8.3 简单几何体的表面积与体积 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦简单几何体表面积与体积，分层设计从基础公式应用到综合问题解决，强化空间观念与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-2题）|单一几何体公式直接应用|如圆台体积计算，强化公式记忆与空间观念| |提升层（3-7题）|复杂几何体与情境结合|如立方体晶胞正八面体体积，体现应用意识| |综合层（8-17题）|多几何体综合与动态问题|如旋转体组合表面积体积，发展推理能力|

§8.3 简单几何体的表面积与体积 1. 已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】分别求出圆台上、下底面的半径和，母线长及高的值，再代入圆台的体积公式计算即可得解. 【详解】设圆台上、下底面的半径分别为和，母线长为，高为. 由圆台上、下底面面积分别是，，可得，解得， 由圆台的侧面积是，可得，解得， 所以圆台的高， 所以圆台的体积为. 2. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.76 【知识点】圆锥表面积的有关计算、球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为，由已知可得，，计算侧面积与球的表面积的比值. 【详解】由题意设圆锥的底面半径与球的半径均为，圆锥的母线长为，高为． 由，得，， ，则． 3. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】根据该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成求解. 【详解】由题意得：该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成， 所以该正八面体配位多面体模型的体积为， 故选：C 4. 如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h，则当冰球完全融化为水时的深度约为（    ） 参考数据：；；；；. A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】依题意得，冰球是正四面体的内切球，如图所示： 设正四面体的高为、棱长为，冰球（内切球）的半径为，则； ,解得； ,解得； ，即融化后水的体积为； 由正四面体的高为、棱长为，，得正四面体的体积； 由水在正四面体容器中形成的形状是一个小的正四面体，设冰球完全融化为水时的深度为, 则，即，； ，. 5. 如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】确定球心，结合正四棱锥性质建立关于球半径的方程，再根据球的表面积公式求解即可. 【详解】连接，则的交点即为球心.设，则， 则八面体的外接球表面积，解得， 故所求体积， 故选：D. 6. 已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】台体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】画出组合体的轴截面，根据圆台的母线、高和两底面圆的半径差的关系，列出方程，求得，即，化简，结合基本不等式，求得的值，再由圆台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，画出组合体的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为， 内切球的球心为，圆台的上、下底面圆的半径为， 可得圆台的母线长为，高为， 在直角中，可得，即， 整理得，即，且， 则圆台的上下底面面积分别为，所以， 因为代入得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以圆台的体积为. 故选：B. 7. 正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】如图所示，设所求为，，是正六棱台的底面的中心， 因为正六边形的每一个内角为，所以， 又因为，所以三角形是等边三角形， 所以，同理，所以， 所以正六棱台的体积为 ， 由，，表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法可得，，所以， 又，所以， 即，所以， 即，解得.故选：C. 8. （多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】圆柱表面积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 9. （多选）已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（   ） A．侧面积为 B．表面积为 C．体积为 D．外接球的表面积为 【答案】AB 【难度】0.55 【知识点】棱锥表面积的有关计算、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据底面边长求出底面积，根据高可求出侧面积，进而可求出表面积，根据外接球的球心在高上，列方程可求出外接球的半径，进而可求其表面积. 【详解】如图，在正六棱锥中，取的中点，底面的中心，连接， 因为底面正六边形的边长为2，则，所以底面积， 又高为3，得体积，故C错误； 则侧面三角形的高，侧面积， 所以表面积，故A，B正确； 因为正六棱锥的外接球的球心在上，设半径为， 则，即，解得， 所以正六棱锥的外接球的表面积，故D错误. 10. 已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】利用分别表示出棱柱的表面积和体积，由已知等量关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：棱柱的体积， 表面积， 因为， 所以，解得. 11. 在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】棱锥中截面的有关计算、棱锥表面积的有关计算 【分析】画出图形，根据正方体的性质求出相关线段的长度，即可求出表面积． 【详解】在正方体中， , 所以， 所以三棱锥的表面积． 12. 在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的体积的有关计算 【分析】将四面体放入长方体中，利用长方体的处接球即为四面体的外接球，求解即可. 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的外接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 故答案为：. 13. 如图，在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知抹去之后的体积是长方体体积的，则的长度为___________，长方体的体对角线长度为___________. 【答案】 1 4 【难度】0.4 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】由题意结合柱体和锥体的体积公式建立关于的方程，求出即可计算求解长方体的体对角线长度. 【详解】，，E为的中点，， 由题长方体体积为 所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为， 所以， 所以长方体的体对角线长度为. 故答案为：1；4 14. 已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、台体体积的有关计算 【分析】由题中条件得到球的半径为5，设出圆台的底面半径及圆台的高，再分圆台的两个底面在球心异侧与同侧两种情况，列方程求解底面圆的半径和圆台的高，代入圆台体积公式求解即可. 【详解】设球的半径为，由题意球的表面积为，所以. 设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为， 当球的球心在圆台外时，设圆台的高为，    则，消去和得， 平方化简得，平方化简得，解得，此时， 此时圆台的体积为； 当球的球心在圆台内时，    则，消去和得， 平方化简得，解得可得与矛盾， 综上，该圆台的体积为. 故答案为： 15. 已知长方体中，平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体. (1)若，，求几何体的表面积； (2)若，几何体外接球的表面积为，其体积为20，求棱的长. 【答案】(1) (2)4 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、柱体体积的有关计算、棱柱表面积的有关计算、余弦定理解三角形 【分析】（1）截去长方体的一个角后得到一个七面体，把各个面得面积计算出即可； （2）设，，，表面积为，可得，体积为20，可得，再联立可解. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， ，，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 所以. （2）设，，，又（R为长方体外接球半径）， 又外接球的表面积为，即，所以， ①； 又， ② . 由①②解得或（舍去）， 棱长为4. 16. 如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】（1）根据条件知设球心为的中点，结合题设条件求出，再利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解； （2）设，根据条件得到，进而求出，再利用圆柱和圆锥的表面积公式，即可求解； （3）设，根据条件得圆柱的侧面积为，利用基本不等式，即可求解. 【详解】（1）如图，设球心为，由题知为的中点，且（其中为外接球的半径）， 又球半径为，，则， 所以，则圆柱的体积为，圆锥的体积为， 则几何体的体积.      （2）因为，不妨设， 由题知，得到， 则，又，则， 所以圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为， 所以几何体的表面积为. （3）设，则， 则圆柱的侧面积为， 当且仅当，即时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大. 17. （1）如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，若将图中阴影部分绕直线AB旋转得到一个几何体．求阴影部分形成的几何体的表面积和体积； （2）如图所示该几何体为上下底面皆为长方形的草垛，并且上下底面平行，上底中心投影恰为下底中心，且，高为3，求该几何体的体积． 【答案】（1），；（2） 【难度】0.48 【知识点】台体体积的有关计算、求旋转体的体积 【分析】（1）利用球的表面积和体积公式结合圆锥的表面积和体积公式计算求解； （2）利用拟柱体体积公式计算求解． 【详解】（1）已知，则, ，设球半径为，则， 由题意可知，旋转后几何体的表面积包含半球面积，上半个圆锥侧面积， 下半个圆锥侧面积，圆的面积和四边形面积， 即， ， ， ， ， ， ， ； 旋转后几何体的体积包含半球体积和圆锥体积构成，即， ， ， ． （2）设上底面积为，下底面积为，已知， ,， 中截面， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §8.3 简单几何体的表面积与体积 1. 已知圆台上、下底面面积分别是，，其侧面积是，则该圆台的体积是（     ） A． B． C． D． 2. 一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为（   ） A．1 B． C． D． 3. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 4. 如图所示，将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上.已知该杯状容器的深度为h，则当冰球完全融化为水时的深度约为（    ） 参考数据：；；；；. A．0.48h B．0.54h C．0.67h D．0.75h 5. 如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ） A．12 B．8 C． D． 6. 已知圆台有半径为1的内切球，设上、下底面的面积分别是，，则取到最小值时，圆台的体积是（   ） A． B． C． D． 7. 正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（    ） A． B． C． D． 8. （多选）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 9. （多选）已知正六棱锥的底面边长为2，高为3，则该正六棱锥的（   ） A．侧面积为 B．表面积为 C．体积为 D．外接球的表面积为 10. 已知一个直三棱柱的底面是直角三角形，两直角边分别为和，斜边为，棱柱的高为，若该棱柱的表面积和体积满足关系，则的值为_______. 11. 在棱长为2的正方体中，三棱锥的表面积为__________． 12. 在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 13. 如图，在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知抹去之后的体积是长方体体积的，则的长度为___________，长方体的体对角线长度为___________. 14. 已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，该圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，球的表面积为，则该圆台的体积为______. 15. 已知长方体中，平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体. (1)若，，求几何体的表面积； (2)若，几何体外接球的表面积为，其体积为20，求棱的长. 16. 如图1，在直角梯形中，，．以直角梯形的下底所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成如图2所示的几何体（由圆锥和圆柱组合而成），且该几何体内接于半径为的球（点和圆柱的上下底面圆周均在球的球面上）．    (1)若，求几何体的体积； (2)若，求几何体的表面积； (3)当为何值时，圆柱的侧面积最大． 17. （1）如图所示，以线段AB为直径的半圆上有一点C，满足：，若将图中阴影部分绕直线AB旋转得到一个几何体．求阴影部分形成的几何体的表面积和体积； （2）如图所示该几何体为上下底面皆为长方形的草垛，并且上下底面平行，上底中心投影恰为下底中心，且，高为3，求该几何体的体积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $