27.3 实际问题与反比例函数 《知识解读·题型专练》 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“利用反比例函数解决实际问题”核心知识点，先明确实际问题中自变量取值范围，列举矩形面积、压强等常见反比例关系，再通过利润、工程、行程等六大题型构建从概念到应用的学习支架。 该资料以民族服饰销售、物理杠杆等真实情境为载体，通过例题变式培养抽象能力（数学眼光）和模型意识（数学语言），题型分层设计助力推理能力提升（数学思维），课中辅助教学，课后检测巩固，有效查漏补缺。

27.3 实际问题与反比例函数（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 利润问题】 1 【题型2 工程问题】 3 【题型3 行程问题】 5 【题型4 物理问题】 6 【题型5 表格问题】 8 【题型6 分段函数问题】 11 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 利润问题】 【例1】广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【变式1-1】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此种贺卡的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：张）之间有如下关系： 销售单价x（元） 3 4 5 6 日销售量y（张） 20 15 12 10 (1)根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对的对应点； (2)确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； (3)设此种贺卡的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此种贺卡的售价最高不超过10元/张，请你求出销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？并求出最大日销售利润． 【变式1-2】某商场销售一批进价为120元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发生变化（要求售价高于进价）部分销售数据如下： 每双的售价元 200 250 300 每天的销量双 30 24 20 (1)求y关于x的函数解析式． (2)若要求每天的销量不低于15双，则x的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400元，则售价应定为每双多少元？ 【变式1-3】某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系． （元） （个） (1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ 【题型2 工程问题】 【例2】一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【变式2-1】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【变式2-2】在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【变式2-3】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2) 由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【题型3 行程问题】 【例3】某游泳池每次换水前后的体积基本保持不变，当该游泳池以每小时的速度放水，经能将池内的水放完．设放水的速度为，将池内的水放完需．已知该游泳池每小时的最大放水速度为． (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)若该游泳池将放水速度控制在每小时至（含和)，求放水时间y的范围． 【变式3-1】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 【变式3-2】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒． (1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ (2)求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？ 【题型4 物理问题】 【例4】在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与滑动变阻器的电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式： (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【变式4-1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【变式4-2】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【变式4-3】根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【题型5 表格问题】 【例5】如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） (2)当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【变式5-1】数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【变式5-2】水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：时）与出水速度（单位：吨/时）之间的关系如下表： 出水速度（吨/时） 10 8 5 4 … 时间（时） 1 1.25 2 2.5 … 请结合表格解答下列问题： (1)池子中原有水 吨； (2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？ (3)用式子表示与之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时． 【变式5-3】小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； (3)冰箱的一个运行周期时长为______分钟； (4)当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 【题型6 分段函数问题】 【例6】如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【变式6-1】为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【变式6-2】研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【变式6-3】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积（单位：）是反比例关系，如图所示．当时，等于（   ）． A．-5 B．2 C．5 D．10 4．有一压力传感器，其压力（单位：）与电阻（单位：）之间的函数关系式为，当压力时，电阻的值为（    ） A． B． C． D． 5．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 7．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压恒为U，电功率为，P关于R的函数图象如图②所示．两次调节电阻，发现当时，，则当时，P的值为______W． 8．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 9．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 10．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3 实际问题与反比例函数（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 利润问题】 1 【题型2 工程问题】 5 【题型3 行程问题】 9 【题型4 物理问题】 11 【题型5 表格问题】 15 【题型6 分段函数问题】 22 知识点 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为．. 【题型1 利润问题】 【例1】广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进入3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 【变式1-1】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此种贺卡的销售单价x（单位：元）与日销售量y（单位：张）之间有如下关系： 销售单价x（元） 3 4 5 6 日销售量y（张） 20 15 12 10 (1)根据表中数据在平面直角坐标系中描出实数对的对应点； (2)确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； (3)设此种贺卡的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式．若物价局规定此种贺卡的售价最高不超过10元/张，请你求出销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？并求出最大日销售利润． 【答案】(1)见解析 (2)y与x之间的函数关系式为．画出图象见解析 (3)销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 48元 【分析】（1）建立坐标系直接描点即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过10元/张，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数），把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为， 画出的图象如上图所示； （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 48元． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． 【变式1-2】某商场销售一批进价为120元/双的运动鞋．当每双运动鞋的售价进行调整时，每天的销量随之发生变化（要求售价高于进价）部分销售数据如下： 每双的售价元 200 250 300 每天的销量双 30 24 20 (1)求y关于x的函数解析式． (2)若要求每天的销量不低于15双，则x的取值范围为 ． (3)若商场希望每天的销售利润为2400元，则售价应定为每双多少元？ 【答案】(1) (2) (3)200元 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）由表中数据可得，与x成反比例函数关系，且，即可得到y关于x的函数解析式； （2）根据“销量不低于15双”列出不等式求解即可； （3）根据“每天的销售利润为2400元”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：由表中数据可得， 与x成反比例函数关系，且 关于x的函数解析式为； （2）解：∵每天的销量不低于15双， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：售价应定为每双200元． 【变式1-3】某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系． （元） （个） (1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解题的关键是根据题意列出等量关系． （1）要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润（销售单价进价）日销售数量，确定与的函数关系式，然后根据题目的“售价最高不超过元/张”，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将代入得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2） ， 又 ， 当，最大． 【题型2 工程问题】 【例2】一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 【变式2-1】市政府计划建设一项绿化工程，工程需要运送的土石方总量为，某运输公司承担了运送土石方的任务． (1)求运输公司平均运送速度（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式； (2)若这个运输公司每天可运送土石方，该公司完成全部运输任务需要多长时间？ 【答案】(1) (2)该公司完成全部运输任务需要9天 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据运送的土石总量等于平均每天运送的土石量乘以运送天数列式求解即可； （2）根据（1）所求，求出时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：在中，当时，则， 解得， 答：该公司完成全部运输任务需要9天． 【变式2-2】在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分．    (1)请根据题意，求关于的函数解析式； (2)若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】(1) (2)天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 【详解】（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 【变式2-3】被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务．    (1)设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ (2)由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】(1)①；②50天 (2)7500 m 【分析】（1）①根据题意可知，运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运送任务所需的时间为x（单位：天）之间的函数关系即可函数关系；②令求得x即可； （2）该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米，再根据“工期比原计划减少了10天”列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“运送土方总量=平均的运送速度×完成运送任务所需的时间”可得： ，即； ②令时，则（天）． 答：该公司完成全部运输任务需要50天． （2）解：该公司原计划每天运送土石方x立方米，则实际每天运送立方米， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 检验：当时， 所以，是原分式方程的解． 答：该公司原计划每天运送土石方为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，根据题意列出反比例函数解析式和分式方程是关键． 【题型3 行程问题】 【例3】某游泳池每次换水前后的体积基本保持不变，当该游泳池以每小时的速度放水，经能将池内的水放完．设放水的速度为，将池内的水放完需．已知该游泳池每小时的最大放水速度为． (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)若该游泳池将放水速度控制在每小时至（含和)，求放水时间y的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）根据“游泳池以每小时的速度放水，经能将池内的水放完”求出游泳池的总体积，再根据放水的速度×时间=游泳池的总体积得到反比例函数解析式，根据题意可知自变量x的取值范围； （2）分别求出时和当时y的值，取中间值即可． 【详解】（1）解：游泳池的总体积为， ∴； ∵该游泳池每小时的最大放水速度为，放水速度需大于0， ∴自变量的取值范围是； 即； （2）解：当时，， 当时，， ∴放水时间的范围是． 【变式3-1】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求v与M之间的关系式； (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 【答案】(1)v与M之间的函数关系式为 (2)当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且），待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）． 将，代入， 得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； （2）当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 【变式3-2】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒． (1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？ (2)求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？ 【答案】(1)3米/秒 (2)v=；6米/秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及反比例函数的应用； （1）依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可； （2）依据题意，求出从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意，设小勇第一次训练的速度是米秒， 则第二次训练的速度是米秒， ． 解得：， 答：小勇第一次训练的速度是米秒． （2）从滑雪道顶端匀速滑到终点的路程为：米， 小勇从滑雪道顶端匀速滑到终点的平均速度为米秒，所用时间为秒， ． 当要使所用时间不超过秒时，即， ． 要使所用时间不超过秒，则速度应不低于米秒． 【题型4 物理问题】 【例4】在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与滑动变阻器的电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式： (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)列表如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 0.8 0.6 0.48 0.4 0.3 0.24 0.2 … 函数图象如下： (3)滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内 【分析】（）先根据反比例函数的定义，用待定系数法求出与的函数解析式； （）将表格中的值代入解析式，求出对应的值，完成表格后，连线画出函数图象； （）根据电流限制条件列出不等式，结合反比例函数的增减性，求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵， ∴当时，， 解得 ∵当电流超过时，小灯泡会损坏， ∴由图象可得，滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 【变式4-1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题： (1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ； (2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ； (3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为 (2) (3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案； （2）把代入反比例函数的解析式中即可求解； （3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得， ∴； （2）解：∵，， 得； （3）解：由题意可知，，即，解得， 又， ∴， 答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为． 【变式4-2】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”可直接进行求解； （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：， ∴当时，则， 答：撬动石头至少需要的力． 【变式4-3】根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 【答案】(1) (2)此时的物距为 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得． 答：此时的物距为． 【题型5 表格问题】 【例5】如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离．记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格． 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)观察表格，与之间的函数关系式为______．（不必写出自变量的取值范围） (2)当托盘中砝码的质量为时，求托盘与点的距离． (3)当托盘向左移动（不能移动到点）时，要使得仪器左右平衡，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？请说明理由． 【答案】(1) (2)当托盘中砝码的质量为时，托盘与点的距离是 (3) 应往托盘中添加砝码．理由如下： ∵， ∴该函数图像在第一象限内，的值随值的增大而减小． ∵当托盘向左移动（不能移动到点）时，逐渐减小， ∴逐渐增大， ∴应往托盘中添加砝码． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察表格可得：的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把代入解析式求解，可得答案； （3）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小． 【详解】（1）解：根据表格可得：，即， ∴与的函数关系式为：； （2）解：把代入，得， 解得． 答：当托盘中砝码的质量为时，托盘与点的距离是． （3）略 【变式5-1】数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)该小组先探究该函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 … 2 1.5 1.2 0.75 … ①表格中的_____； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而_____；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中，得， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，则 ∴． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 【变式5-2】水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：时）与出水速度（单位：吨/时）之间的关系如下表： 出水速度（吨/时） 10 8 5 4 … 时间（时） 1 1.25 2 2.5 … 请结合表格解答下列问题： (1)池子中原有水 吨； (2)出水口打开后，出水速度是怎样随着时间的变化而变化的？ (3)用式子表示与之间的关系，并求出水口打开多长时间，出水速度是2吨/时． 【答案】(1) (2)出水速度是随着时间的增大而减少； (3)水口打开5小时，出水速度是2吨/时． 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）利用表格数据即可作答； （2）根据表格数据可知，出水速度是随着时间的增大而减少； （3）根据（1）知，令，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴池子中原有水吨； 故答案为：； （2）解：由表格知，出水口打开后，出水速度越大，所用时间越短， ∴出水速度是随着时间的增大而减少； （3）解：由（1）知，， ∴， 令，则， ∴水口打开5小时，出水速度是2吨/时． 【变式5-3】小强发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行． 他想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小强记录了一个运行周期内部分温度及对应时间的数据如表所示： 时间 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 温度 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想、验证可得： 当时，y与x的函数表达式为______； 当时，y与x的函数表达式为______； (3)冰箱的一个运行周期时长为______分钟； (4)当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，此时冰箱内的温度是______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)； (3)36 (4) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式，再逐一验证即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，经过猜想，当时，y与x的函数为一次函数，当时，y与x的函数为反比例函数， 当时，设y与x的函数表达式为， 把代入函数解析式得： ，解得：， ∴当时，设y与x的函数表达式为； 当时，y与x的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，y与x的函数表达式为； 故答案为：；； （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到时，继续运行120分钟，总共为124分钟， ∵， ∴124分钟冰箱运行3个周期零16分钟， 当时，， ∴冰箱内的温度是， 故答案为：． 【题型6 分段函数问题】 【例6】如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【答案】(1) (2) (3)水温共有次达到 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的实际应用与周期规律探究，熟练运用待定系数法求函数解析式、结合周期计算次数是解答本题的关键． （1）利用一次函数待定系数法，代入图像已知两点坐标、，求解，确定时的一次函数解析式； （2）水温下降阶段为反比例函数变化，先用定点求出反比例函数表达式，再代入，算出对应的自变量数值即为t； （3）先算出单次循环周期时长，再计算到的总时长，通过除法求周期个数与剩余时间，结合周期规律统计水温达到的总次数． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 【变式6-1】为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 【变式6-2】研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式，并求点对应的指标值； (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)，A点对应的指标值为20 (2)能，见解析 【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值； （2）求解上升阶段解析式为，结合注意力指标都不低于36，进一步解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为， 由图知，反比例函数过点， 代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的关系式为， 当时，， 则A点对应的指标值为； （2）解：能．理由： 设上升阶段的表达式为， 将代入得：， 解得， 上升阶段解析式为， 当时，， 解得：， 在下降阶段：，解得， ， 能安排． 【变式6-3】实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，理解题意，结合函数图像获取所需信息是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入，直线的解析式为，进而求出，再设双曲线的解析式为，将点代入，求出反比例函数解析式即可； （2）利用（1）求出的解析式，当时，解得，从晚上到第二天早上时间间隔为小时，由，即可求出答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 由图可知：直线过， 将代入，可得，解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴部分双曲线的函数表达式为； （2）由可得：当时，解得， 从晚上到第二天早上时间间隔为小时， ∵， ∴第二天早上不能驾车去上班． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 2．科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积（单位：）是反比例关系，如图所示．当时，等于（   ）． A．-5 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，先根据题意，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再求函数值即可． 【详解】解：由题意，设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴， 当时，， 即当时，等于． 故选：C． 4．有一压力传感器，其压力（单位：）与电阻（单位：）之间的函数关系式为，当压力时，电阻的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接将已知压力代入函数关系式求解电阻. 本题考查反比例函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 电阻 R 的值为， 故选：A. 5．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V符合，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．容器内气体的质量（质量）是5kg B．当时， C．当容器的体积为时，气体的密度为 D．当时，气体的密度随容器体积的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值， 先求出m的值判断A；再根据反比例函数值随着x的增大而减小解答B，D；然后求出当时的函数值解答C． 【详解】解：∵， ∴容器内气体的质量为， 所以A不正确； 当时，， 所以当时，， 所以B不正确； 当时，， 所以当容器的体积，气体的密度是， 可知C正确； 当时，气体的密度随着容器体积的增大而减小， 则D不正确． 故选：C． 6．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________． 【答案】4 【分析】由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则． 7．图①是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压恒为U，电功率为，P关于R的函数图象如图②所示．两次调节电阻，发现当时，，则当时，P的值为______W． 【答案】5 【详解】解：由得， 将，代入，得 ， 函数解析式为 ， 当时，． 8．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．如图所示，已知小雪的镜片焦距为米时，眼镜度数为500度，若小雪的镜片焦距为米，则此时眼镜的度数为________度． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式，设，将代入计算即可求解． 【详解】解：设， 将代入中，得， 解得：， ， 当，则， 则此时眼镜的度数为度， 故答案为：． 9．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 10．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $