8.3 简单几何体的表面积与体积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练以A级（6题）、B级（3题）、C级（1题）分层设计，覆盖简单几何体表面积与体积全知识点，从公式应用到综合创新，梯度清晰，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|正四棱锥、直棱柱等单一几何体表面积与体积计算|直接应用公式，如直三棱锥体积计算，强化空间观念与运算能力| |B级|棱台体积、球的体积表面积关系、正三棱锥表面积综合计算|需公式变形与关系建立，如球体积表面积数值关系，培养推理意识| |C级|半球挖直三棱柱的体积与表面积综合求解|结合几何体组合情境，多步骤推理计算，发展创新意识与几何直观|

8.3　简单几何体的表面积与体积 A级 必备知识基础练 1.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,高为,则其内切球半径是(　　) A.1 B. C. D. 2.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为(　　) A. B. C. D. 3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(　　) A.48 B.12 C.84 D.36+12 4.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为(　　) A.8π B.16π C.24π D.32π 5.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为(　　) A.40π B.52π C.50π D.π 6.《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有阳马侧棱长为4,且水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形且菱形的一个内角为45°,若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为　　　　.  B级 关键能力提升练 7.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为.　 8.已知一个球的半径为R,其体积的数值V球和表面积的数值S球满足关系V球=2S球,则半径R=　　　　.  9.设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积S. C级 学科素养创新练 10.如图,一个半球挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上),AB=AC,棱柱侧面BB1C1C是一个边长为4的正方形. (1)求挖掉的直三棱柱的体积; (2)求剩余几何体的表面积. 参考答案 1.D　设球的半径为r,连接OP,OA,OB,OC,OD,VP-ABCD=VO-PAB+VO-PAD+VO-PBC+VO-PCD+VO-ABCD, 即×22×r(4S△PBC+4),又斜高为=2,则S△PBC=×2×2=2,故r=.故选D. 2.D　V三棱锥B'-ABC=S△ABC·h=S△ABC·BB'=×3=.故选D. 3.C　正四棱锥的底面积为6×6=36,侧面等腰三角形的高为=4,则侧面积和为4×=48,所以正四棱锥的表面积为36+48=84.故选C. 4.A　由圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,△SAB的面积为8,可得SA2=8,解得SA=4.由SA与圆锥底面所成角为30°,可得圆锥的底面半径为2,圆锥的高为2. 故该圆锥的体积为V=×π××2=8π,故选A. 5.B　作出圆台的轴截面如图所示.上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过D作DE垂直NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3,即圆台的高为3,所以圆台的体积为V=×3×(π×22+π×62+)=52π.故选B. 6.36π　 水平放置的底面对应的斜二测画法的直观图是一个边长为2的菱形,且菱形的一个内角为45°,转换为平面图为边长为2和4的矩形; 由于阳马侧棱长为4,故该几何体如图所示, 设四棱锥体的外接球半径为R, 所以(2R)2=22+42+42, 解得R=3,所以V球=·π·33=36π. 7.28　方法一:如图,由于,而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6, 所以正四棱锥的体积为×(4×4)×6=32, 截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3=4, 所以棱台的体积为32-4=28. 方法二:如图,棱台的体积为×3×(16+4+)=28.故答案为28. 8.6　因为V球=2S球,所以πR3=2×4πR2,解得R=6. 9. 解 如图,SO为正三棱锥S-ABC的高,过O作OE⊥AB,垂足为E,连接SE,设正三棱锥的底面边长为a,SE=h'. ∵S侧=2S底, ∴3×ah'=a2×2. ∴a=h'. ∵SO⊥OE,且OE=a=h'=, ∴由SO2+OE2=SE2,得32+=h'2. ∴h'=2,a=h'=6. ∴S底=a2=×62=9,S侧=2S底=18. ∴S=S侧+S底=18+9=27. 10.解 (1)如图,记球心为O,BC中点为E,连接AO,OE,AE, 由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径,又四边形BB1C1C是一个边长为4的正方形, 因此OE=AE=2,球半径为R=AO==2, 挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16. (2)由(1)知AC==2=2×4=8,S△ABC=×4×2=4,=16,S半球表面积=2π×+π×=24π, 所以剩余几何体的表面积为S=S半球表面积-+2S△ABC=24π-16+2×8+2×4=24π+16-8. 学科网（北京）股份有限公司 $