27.3 应用探究：建立反比例函数模型解决实际问题 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦建立反比例函数模型解决实际问题，通过知识链接回顾函数应用，提出真实数据非精确符合函数特征的问题，引导学生思考分析方法，搭建前后知识支架。 资料亮点在于以“观察数据→画散点图→选模型→求解析式→应用”为主线，通过分组画散点图、计算k值平均值、验证误差培养数学眼光和思维，结合矩形周长探究等实例发展模型意识，提升学生数据建模能力，为教师提供清晰教学步骤与实践案例。

应用探究　建立反比例函数模型解决实际问题 1.理解实际问题中“近似函数模型”的意义，掌握用反比例函数拟合实际数据的方法，能归纳建立函数模型解决实际问题的步骤. 2.通过分析实验数据，经历“观察数据→画散点图→选函数模型→求解析式→应用”的过程，提升数据建模能力. 3.体会数学模型在实际问题中的“近似性”，感受数学与物理等学科的联系，培养严谨的数据分析思维. 1.用反比例函数拟合实际数据的方法，建立函数模型的一般步骤.（重点） 2.理解“近似函数模型”与“精确函数”的区别.（难点） 知识链接：前面我们已经学习了函数的相关应用，但一些真实问题的数据往往不能精确符合具体函数的特征，对此我们应该怎么分析呢？ 探究点：建立反比例函数模型解决实际问题 步骤1：观察数据，选模型 学生活动：分组画出教材P78表27.3－1的散点图（给出坐标纸），观察点的分布形状. 引导发现：“这些点看起来像什么曲线？” （学生回答“双曲线的一支”） 因此选择反比例函数模型p＝. 步骤2：求“近似定值k” 计算每组数据的k＝V·p（教材P79表27.3－2），学生分组计算后汇报结果： 组1：V＝20，p＝100→k＝2000； 组2：V＝18，p＝112→k＝2016； …（依次计算6组）. 思考：这些k是完全相等的吗？为什么？ 实验误差导致k近似相等. 求平均值：全班一起计算所有k值的平均值. k＝（2000＋2016＋1968＋2030＋1956＋2010）≈1997. 步骤3：验证模型的“近似性” 学生活动：将原数据代入解析式，计算“预测值”并与实际值对比： 实际V 实际p 模型预测p（） 误差 20 100 99.85 0.15 18 112 110.94 1.06 结论：误差很小，说明这个近似模型能较好地描述实际数据的规律. 追问：实验中V不能为0，为什么？ 体积为0不符合实际，反比例函数中V＞0是实际意义的限制. 归纳总结：建立函数模型的一般步骤： （1）收集数据：获取实际问题中的变量对应数据； （2）分析数据：画散点图，观察数据的变化规律； （3）选择模型：根据散点图特征，选择合适的函数模型； （4）确定解析式：用数据求函数参数（如求k的平均值），得到近似/精确解析式； （5）验证与应用：用模型解释或解决实际问题. （20分）【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图①）. 如图①，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形ABOC.为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … AB＋AC … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形ABOC的面积为　6　； （2）根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标，AB＋AC的和为纵坐标，在图②的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点（AB，AB＋AC），并用平滑的曲线连接； 解：如图②所示. （3）根据以上信息，判断AB＋AC存在最　小　值（填“大”或“小”），此时矩形ABOC的周长C1约为　9.8　（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为C2，则C1　＞　C2（填“＞”“＜”或“＝”）. 建立反比例函数模型解决实际问题 　　　　　　 　　　　　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $