专题2.5 有理数的乘法和除法【导图+知识卡片+知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题】-2026-2027学年苏科版数学七年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦有理数的乘法和除法核心知识点，系统梳理乘法法则（含两数及多个数相乘符号与绝对值规则）、倒数概念（乘积为1的数，0无倒数）、除法法则（转化为乘法及符号规则）、乘除混合运算（从左到右顺序，先乘除后加减），构建从基础法则到综合运算的学习支架。 资料以思维导图构建知识体系，13个题型讲练（如出租车行程、粮食进出等实际应用）结合典例与变式，中考真题演练链接中考，难度分层练满足不同需求。通过符号运算培养抽象能力，实际问题提升应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，发展运算能力与推理意识。

专题2.5 有理数的乘法和除法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的乘法法则 2 知识点二 倒数的概念 3 知识点三 有理数的除法法则 3 知识点四 有理数的乘除混合运算 4 题型讲练 4 题型一 两个有理数的乘法运算 4 题二 多个有理数的乘法运算 5 题型三 有理数乘法的实际应用 5 题型四 倒数 6 题型五 有理数乘法运算律 7 题型六 有理数的除法运算 7 题型七 有理数除法的应用 8 题型八 有理数乘除混合运算 9 题型九 有理数乘除中的简便运算 9 题型十 有理数四则混合运算 10 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 10 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 11 题型十三 数轴上的翻折 12 中考真题演练 13 难度分层训练 14 【基础夯实】 14 【培优拔高】 16 知识点一 有理数的乘法法则 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 技巧点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来： 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2.有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 技巧点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3.有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 技巧点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 知识点二 倒数的概念 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 技巧点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点三 有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 技巧点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点四 有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 题型一 两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 题二 多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】（24-25七年级上·四川广元·开学考试）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 题型三 有理数乘法的实际应用 【典例精讲】某粮库一周前存有粮食200吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 (1)若运进的粮食装卸费为元/吨，运出的粮食装卸费为元/吨，则这一周要付的装卸费一共是多少钱？ (2)若每周平均进出的粮食数量大致相同，则再过几周粮库储存的粮食会降低到100吨？ 【变式训练】（25-26七年级上·广东茂名·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北方向的人民路上连续接送5位客人，规定向北为正方向，向南为负方向行驶记录如下（单位：）：，，，，． (1)接送完第5位客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车的计价标准为行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米元收费，求该驾驶员接送5名客人共收到车费多少元？ 题型四 倒数 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 题型五 有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式训练】（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 题型六 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式： ①； ②； ③； ④； 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 有理数除法的应用 【典例精讲】某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【变式训练】（25-26七年级上·天津滨海新区·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数且，满足与互为相反数． (1)____________，___________，____________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____________表示的点重合； (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 题型八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】计算 (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：其中正确的是__________．（填序号） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 题型九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 题型十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南·期末）观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【变式训练】（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ； ； ； ，其中正确的是______．（填序号） 【变式训练】（25-26七年级上·重庆南川·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 题型十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【变式训练】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）【问题背景】我们知道，数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，若将数轴折叠，使点与点重合，解答下列问题： 【问题再现】（）求折叠后与表示数重合的点所表示的数； 【问题推广】（）若折叠后，数轴上的两点也重合，且折叠前两点之间的距离为个单位长度（点在点的左侧），求两点所表示的数； 【拓展提升】（）在（）的条件下，将折叠后的数轴展开，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动．设当运动时间为秒时，两点相距个单位长度，求的值． 【真题演练1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点分别表示数，且，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）的倒数是（    ） A．2022 B． C． D． 【真题演练3】（2025·山东东营·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D．2 【真题演练4】（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【真题演练5】（2024·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【基础夯实】 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）2026的倒数是（　　） A． B．2026 C． D． 3．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 5．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 6．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 10．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 5．若规定，则________． 6．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 8．某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 9．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：）：． (1)出车地记为0，把最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ (2)若汽车耗油量为，这天上午汽车共耗油多少升？ 10．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题2.5 有理数的乘法和除法『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【苏科版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的乘法法则 2 知识点二 倒数的概念 3 知识点三 有理数的除法法则 3 知识点四 有理数的乘除混合运算 4 题型讲练 4 题型一 两个有理数的乘法运算 4 题二 多个有理数的乘法运算 6 题型三 有理数乘法的实际应用 7 题型四 倒数 8 题型五 有理数乘法运算律 10 题型六 有理数的除法运算 11 题型七 有理数除法的应用 13 题型八 有理数乘除混合运算 15 题型九 有理数乘除中的简便运算 17 题型十 有理数四则混合运算 20 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 21 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 23 题型十三 数轴上的翻折 24 中考真题演练 27 难度分层训练 28 【基础夯实】 28 【培优拔高】 33 知识点一 有理数的乘法法则 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 技巧点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来： 如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2.有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 技巧点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3.有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 技巧点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 知识点二 倒数的概念 倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 技巧点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点三 有理数的除法法则 有理数除法法则： （1）法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 （2）法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 技巧点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 知识点四 有理数的乘除混合运算 1.由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 2.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 题型一 两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1） ， ； （2） ， ， ， ； （3） ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 【答案】 13和24 和 【思路引导】要使两个数乘积最小，需将较小数字放在高位，再确定各数位数字，即可得到乘积最小的组合． 【规范解答】解：（1）根据乘积最小要求，较小数字放在十位，因此十位选择和，剩余和作为个位，得到两种组合，计算得： ， ∵， ∴乘积最小的两个两位数为和． （2）已知，，可得， 要使乘积最小，应将最小的两个数字放在最高位，即，应为两个数的最高位（三位数的百位和两位数的十位），为使乘积更小，应将较小的首位数字用于位数较少的两位数，d用于三位数的百位数，使乘积最小，应使较小的两位数尽可能小，故其个位取剩余数字中最小的， ∴将作为两位数的十位，搭配剩余数字中最小的作为两位数的个位，得到两位数为 剩余的数字，按从小到大的顺序依次放在三位数的十位和个位，三位数的百位为，得到三位数为， ∴得到两位数为，三位数为． 27． 题二 多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【规范解答】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 【变式训练】（24-25七年级上·四川广元·开学考试）能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3) (4)9 【思路引导】按照四则运算顺序进行计算，然后要注意合理利用乘法分配律和结合律进行简便计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型三 有理数乘法的实际应用 【典例精讲】某粮库一周前存有粮食200吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进、出记录 (1)若运进的粮食装卸费为元/吨，运出的粮食装卸费为元/吨，则这一周要付的装卸费一共是多少钱？ (2)若每周平均进出的粮食数量大致相同，则再过几周粮库储存的粮食会降低到100吨？ 【答案】(1)元 (2)再过周粮库储存的粮食会降低到吨 【思路引导】（1）根据 “运进的粮食装卸费运出的粮食装卸费这一周要付的装卸费”列式化简即可； （2）先求出进出记录的和，判断增减，再列式计算即可． 【规范解答】（1）解： ； 答：这一周要付的装卸费一共是元钱． （2）解： (吨)， ∵结果为负, ∴每周粮库中的粮食都会减少10吨， ∴（周）， 综上所述，再过9周会降低到100吨． 【变式训练】（25-26七年级上·广东茂名·期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北方向的人民路上连续接送5位客人，规定向北为正方向，向南为负方向行驶记录如下（单位：）：，，，，． (1)接送完第5位客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车的计价标准为行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米元收费，求该驾驶员接送5名客人共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司的北边，距离公司10千米处 (2)68元 【思路引导】（1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． 【规范解答】（1）解：． 答：该驾驶员在公司的北边，距离公司10千米处． （2）解： （元）． 答：该驾驶员接送5名客人共收到车费68元． 题型四 倒数 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上对应的点的位置如图所示：有下列各式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【思路引导】先根据数轴判断数的大小关系，再判断式子的符号即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴； 综上，只有④正确，共1个． 【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【思路引导】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【规范解答】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 题型五 有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)26 (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）下列各题，要写出主要运算过程，能简便运算的，应采用简便方法运算． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： （2）解： 题型六 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】根据数轴上有理数的位置，，计算判断即可． 【规范解答】解：根据图示，可得， ∴；，， 故，， 由是一个负数，根据两个负数比较，绝对值大的反而小， 得； 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列各式： ①； ②； ③； ④； 其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了通过数轴确定实数的正负及绝对值的大小，判断代数式的结果和正负，由数轴得，，且，然后根据有理数的运算法则及绝对值的化简法则，逐项进行判断即可，解题的关键是掌握数形结合的思想． 【规范解答】解：由数轴得，，且， ，故①错误，不符合题意； ，， ，故②错误，不符合题意； ，故③正确，符合题意； ，， ，故④正确，符合题意； 故选：B． 题型七 有理数除法的应用 【典例精讲】某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数（人）与每月的利润（元）的变化关系如下表所示． （人） … （元） … (1)观察表中数据可知，每月乘客量至少达到 人时，该公交车才不会亏损； (2)当每月乘车人数为人时，每月利润为多少元？（注：每位乘客的公交票价是固定不变的，利润收入支出） 【答案】(1) (2)元 【思路引导】（1）根据值为负时表示亏损，值为时不亏不盈，观察数据填写即可； （2）根据表格数据推理即可. 【规范解答】（1）解：观察表中数据可知:每月乘客量至少达到人时，该公交车才不会亏损． 故答案为：； （2）解：由上表可知，每月的乘车人数每增加人，每月的利润可增加元， ∴每月乘车人数为人时，每月的利润是（元）． 答：每月利润为元． 【变式训练】（25-26七年级上·天津滨海新区·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数且，满足与互为相反数． (1)____________，___________，____________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____________表示的点重合； (3)点开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 【答案】(1)，，4 (2)3 (3)不变，其值为，理由见解析 【思路引导】本题考查了绝对值非负性，列代数式，整式加减的应用，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据是最大的负整数，可求出，根据非负数的意义与相反数的意义，结合，满足与互为相反数，可求得，； （2）先求出的中点，再根据中点重合，求出点与重合的点表示的数； （3）先求出运动后、、表示的数，再求出，，然后求出再下结论． 【规范解答】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵，满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，，4． （2）∵将数轴折叠，使得点与点重合，点表示数，点表示数，点表示数，，，， ， ∴的中点表示的数为1， ∵点与它重合的点的连线的线段的中点表示的数也是1， ∴点与数3表示的点重合， 故答案为：3； （3）由题意可得：运动后表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴， ， ∴， ∴的值随着时间的变化而不变，其值为． 题型八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【思路引导】（1）先计算乘法，再计算除法即可得出结果； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （4）将带分数化为假分数，再计算乘法即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）对于，不改变数字和运算符号的顺序，也不添加任何运算符号，对至少两个数添加括号后并计算出结果，称为一种“加括号操作”．例如：是一种“加括号操作”，是其运算结果：是一种“加括号操作”，是其运算结果，给出下列说法：其中正确的是__________．（填序号） ①至少存在一种“加括号操作”的运算结果是；②不存在任何“加括号操作”的运算结果是③所有“加括号操作”共有7种不同的运算结果． 【答案】①② 【思路引导】将的“加括号操作”的所有结果计算出来即可得解．本题主要考查了有理数混合运算，将的“加括号操作”的所有结果列出来，并进行正确的计算是解题的关键． 【规范解答】解：对于，进行“加括号操作”的所有结果如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 观察以上结果发现：至少存在一种“加括号操作”的运算结果是，故①正确； 不存在任何“加括号操作”的运算结果是，故②正确； 所有“加括号操作”共有9种不同的运算结果，即，，，，，，，，，故③错误． 综上，①②都是正确的， 故答案为：①②． 题型九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【规范解答】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 题型十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】1103 【思路引导】观察原式中各数字的关系，对各项变形后，利用乘法分配律进行简便计算． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南·期末）观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 【答案】 【思路引导】本题考查了裂项相消法求和，关键是仿照题干将每一项进行拆分；通过观察分母为连续奇数的乘积，将每一项拆分为差的形式，利用裂项相消法求和． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 【答案】(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【规范解答】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 【变式训练】（25-26六年级上·上海普陀·期末）综合与实践： 周末小普同学和6名好友租了两辆专车从地一起去地看演出，途中一辆专车在离地还有18千米处发生故障，只得由另一辆专车将大家送达地，但此时距离地的演出开始还剩下50分钟，这时司机提出了如下两种方案： 方案一 先送4人，其余3人原地不动等待专车返回接送 相关数据： 专车行驶的平均速度：60千米/时． 乘客行走的平均速度：5千米/时． 每辆专车限乘5人（含司机）． 方案二 先送4人，其余3人先步行，途中与专车相遇后上车前行 (1)如果按方案一实施，那么他们能否赶上地的演出？并说明理由； (2)通过计算说明方案二能否保证他们在规定的时间到达地的演出现场； (3)小普同学认为方案一和方案二都不是最节省时间的方案，请你帮他设计一个方案并求出从故障地到达地演出现场的最短时间． 【答案】(1)不能赶上，理由见解析 (2)能 (3)设计方案见解析，最短时间为分钟 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用以及优化方案设计， （1）方案一中，专车需要行驶的总路程为54公里，所需时间54分钟，大于50分钟，因此不能赶上； （2）方案二中，通过建立方程求解步行距离，计算总时间约为48.46分钟，小于50分钟，因此能赶上； （3）通过优化设计，让专车先送4人到离B地一定距离的点，然后返回接3人，使得4人和3人同时到达B地，计算得最短时间为分钟； 【规范解答】（1）解：不能赶上， 专车行驶总路程为（千米） 所需时间为（小时）（分钟） ∵， ∴不能赶上； （2）解：设其余3人步行了x千米，由题意得： ， 解得：， 总时间分钟数为， 代入，得（分钟）， ， ∴能保证他们在规定的时间到达地的演出现场； （3）解：设专车先送4人到离故障点s千米的点P（），此时4人下车步行至B地，专车返回接3人， 专车送4人到P点时间为小时，4人步行至B地时间：小时， 4人到达B地时间：小时， 专车返回时，3人已步行距离：千米， 专车与3人相对距离：千米， 相对速度：千米/时， 相遇时间：小时， 相遇点离故障点距离：千米， 专车从相遇点至B地时间：小时， 3人到达B地时间：小时， 令， 解得：， 代入得最短时间：小时分钟， ∴最短时间为分钟． 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ； ； ； ，其中正确的是______．（填序号） 【答案】 【思路引导】先根据、在数轴上的位置确定出、的符号，以及、的大小，再进行解答即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； ∴正确的是． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆南川·期中）如图，点在数轴上表示的数分别为，则下列结论中正确的个数有（   ） ①；②；③；④； ⑤若P是数轴上任一点，表示的数是，且的最小值为17，则 A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了数轴的特征和应用以及绝对值的含义和求法，有理数的加法和乘法，解题的关键是掌握相关的知识的灵活运用．根据数轴得：，故可判断②，再根据有理数的乘法即可判断①，根据有理数的加法即可判断③，根据绝对值的性质即可判断④，根据绝对值的几何意义即可判断⑤． 【规范解答】解：根据数轴得：，故②正确； ， ，故①正确； ②， ， ，故③正确； ，， ， ，故④不正确； 当时，的值最小，即， ，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共4个， 故选：． 题型十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·广东汕头·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” 操作一： （1）左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合； 操作二： （2）左右折叠纸面，使表示的点与5表示的点重合，回答以下问题： ①对折中心点所表示的数为______，对折后6表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上，两点之间距离为12（在的左侧），且，两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】（1）7；（2）①，；②、 【思路引导】本题考查数轴上的折叠问题，解题的关键是确定对折中心点： （1）根据左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合，得到对折中心点为原点，即可得出结果； （2）①根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，求出对折中心点，进而求出对折后与6表示的点重合的点表示的数即可；②根据对折中心点到两个重合的点之间的距离相等，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）∵左右折叠纸面，使2表示的点与表示的点重合， ∴对折中心点为原点， ∴表示的点与7表示的点重合； （2）①由题意，对折中心点为， ； 故对折后6表示的点与数表示的点重合； ②解：由题意可得：、两点距离对折中心点的距离为， 因为对折中心点所表示的数为2的点，，； 所以、两点表示的数分别为：、． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）【问题背景】我们知道，数轴上两点之间的距离可以用右侧的点所表示的数减去左侧的点所表示的数来计算．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，若将数轴折叠，使点与点重合，解答下列问题： 【问题再现】（）求折叠后与表示数重合的点所表示的数； 【问题推广】（）若折叠后，数轴上的两点也重合，且折叠前两点之间的距离为个单位长度（点在点的左侧），求两点所表示的数； 【拓展提升】（）在（）的条件下，将折叠后的数轴展开，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向正半轴运动；同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向负半轴运动．设当运动时间为秒时，两点相距个单位长度，求的值． 【答案】（）；（）点表示的数为，点表示的数为；（）或 【思路引导】（）利用中点坐标公式求出折叠点表示的数，设折叠后与表示数重合的点所表示的数为，根据折叠点列出方程解答即可求解； （）由题意可得点到折叠点的距离为个单位长度，再根据数轴上两点间距离解答即可求解； （）由题意可得点运动秒时表示的数为，点运动秒时表示的数为，再分点在点左侧和右侧两种情况，根据数轴上两点间距离公式列出方程解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】解：（）∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴折叠点表示的数为， 设折叠后与表示数重合的点所表示的数为， 则， 解得， ∴折叠后与表示数重合的点所表示的数为； （）∵折叠前两点之间的距离为个单位长度， ∴点到折叠点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为，点表示的数为； （）由题意可得，点运动秒时表示的数为，点运动秒时表示的数为， 当点在点左侧时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，当两点相距个单位长度时，的值为或． 【真题演练1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点分别表示数，且，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴、有理数的加法、减法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 先根据题意可得，，则，再根据有理数的加法、减法与乘法、绝对值的性质逐项判断，即可求解． 【规范解答】解：根据题意可得，， ， A、，故选项A为正数，符合题目要求； B、，故选项B为负数，不符合题目要求； C、，故选项C为负数，不符合题目要求； D、，故选项D为负数，不符合题目要求． 故选：A． 【真题演练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）的倒数是（    ） A．2022 B． C． D． 【答案】B 【规范解答】解：的倒数是． 【真题演练3】（2025·山东东营·中考真题）的倒数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数． 根据倒数的定义计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴的倒数是． 故选：A． 【真题演练4】（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值． 【规范解答】解：， ， 故答案为：． 【真题演练5】（2024·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴的性质可得，，据此逐项判断即可得． 【规范解答】解：由数轴可知，，． A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、， ，则此项正确，符合题意； D、， ，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【基础夯实】 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据数轴确定、的取值范围，再结合有理数的加减运算、绝对值的性质，逐一分析选项的正误． 【规范解答】解：由数轴可知：，，且． 选项A： ， ，故A项错误． 选项B： ， ， ，故B项错误． 选项C： ，且 ， ， 故C项正确． 选项D： ， ， 又 ， ，故D项错误． 2．（25-26九年级上·重庆·期中）2026的倒数是（　　） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【规范解答】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 3．（25-26七年级下·北京·期中）实数对应的位置如图所示，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴得出a和b的范围，进而得出，，根据有理数运算法则逐一判断即可． 【规范解答】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴，，，， 故A、B、D错误，C正确． 4．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 【答案】38 【规范解答】解：根据新运算的定义，， ． 5．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】 17 【思路引导】本题根据有理数混合运算顺序计算，先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法即可得到结果． 【规范解答】解： ． 6．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】236898 【规范解答】解：原式． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)7 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【思路引导】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【规范解答】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【思路引导】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【规范解答】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 10．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1)达到了，见解析 (2)元 【思路引导】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【规范解答】（1）解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 【培优拔高】 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项中：①；②：③；④；⑤．正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【思路引导】先根据数轴确定a，b，c，d的大致范围，再分别对①至⑤的结论进行判断，统计正确结论的个数． 【规范解答】解：由数轴可知：，，，， ①由可知①错误； ② 正数的绝对值大于负数的绝对值，故，②正确； ③ 为负，为正，异号相乘为负，故，③错误； ④ ，，故，④错误； ⑤ 在数轴上b比a偏右，则，故，⑤正确． 综上，正确的结论有②⑤，共2个．． 2．下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【规范解答】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 3．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 4．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【思路引导】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【规范解答】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 5．若规定，则________． 【答案】 / 【思路引导】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【规范解答】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 6．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【规范解答】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【规范解答】解： ． 8．某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米 (2)这次养护小组的汽车共耗油升 【思路引导】（1）利用正负意义的量及有理数加减混合运算法则即可求解； （2）先求出高速公路养护小组当天的行驶总路程，再乘以汽车行驶每千米耗油量，即可求解． 【规范解答】（1）解： (千米)， 答：养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米． （2）解： （千米）， ∴（升）． 答：这次养护小组的汽车共耗油升． 9．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：）：． (1)出车地记为0，把最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ (2)若汽车耗油量为，这天上午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)西面处 (2) 【思路引导】（1）将已知中给出的出租车的行程相加，根据结果的正负以及已知中正负数的意义即可判断出小王在出发点的哪个方向，距离有多远； （2）不论是向西（负数）还是向东（正数）都是出租车的行程，因此把它们行程的绝对值相加求出出租车行驶的路程，再用路程乘以每千米的耗油量即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 答：把最后一名老师送到目的地时，小王在出车地点的西面处． （2）解：， ． 答：这天上午汽车共耗油． 10．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【思路引导】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【规范解答】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $