精品解析：陕西西安市庆安高级中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论正确的是（ ） A. 过空间中的三点有且仅有一个平面 B. 空间中垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 垂直于同一个平面的两条直线平行 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 3. 在中，已知，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 5. 如图，用斜二测画法得到的直观图是，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件互斥，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为，母线长为，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，已知，，则异面直线与AB所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为4，方差为2，乙组样本数据，，的平均数为3，则下列说法正确的是（ ） A. B. 乙组样本数据的方差为6 C. 若甲组样本数据的中位数是，则乙组样本数据的中位数也是 D. 两组样本数据的极差一定不同 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 如图，在矩形中，，，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，垂足为，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则 B. 若平面，则 C. 若平面平面，且，则点到平面的距离为 D. 若平面平面，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则______. 13. 已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 14. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.如果某人在运动过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，那么力对冰球所做的功为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 某单位有甲、乙、丙三位职工某日中午计划在单位食堂就餐，或在外边餐馆就餐.已知甲、乙、丙在单位食堂就餐的概率分别为，，，且这三人在单位食堂或在外边餐馆就餐相互独立. （1）求这三人中恰有两人在单位食堂就餐的概率； （2）求这三人中至少有一人在外边餐馆就餐的概率. 17. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； （3）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 18. 如图，在中，点在线段BC上，且，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求的值. （2）已知，设. ①求的值； ②过点的直线与边，分别交于点，，设，（，），求的最小值. 19. 如图，在多面体中，、、、在同一平面内，，，四边形是边长为的正方形，平面平面. （1）求四棱锥外接球的体积. （2）已知在线段上. ①若为线段的中点，求异面直线与所成角的余弦值； ②若，问边上是否存在点，使得平面？若存在，求出二面角的正切值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列结论正确的是（ ） A. 过空间中的三点有且仅有一个平面 B. 空间中垂直于同一直线的两条直线平行 C. 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 垂直于同一个平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】由平面公理判断A；由空间中两直线的位置关系判断B；举反例判断C；由线面垂直的性质定理判断D. 【详解】对于A，过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，故A错误； 对于B，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面，故B错误； 对于C，当两个平面相交时，一个平面有无数条直线平行于它们的交线，但这两个平面不平行，故C错误； 对于D，因为，得，故D正确； 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 3. 在中，已知，，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】在中，记角的对边为，角的对边为， 由题意得，，， 根据正弦定理，代入可得： . 4. 已知，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，不是纯虚数，故C错误； 对于D，，故D正确. 5. 如图，用斜二测画法得到的直观图是，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由斜二测画法可知：，，又， 由余弦定理可得：， 即， 故 解得 . 6. 已知随机事件互斥，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据互斥事件的概率加法公式可得：， 将，代入上式， 可得：. 7. 已知某圆锥的母线与底面所成的角为，母线长为，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，已知某圆锥的母线与底面所成的角为，母线长为， 可得该圆锥的底面半径为， 则所求的表面积是. 8. 在长方体中，已知，，则异面直线与AB所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得即为异面直线与AB所成角，在Rt中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】因为长方体 所以，所以即为异面直线与AB所成角． 在长方体中，因为平面， 所以，即为直角三角形. ∵，， ∴，. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为4，方差为2，乙组样本数据，，的平均数为3，则下列说法正确的是（ ） A. B. 乙组样本数据的方差为6 C. 若甲组样本数据的中位数是，则乙组样本数据的中位数也是 D. 两组样本数据的极差一定不同 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据样本数据线性变换下平均数、方差、中位数、极差的变化规律，结合题干已知条件逐一判断各选项正误即可. 【详解】选项A：根据平均数线性变换性质，若甲组平均数为，则乙组数据的平均数为， 代入、乙组平均数为3，得，解得，故A正确； 选项B：根据方差线性变换性质，线性变换的方差为， 故乙组方差为，故B错误； 选项C：根据中位数线性变换性质，若甲组中位数为，则乙组中位数为， 代入、，得，与甲组中位数相同，故C正确； 选项D：设甲组数据最大值为、最小值为，故甲组极差； 因乙组数据中最大值为、最小值为， 故乙组极差，故D正确. 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以，为基底，结合数量积运算逐一判断即可. 【详解】因为，为单位向量，且夹角为，所以， 因为，，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C错误； 在上的投影向量为，D正确. 11. 如图，在矩形中，，，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，垂足为，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，则 B. 若平面，则 C. 若平面平面，且，则点到平面的距离为 D. 若平面平面，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出，利用勾股定理可判断A选项；推导出，，结合勾股定理求出的值，可判断B选项；利用面面垂直的性质结合等体积法可判断C选项；利用面面垂直的性质结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，翻折前，因为四边形为矩形，则， 翻折后，有，且， 因为平面，平面，所以， 因为，由勾股定理可得，A对； 对于B选项，因为平面，、平面，所以，， 因为，，由勾股定理可得， 因为，则， 由勾股定理可得， 由勾股定理可得，即，解得，B错； 对于C选项，过点在平面内作，垂足为点， 因为，，且， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 因为平面平面，平面平面，，平面， 故平面， 因为，则， 所以 ， 故， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 在中，，，， 由勾股定理可得， 故， 因为，，则为的中点，所以， 所以， 因为平面，、平面，所以，， 由勾股定理可得， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 故， 设点到平面的距离为，由，即， 即，解得， 因此点到平面的距离为，C对； 对于D选项，过点作交于点，连接，如下图所示： 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，故， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，故， 因为，，，故四边形为矩形，所以， 因为，，则，则，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 由勾股定理可得，即，解得，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数单位的运算化简等式右端，再通过复数除法运算求解. 【详解】，  则. 13. 已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 【答案】60 【解析】 【详解】由圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm， 则圆台的上、下底面的面积分别为，， 而圆台的高为6cm，则圆台的体积为， 又圆台的密度为， 所以该圆台的质量为. 14. 冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.如果某人在运动过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，那么力对冰球所做的功为______. 【答案】3 【解析】 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，所以，因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换化简求解； （2）由余弦定理结合三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 即， 因为，所以，即； 【小问2详解】 由余弦定理可得， 将，代入计算可得， 因为，所以. 16. 某单位有甲、乙、丙三位职工某日中午计划在单位食堂就餐，或在外边餐馆就餐.已知甲、乙、丙在单位食堂就餐的概率分别为，，，且这三人在单位食堂或在外边餐馆就餐相互独立. （1）求这三人中恰有两人在单位食堂就餐的概率； （2）求这三人中至少有一人在外边餐馆就餐的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解； 【小问1详解】 设三人中恰有两人在单位食堂就餐为事件A， 所以 【小问2详解】 设三人中至少有一人在外边餐馆就餐为事件B， 所以. 17. 为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动.现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于90分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）若该校参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数； （2）估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数； （3）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数. 【答案】（1）300 （2）85 （3）6人，3人 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图，求得不低于分的学生所占的频率，进而得到答案. （2）先求得各个区间的频率，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）由（2）得到成绩在和内的频率，计算其频率比，按比例分配，即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得成绩不低于分的学生所占的频率为， 则在参加这次竞赛的3000名学生中，“航天达人”的人数约为人. 【小问2详解】 由频率分布直方图得， 成绩在，，，，五组内的频率分别为 ， ， ， ， . 因为，， 所以参加这次竞赛的学生成绩的分位数一定在内. 设成绩的分位数为，则， 解得 ，即参加这次竞赛的学生成绩的分位数为. 【小问3详解】 由（2）知：成绩在和内的频率分别为，其比例为， 利用分层抽样的方法得， 在内抽取的人数为人， 在内抽取的人数为人， 所以从成绩在，内的学生中抽取的人数分别为人和人. 18. 如图，在中，点在线段BC上，且，是线段上的点，线段与线段交于点. （1）若，求的值. （2）已知，设. ①求的值； ②过点的直线与边，分别交于点，，设，（，），求的最小值. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据向量的减法、向量相等及平面向量的基本定理求解即可. （2）①根据三点共线及平面向量基本定理可得所求值. ②由三点共线及平面向量基本定理得，再用基本不等式可得最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以，，. 【小问2详解】 ①因为，所以. 所以， 因为三点共线，所以. ②由①可得，， 又，，所以. 因为三点共线，所以，即. 所以， 当且仅当且，即，时取等号. 19. 如图，在多面体中，、、、在同一平面内，，，四边形是边长为的正方形，平面平面. （1）求四棱锥外接球的体积. （2）已知在线段上. ①若为线段的中点，求异面直线与所成角的余弦值； ②若，问边上是否存在点，使得平面？若存在，求出二面角的正切值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在，且二面角的正切值为. 【解析】 【分析】（1）推导出平面，平面，推导出，将四棱锥补成正方体，结合正方体的几何性质求出外接球半径，再结合球体体积公式求解即可； （2）①延长至点，使得为的中点，连接、，推导出，则异面直线与所成角为或其补角，求出各边边长，结合余弦定理求解即可； ②在平面内，过点作交于点，利用线面平行的判定定理可证得平面，过点作交于点，过点在平面内作，垂足为点，连接，利用二面角的定义可知二面角的平面角为，求出、的长，即可得解. 【小问1详解】 因为四边形是边长为的正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为平面，所以，则， 又因为，，所以，故， 将四棱锥补成正方体，如下图所示： 所以四棱锥的外接球的直径为，解得， 故四棱锥外接球的体积为. 【小问2详解】 ①延长至点，使得为的中点，连接、， 因为为的中点，为的中点，所以， 所以， 又因为，即，故四边形为平行四边形， 则，且， 故异面直线与所成角为或其补角， 因为，且，， 由勾股定理可得， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， 由余弦定理可得， 所以异面直线异面直线与所成角的余弦值为. ②在平面内，过点作交于点，接下来证明平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以， 过点作交于点，过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 故二面角的平面角为， 因为，，，所以， 易知为锐角，故， 因为，即， 即，解得， 由余弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以， ，故， 因为，，故， 因为平面，平面，所以， 故为等腰直角三角形，且，故二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $