02简单几何体的表面积与体积专项训练——2026-2027学年高一数学必修二立体几何初步暑假专项作业（解析版+原卷版）

**基本信息** 以展开图转化思想为核心，通过公式推导-教材回归-分层训练构建表面积与体积专项突破体系，强化空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|3类旋转体+4类基本体|展开图转化法、公式对比记忆法|从旋转体到多面体，由侧面积推导至表面积、体积，形成"结构特征-公式推导-综合应用"链条| |回归教材|8道典型题|教材原题迁移法|覆盖正棱锥、组合体等核心模型，强化概念生成与原理应用| |跟踪训练|19题（选择/填空/解答）|组合体分割法、截面问题转化法|从单一公式应用到复杂几何体（如太空舱储液罐、圆台模具），体现从基础到综合的能力进阶|

高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业02 测试范围：简单几何的表面积与体积 知识梳理： 1、（1）圆柱的表面积 圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.圆柱的表面积：. （2）圆锥的表面积： 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 .圆锥的表面积。 （3）圆台的表面积： 圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为； 圆台的表面积 （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 2、（1）柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下 +)h 球 S表=4πR2 V=πR3 （2）棱柱、棱锥、棱台的表面积: 棱柱的表面积：； 棱锥的表面积：； 棱台的表面积： （3）棱台的体积 棱台的高：台体的 之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 棱台的体积： (,分别为上下底面面积，为台体的高) 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.1节例1】如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 【答案】 【分析】因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍. 【详解】因为是正三角形，其边长为，所以.因此，四面体的表面积. 【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 【答案】正六棱台的表面积为 【分析】在正六棱台的侧面上计算出斜高，然后计算侧面积，两个底面面积，相加可得表面积． 【详解】如图，正六棱台中，，，，∴侧面梯形的斜高为∴ ∴.又，， ∴正六棱台的表面积. 即正六棱台的表面积为. 【点睛】本题考查求正棱台的表面积，必须是两个底面面积和侧面积相加，掌握侧面积公式是解题基础． 【人教A版必修二第8.3.1节练习第2题】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. （1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 【答案】（1）64个；（2）8个， 48；（3）24个， 144；（4）24个， 144； （5）8个， 48， 8 【分析】（1）棱长是4的立方体体积64，棱长为1的小正方体体积为1，由此能求出共得到多少个棱长为1的小正方体；（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少；（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个，表面积之和为多少，它们占有多少立方厘米. 【详解】（1）棱长是4的立方体体积为：4×4×4＝64（），棱长为1的小正方体体积为1，∴共得到个小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的顶点处的小正方体，∵立方体共有8个顶点，∴三面涂色的小正方体有8个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为8×6＝48（）； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4的立方体的各边上的正方体，∵立方体共有12条边，每边有2个正方体，∴二面涂色的小正方体有24个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为24×6＝144（）； （4）一面涂色的小正方体在棱长是4的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体，∴一面涂色的小正方体有24个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为24×6＝144（）； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4的立方体中心的正方体，共有64−8−24−24＝8个，每个小正方体的表面积为6，则表面积之和为8×6＝48（），它们 占8×1＝8（）的空间. 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 【答案】 【分析】计算出正方体的体积和8个四面体的体积，相减后得到答案. 【详解】如图所示，由题意知正方体的棱长为0.5m， 设正方体的体积为，则有．其中． ∴这个石凳的体积为． 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得.又圆锥的侧面展开图为半圆，，即.将②式代入①式得，，即.故圆锥的底面直径为. 【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第2题】当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 【答案】 【分析】设球的半径为R时，根据体积公式和表面积公式列方程求解即可. 【详解】设球的半径为R时，其体积和表面积的数值相等.则，.即球的半径时，其体积和表面积的数值相等. 【点睛】本题考查球的体积公式和表面积公式，是基础题. 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【答案】 【分析】依题意八面体的每一个面都是边长为的正三角形，计算可得. 【详解】由题意，每个面都是边长为30cm的正三角形， 即这个八面体的表面积是. 【点睛】本题考查简单几何体的表面积，属于基础题. 【人教A版必修二习题8.3第4题】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 【答案】剩下部分体积为，表面积为. 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于是的中点，所以圆柱的高，且圆柱的底面半径为. 圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以剩下几何体的体积为.剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 即. 跟踪训练： 一、单选题 1、若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出底面圆的半径，再由侧面积公式得解. 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为，则， 所以圆锥的侧面积. 2．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正三棱锥的所有棱长均为，所以每个面均为等边三角形，其面积为， 所以三棱锥的表面积为. 3．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知正三棱柱中，，正三棱柱底面是边长为2的正三角形，高为2， 正三棱柱的底面面积，侧面，正三棱柱的表面积为：． 4．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心，所以根据题意，可知，在直角三角形中，有，所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是，故选：C. 5、太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，， 所以. 6、某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，    则圆台的体积为，解得，所以母线的长是. 7、如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，根据长方体的几何特征，我们可得两两垂直，代入棱锥体积公式及长方体体积公式，求出三棱锥的体积与剩下的几何体体积，进而得到答案． 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，易知长方体的体积为.不妨令. 由长方体，易知两两垂直，所以，于是. 故剩下几何体的体积，因此， .故选：B. 8、已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用球的体积公式、圆锥的体积公式计算对应体积，再求比值即可得到结果. 【详解】根据球的体积公式，可得，已知圆锥底面半径为，母线长， 可得圆锥的高，所以，得， ，即球与圆锥的体积之比为. 二、多选题 9、如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD 【分析】根据给定的几何体，利用圆锥、圆柱的结构特征，结合体积公式、侧面积公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由勾股定理得圆锥母线长，A正确；对于B，圆锥的体积为，圆柱的体积为，因此圆锥与圆柱的体积比为，B正确； 对于C，该几何体的表面积为，C错误；对于D，设圆锥侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得，圆心角，D正确．故选：ABD 10．（多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 【答案】AC 【详解】对于选项A：因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2，所以上底面面积为，所以A正确；对于选项B：正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误；对于选项C：该正三棱台的下底面面积为.所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D：设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误.故选：AC. 11．将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 【答案】ACD 【详解】正方体的体积，截去三棱锥体积，几何体，故A正确；正方体的表面积，截去3个直角三角形面积，新增1个边长为的正三角形面积为，该几何体的表面积为，故B错误；该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为，解得，故C正确；正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面，故D正确． 三、填空题 12、正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 【答案】 【分析】分别求出底面积和侧面积，即可求出表面积. 【详解】因为正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，所以正四棱锥的底面积为，侧面积为，所以该四棱锥的表面积为． 13、已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 【答案】 【分析】根据题意得到圆台上下底面半径及母线长，再利用圆台侧面积公式求解． 【详解】 易知上底面圆的半径，下底面圆的半径，母线长， 所以该圆台的侧面积． 14、如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为_________． 【答案】 【分析】根据棱台的几何性质确定斜高，再根据侧面性质确定面积即可. 【详解】 如图，由题意知该“升”的各侧面为上底、下底长分别为，腰长为的等腰梯形，取中点为，所以其侧面的高为．若将各侧面展开，可拼接成一个一条边长为，另一条边长为的平行四边形， 该平行四边形的高为，所以所求面积为． 四、解答题 15．在四面体中，，求该四面体的表面积。 【答案】 【详解】记，，，的面积分别为， 则，，， 而由余弦定理得，故，而显然，由勾股定理得，于是， 由得，故，故四面体的表面积． 16．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，求剩下几何体的表面积。 【答案】 【详解】由题意可画图如下：底面直径​，故底面半径​​，高，过的中点作平行于底面的截面，该截面半径为，由相似三角形性质，有，所以，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的高，圆锥的母线长；则；； ；故. 17．现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，求该平面在木料上的截面面积。 【答案】 【详解】如图正四面体，，，令， 截面，由，得，即，则，，四面体为正四面体，四面体的表面积为，梯形的面积为， 则三棱台的表面积为：，由，得，解得，所以截面. 18．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 【答案】(1)3；(2)， 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径； （2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可. 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.由题意.即圆柱的底面半径为3. （2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，由正弦定理。，解得，则，又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以； 则三棱柱的表面积为. 19.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题中所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱的组合体，计算即可； （2）结合特殊几何体的结构特征计算阴影部分不规则几何体的表面积即可. 【详解】（1）阴影部分旋转后的几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为，圆柱的底面半径为1，高为．，， 因此阴影部分形成的几何体的体积为． （2）圆锥侧面积，圆柱的侧面积， 底面面积，表面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何初步暑期专项作业02 测试范围：简单几何的表面积与体积 知识梳理： 1、（1）圆柱的表面积 圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.圆柱的表面积：. （2）圆锥的表面积： 圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为 .圆锥的表面积。 （3）圆台的表面积： 圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为； 圆台的表面积 （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 2、（1）柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下 +)h 球 S表=4πR2 V=πR3 （2）棱柱、棱锥、棱台的表面积: 棱柱的表面积：； 棱锥的表面积：； 棱台的表面积： （3）棱台的体积 棱台的高：台体的 之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长 棱台的体积： (,分别为上下底面面积，为台体的高) 回归教材： 【人教A版必修二第8.3.1节例1】如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第1题】若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 【人教A版必修二第8.3.1节练习第2题】如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体. （1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 【人教A版必修二第8.3.1节练习第3题】某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第2题】当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 【人教A版必修二习题8.3第1题】如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ 【人教A版必修二习题8.3第4题】如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 跟踪训练： 一、单选题 1、若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 2．若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱柱中，，则该正三棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 5、太空舱储液罐从早期的金属贮箱逐渐发展成不锈钢复用贮箱，从铝合金到碳纤维复合材料，实现减重30%～50%．太空舱储液罐由一个圆柱和两个半球构成（如图所示），已知圆柱的高是底面外圈半径的8倍，若球外圈半径为4m，内部容积为，则它使用材料的体积（近似为3）为（   ） A． B． C． D． 6、某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 7、如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 8、已知球的半径为R，圆锥的底面半径也为R，母线长为2R，则球与圆锥的体积之比为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9、如图，该几何体由高均为1的圆锥与圆柱组成，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，若该几何体底面半径为1，则（    ） A．圆锥的母线长为 B．圆锥与圆柱的体积比为1：3 C．该几何体的表面积为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 10．正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（   ） A．该正三棱台的上底面积是 B．该正三棱台的侧面面积是 C．该正三棱台的表面积是 D．该正三棱台的高是 11．将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 三、填空题 12、正四棱锥P-ABCD的各条棱长均为2，则该四棱锥的表面积为______________． 13、已知一个圆台的轴截面为梯形，若，则该圆台的侧面积为______． 14、如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为_________． 四、解答题 15．在四面体中，，求该四面体的表面积。 16．圆锥的底面直径和高均是，从圆锥的底面挖去一个圆柱，该圆柱的上底面为过中点作的平行于底面的截面，求剩下几何体的表面积。 17．现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，求该平面在木料上的截面面积。 18．如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 19.如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，，垂足分别是D，H，G，将绕AD所在直线旋转． (1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V； (2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $