两个数相乘，最后再计算乘法即可； （2）先确定乘积的符号，按照从左到右的顺序计算即可 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)120 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． （1）按有理数的乘法法则计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再把小数化成分数，最后按有理数的乘法法则计算； （3）按有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：． 【变式2-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键；小数转化为分数，带分数转化为假分数是易错点，转化的时候要注意； （1）有三个负数相乘，可将负号提至最前，再将分数相乘，约分即可； （2）几个数相乘，中间有零，根据零乘任何数都得零，可直接得出答案； （3）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可； （4）小数转化为分数，带分数转化为假分数，再计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵零乘以任何数都得零 ∴； （3） ； （4） ． 【题型 3·倒数】 【例3】2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 【变式3-1】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 【变式3-2】互为倒数，互为相反数，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，求解代数式的值，掌握“整体代入求解代数式的值”是解本题的关键． 利用倒数性质和相反数性质，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴． ∵m、n互为相反数， ∴． ∴ ． 故选A． 【变式3-3】若a的相反数是5，则a的倒数是（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查相反数和倒数的基本概念，直接计算即可．掌握“乘积是1的两个数互为倒数”，“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题关键．根据相反数的定义求出a的值，再根据倒数的定义求出a的倒数即可． 【详解】解：∵ a的相反数是5， ∴， ∴ a的倒数为， 故选：A． 【题型 4·有理数乘法运算律】 【例4】计算： 【答案】652 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 将后面的变形后，逆用分配律计算，再利用乘法结合律计算． 【详解】解： ． 【变式4-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律，有理数的混合运算，掌握乘法分配律是解题的关键． 使用乘法分配律，将括号内的每一项分别乘以，然后计算各项的值并求和即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】计算． 【答案】90 【分析】本题考查有理数的四则混合运算以及运用相关运算律进行简便运算，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 【变式4-3】简便运算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法运算律． 根据乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点5 有理数的除法 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 【题型 5·有理数的除法运算】 【例5】计算___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法；根据有理数除法法则，异号两数相除得负，并将绝对值相除． 【详解】解：， 故答案为． 【变式5-1】计算：的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的除法运算， 根据有理数除法法则，同号两数相除得正，异号两数相除得负，再计算绝对值． 【详解】解：． 故答案为：5． 【变式5-2】计算：_________； 【答案】6 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的除法法则进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为6． 【变式5-3】计算： (1)________． (2)________． (3)________． 【答案】 9 【分析】本题考查了有理数的除法运算，按照有理数除法运算法则依次计算即可. （1）先确定符号，再化为分数，最后把除法转化为乘法计算即可； （2）先确定符号，再把除法转化为乘法计算即可； （3）先确定符号，再化为假分数，最后把除法转化为乘法计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 知识点6 有理数乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 【题型 6·有理数乘除混合运算】 【例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式6-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式6-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算： （1）将小数化为分数，将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可； （2）将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)100 (3) (4)0 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数乘法的交换律和结合律，进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则，进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则，进行计算即可； （4）根据任何数与0相乘都得0，0除以任何数都得0，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型 7·有理数乘除中的简便运算】 【例7】用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将式子中写成，通过观察发现可以把公因数提出来，再算出括号里的数，最后与相乘得到最终答案． （2）先把式子中转化成，再提出公因数，再运算得出结果． （3）先把式子中转化成，把公因数提出，再运算得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 【变式7-1】计算：． 【答案】432 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键．根据有理数乘除的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式7-3】用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 知识点7 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【题型 8·有理数四则混合运算】 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运用有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）先算乘除，再算加减即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是解题关键． （1）先将减法转化为加法，再按有理数加法法则计算； （2）利用乘法分配律，简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式8-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)30 (3) (4)7 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，有理数的加减乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先运算乘除法，再运算加减法，即可作答． （2）先运算乘除法，再运算加减法，即可作答． （3）运用有理数的乘法运算律进行计算，即可作答． （4）先运算乘除法，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)25 (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型 9·有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】在疫情防控期间的一天上午，出租车司机小王在东西向的海秀路上免费接送核酸检测的医护人员.如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，，+13，，，+3，，． (1)小王将最后1名核酸检测的医护人员送到目的地时，小王在上午第一次出发地的什么方向，与出发地相距多少千米？ (2)若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油9元，则小王在这次免费接送活动中花了多少元的汽油钱？（注：列出算式，并计算） 【答案】(1)小王将最后1名核酸检测的医护人员送到目的地时，小王在上午第一次出发地的西方方向，且与出发地相距25千米处． (2)小王在这次免费接送活动中花了78.3元的汽油钱 【分析】（1）直接将各数相加，正数即是正东方向，负数即是正西方向； （2）计算各数绝对值的和，再与耗油量相乘即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：小王将最后1名核酸检测的医护人员送到目的地时，小王在上午第一次出发地的西方方向，且与出发地相距25千米处． （2）解： （元） 答：小王在这次免费接送活动中花了78.3元的汽油钱． 【点睛】本题考查了正数和负数的实际意义，正数和负数表示相反意义的量，向东表示正数，则向西表示负数；反之也成立，结果是正数表示向东，结果是负数表示向西． 【变式9-1】随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣7 ﹣12 ﹣13 0 ﹣17 +40 +9 (1)请求出这7天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶50km需用汽油4升，汽油价6.8元/升，计算小亮家这7天的汽油费用大约是多少元？ 【答案】(1)50千米 (2)190.4元 【分析】（1）根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程平均数，再加上50，可得平均路程； （2）先求出平均一天的耗油量，根据总价=单价×数量可求一天的需要的钱数，再乘天数7，可得答案． 【详解】（1）×（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝0， ∴50+0＝50（千米）． 答：这七天平均每天行驶50千米； （2）50××6.8＝27.2（元）， 27.2×7＝190.4（元）． 答：小亮家这7天的汽油费用大约是190.4元． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，利用有理数的运算得出平均一天的耗油量是解题关键． 【变式9-2】如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位∶站）∶－4，＋3，－6，－1，＋9，－2，－5，＋4． (1)请通过计算说明 A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)小明距离西安路站最远的站是机场站． (2)小明一共行进的总路程为61.2千米． 【分析】（1）通过计算各数据的代数和，依据题意可得A站的站名；通过依次计算每相邻两站的代数和，找出绝对值最大的数即为距离西安路站最远的站； （2）计算各个数据的绝对值的和即可得到行走的总路程，再乘以1.8即可得出结论． 【详解】（1）解：因为， 所以A站是辽师大站． 因为－4＋3＝－1，－1－6＝－7，－7－1＝－8，－8＋9＝1，1－2＝－1，－1－5＝－6，－6＋4＝－2 因为－8绝对值最大， 所以小明距离西安路站最远的站是机场站． （2）解：因为， 千米，+ 所以，小明一共行进的总路程为61.2千米． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的意义，正数和负数，准确理解数据的实际意义是解题的关键． 【变式9-3】学习了正负数，第一小组组长调查了本组6名同学的身高，与全班同学平均身高做了对比 之后，列出了下面的表格，作为本组同学的一个活动课作业． 请你完成这道题： 学生 A B C D E F 身高（单位：cm） 157 163 173 165 身高与全班平均身高的差值 －6 ＋2 －3 （1）将表格中的空白部分填上正确的数字； （2）他们6人中最高身高比最矮身高高多少cm？请列式计算． （3）如果身高达到或超过平均身高时叫达标身高，这6个同学身高的达标率约为 （结果写成的形式，其中保留到小数点后一位）． 【答案】（1）0、165、160、+10、+2；（2）16cm；（3）66.7% 【分析】（1）先根据学生A的数据求出全班平均身高，再根据关系式分别计算其他学生的身高和身高与全班平均身高的差值； （2）由表找出最高身高的学生和最矮身高的学生，再相减即可得出答案； （3）先找出达标身高的人数，再根据总人数为6人即可得出答案． 【详解】解：（1）学生A的身高为157cm，与全班平均身高差-6， 全班平均身高为157-（-6）=163cm， 学生B与全班平均身高差163-163=0； 学生C的身高为163+2=165cm； 学生D的身高为163-3=160cm； 学生E与全班平均身高差173-163=+10； 学生F与全班平均身高差165-163=+2； 故填表为： B C D E F 165 160 0 +10 +2 （2）解：由表可知，最高身高为学生E为173cm，最矮身高为学生A为157cm， （cm）， 答：他们6人中最高身高比最矮身高高16cm； （3）他们6人中，学生B、C、E、F的身高为达标身高， 这6个同学身高的达标率约为． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，求出全班平均身高是解题的关键． 随堂检测 【随堂检测】 1．的倒数是（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数是． 2．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据负数与正数相乘的规则计算即可． 【详解】解：∵ 负数乘以正数得负数， 且， ∴， 故选A． 3．已知a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减运算，根据数轴得出且，再据此推断即可． 【详解】解：由数轴得出且， 故A、B选项正确，不合题意； ∵， ∴， 故选项C正确，不合题意； ∵， ∴， 故D选项错误． 故选：D． 4．一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 5．杨梅开始采摘啦！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下，，，，则这4筐杨梅的总质量是（    ） A．19.7千克 B．19.9千克 C．20.1千克 D．20.3千克 【答案】C 【分析】此题考查了正负数以及有理数的加法运算，正确列出算式并熟练掌握运算法则是解本题的关键．用记录中的数的和，再计算基准数即可． 【详解】解：∵每筐基准为5千克， ∴4筐基准总质量为千克， 偏差记录总和为千克， ∴总质量为千克， 故选：C． 6．已知四个数：3，，，4．任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数大小比较，解题的关键是确定两个因数． 根据有理数乘法法则可知，要使两个数相乘的积最大，应选择同号的两个数，即两个正数或两个负数，计算所有同号组合的积，并比较大小即可． 【详解】解：∵ 积最大需同号相乘， ∴ 正数组合：， 负数组合：， ∵， ∴ 最大积为． 故选：B． 7．的倒数是__________． 【答案】 【详解】解：的倒数是． 8．某地气象资料表明，高度每增加米，气温就下降大约，现在米高空的气温是，则地面气温约是______ 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． 根据高度每增加米气温下降，计算从地面到米高度增加导致的气温下降总量，再依据高空气温求地面气温． 【详解】解：依题意，地面气温约为：． 故答案为：． 9．若与互为相反数，与互为倒数，的绝对值是2，则____________________． 【答案】或 【分析】此题考查了代数式的求值，熟练掌握相反数、倒数、绝对值等知识是解题的关键． 根据题意得到，，，代入代数式计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时， ； 当时， 故答案为：或． 10．某组5人的体重记录（以为标准，超出记为正）：，，，，，平均体重为____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义等知识；由题意平均体重为标准数与5个数的平均数的和． 【详解】解：平均体重为：； 故答案为：． 11．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）先将小数转为分数，然后按照有理数混合运算法则计算即可； （2）根据有理数混合运算法则计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．为保障小麦越冬前农机检修保养工作的顺利推进、某农机配件车间需在一周内赶制一批农机核心配件．车间制定计划时，设定每天加工400件，由于各种原因，实际每天加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值/件 (1)这周加工最多的一天比加工最少的一天多加工了________件． (2)已知该厂对这个车间实行计件工资制，每加工1件得10元．以每周加工2000件配件为基础任务、若超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这周工人的总收入． 【答案】(1)110 (2)20300元 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）用表格中的最大数据减去最小数据，即可得出结果； （2）求出总件数，根据收入规则，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（件）； 故答案为：110； （2）解：（件）， （元）； 答：该车间这周工人的总收入20300元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $