衔接点07 三角形的“四心”和四点共圆补充（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

衔接点07 三角形的“四心”和四点共圆补充 初中视角 高中展望 1.认识重心、外心、内心，垂心； 2.四点共圆仅简单对角互补判定，极少结合三角形四心综合出题； 4.题型以纯几何证明、边长计算为主. 1.完整掌握内心、外心、重心、垂心全部性质，拓展角度公式、坐标公式、向量结论； 2.四点共圆五大判定定理熟练运用，常与四心、解三角形、向量综合命题； 3.几何题融合平面直角坐标系、平面向量两种代数工具，实现几何代数互化. 衔接引导 1. 完善四心知识体系：补齐垂心核心性质，梳理内心/外心/重心/垂心的定义、角度、线段、坐标四类结论，区分四类交点的本质差异； 2. 建立几何综合思维：打通四心与四点共圆关联，熟练借助四点共圆转移等角、转化线段比例，解决多心复合型几何证明； 3. 搭建几何代数转化思路：学会用坐标、向量两种代数工具处理几何四心问题，突破纯几何辅助线解题局限； 4. 规范几何推导逻辑：做到判定定理书写完整，角度、线段推导步步有据，能灵活切换几何法、代数法两种解题路径。 考点阐释 三角形内心 1.定义 三角形三条内角平分线的交点，是内切圆圆心. 2.性质 （1）距离性质：内心到三角形三边距离相等，距离等于内切圆半径； （2）角度公式：； （3）面积公式：（a,b,c为三边长，可反求内切圆半径）； （4）切线长性质：内切圆切三边形成的切线长相等. 三角形外心 1.定义 三角形三边垂直平分线的交点，是外接圆圆心。 2.性质 （1）距离性质：外心到三角形三个顶点距离相等，距离等于外接圆半径； （2）角度公式：圆心角； （3）位置规律：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部； 三角形的垂心 1.定义 三角形三条高线的交点. 2.性质 （1）位置规律：锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部； （2）四点共圆特征：垂足构成多组四点共圆（如A,F,H,E、B,D,H,F均共圆）； （3）对称性质：垂心关于三边的对称点，落在三角形外接圆上； 三角形的重心 1.定义 三角形三条中线的交点，用表示. 2.性质 （1）分比性质：重心将每条中线按顶点:中点=2:1内分； （2）面积性质：三条中线把三角形分成6个面积完全相等的小三角形，重心和三顶点连线分三角形成3块等面积区域； 四点共圆 1.判定方法 （1）距离判定（定义法）：四点到同一个定点距离相等→四点共圆； （2）对角互补判定：四边形一组对角和为→四点共圆； （3）外角=内对角判定：四边形外角等于它的内对角→四点共圆； （4）定边定角判定：两点在定线段同侧，且对线段张角相等→四点共圆； （5）直角模型：两点在定线段两侧且均对线段张直角→以线段为直径四点共圆. 补充： 三角形外心、重心、垂心三点共线（欧拉线），且满足，多心综合题可优先用这条结论简化推导. 题型一、三角形内心 上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【方法总结】 1.距离类问题：遇求点到边距离、内切圆半径，优先用角平分线距离相等性质+面积法列方程求解； 2.角度类问题：直接套用快速推导角度； 3.线段类问题：用切线长公式转化边长关系，简化线段计算. 如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 如图，满足三角形内心在上的是（    ） A． B． C． D． 下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 如图，点为的内心，，则的度数是______． 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 题型二、三角形外心 如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.坐标求外心：列两边垂直平分线方程，联立方程组求解交点坐标； 2.外接圆半径计算：已知两角一边/两边一角用正弦定理，直角三角形直接取斜边一半为； 3.角度推导：利用圆心角是圆周角2倍的关系转化角度； 4.最值问题：依托外接圆半径，分析顶点到外心的距离定值特征. 易错提醒 钝角三角形的垂直平分线需要向边的外侧延长，不要局限在三角形内部作图. 如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述正确的是（    ） A．是的外心，是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．不是的外心，是的外心 D．不是的外心，不是的外心 如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 题型三、三角形的垂心 如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【方法总结】 1.角度转化：利用共圆模型转移相等角，简化角度证明； 2.线段乘积：用的相交弦性质计算线段长度； 3.外接圆综合：用垂心对称点在外接圆的性质做翻转化简. 易错提醒 钝角三角形高线要向对边延长，不要只画三角形内部的线段. 如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 题型四、三角形的重心 下列与三角形重心有关的结论中，正确的是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三角形的重心可能在三角形的一边或外部 【方法总结】 1.线段计算：直接用2:1比例拆分中线长度； 2.坐标求解：三个顶点坐标直接取算术平均得到重心坐标； 3.面积问题：利用等面积分割特征快速求子区域面积； 易错提醒 比例是到顶点:到中点=2:1，不要颠倒成1:2. 如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 如图，点为的重心，，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 如图，在中，点O是的重心，，则四边形的面积是（     ） A．24 B．18 C．12 D．9 题型五、四点共圆 小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【方法总结】 1.角度转移：共圆后圆周角相等，可跨点转移相等角，完成平行、垂直、相似证明； 2.线段计算：用相交弦定理、割线定理列乘积等式求边长； 3.四心联动：垂心、内心衍生的垂足组优先用四点共圆转化条件； 如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆的半径是__________． 已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时，_________ 已知的三条高，，交于点，称为的垂心，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 已知点O是的外心，作正方形，下列说法：①点O是的外心；②点O是的外心；③点O是的外心；④点O是的外心．其中说法一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 如图，O是的重心．若的面积是12，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 如图，I是的内心，，则_____． 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 在中，点H为垂心． (1)证明正弦定理． (2)证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点07 三角形的“四心”和四点共圆补充 初中视角 高中展望 1.认识重心、外心、内心，垂心； 2.四点共圆仅简单对角互补判定，极少结合三角形四心综合出题； 4.题型以纯几何证明、边长计算为主. 1.完整掌握内心、外心、重心、垂心全部性质，拓展角度公式、坐标公式、向量结论； 2.四点共圆五大判定定理熟练运用，常与四心、解三角形、向量综合命题； 3.几何题融合平面直角坐标系、平面向量两种代数工具，实现几何代数互化. 衔接引导 1. 完善四心知识体系：补齐垂心核心性质，梳理内心/外心/重心/垂心的定义、角度、线段、坐标四类结论，区分四类交点的本质差异； 2. 建立几何综合思维：打通四心与四点共圆关联，熟练借助四点共圆转移等角、转化线段比例，解决多心复合型几何证明； 3. 搭建几何代数转化思路：学会用坐标、向量两种代数工具处理几何四心问题，突破纯几何辅助线解题局限； 4. 规范几何推导逻辑：做到判定定理书写完整，角度、线段推导步步有据，能灵活切换几何法、代数法两种解题路径。 考点阐释 三角形内心 1.定义 三角形三条内角平分线的交点，是内切圆圆心. 2.性质 （1）距离性质：内心到三角形三边距离相等，距离等于内切圆半径； （2）角度公式：； （3）面积公式：（a,b,c为三边长，可反求内切圆半径）； （4）切线长性质：内切圆切三边形成的切线长相等. 三角形外心 1.定义 三角形三边垂直平分线的交点，是外接圆圆心。 2.性质 （1）距离性质：外心到三角形三个顶点距离相等，距离等于外接圆半径； （2）角度公式：圆心角； （3）位置规律：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部； 三角形的垂心 1.定义 三角形三条高线的交点. 2.性质 （1）位置规律：锐角三角形垂心在内部，直角三角形垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在外部； （2）四点共圆特征：垂足构成多组四点共圆（如A,F,H,E、B,D,H,F均共圆）； （3）对称性质：垂心关于三边的对称点，落在三角形外接圆上； 三角形的重心 1.定义 三角形三条中线的交点，用表示. 2.性质 （1）分比性质：重心将每条中线按顶点:中点=2:1内分； （2）面积性质：三条中线把三角形分成6个面积完全相等的小三角形，重心和三顶点连线分三角形成3块等面积区域； 四点共圆 1.判定方法 （1）距离判定（定义法）：四点到同一个定点距离相等→四点共圆； （2）对角互补判定：四边形一组对角和为→四点共圆； （3）外角=内对角判定：四边形外角等于它的内对角→四点共圆； （4）定边定角判定：两点在定线段同侧，且对线段张角相等→四点共圆； （5）直角模型：两点在定线段两侧且均对线段张直角→以线段为直径四点共圆. 补充： 三角形外心、重心、垂心三点共线（欧拉线），且满足，多心综合题可优先用这条结论简化推导. 题型一、三角形内心 上海正在建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，则凉亭是的（　　） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三角形的内心 D．三角形的外心 【答案】C 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路的距离都相等，且角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴应建在三条角平分线的交点处，即三角形的内心． 故选：C． 【方法总结】 1.距离类问题：遇求点到边距离、内切圆半径，优先用角平分线距离相等性质+面积法列方程求解； 2.角度类问题：直接套用快速推导角度； 3.线段类问题：用切线长公式转化边长关系，简化线段计算. 如图，在中，，点I是的内心，连接，则的度数是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形内心的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再由内心的定义得到分别平分，根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点I是的内心， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 如图，满足三角形内心在上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案． 【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中是该三角形的角平分线，符合题意， 故选：A． 下列说法错误的是（    ） A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形有且只有一个内切圆 C．一个圆有且只有一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，能熟记以上知识点是解此题的关键． 根据三角形内切圆、三角形外接圆、圆外切三角形、等边三角形的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的内切圆与三角形的三边都相切，该选项说法正确，不符合题意； B、任何三角形都有唯一的内心（角平分线的交点），因此一个三角形有且只有一个内切圆，该选项说法正确，不符合题意； C、一个圆可以有无数个外切三角形（例如，通过改变与圆相切的直线位置，可以形成不同的三角形），该选项说法错误，符合题意； D、等边三角形的内心与外心重合，因此内切圆与外接圆是同心圆，该选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 题型二、三角形外心 如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． 【方法总结】 1.坐标求外心：列两边垂直平分线方程，联立方程组求解交点坐标； 2.外接圆半径计算：已知两角一边/两边一角用正弦定理，直角三角形直接取斜边一半为； 3.角度推导：利用圆心角是圆周角2倍的关系转化角度； 4.最值问题：依托外接圆半径，分析顶点到外心的距离定值特征. 易错提醒 钝角三角形的垂直平分线需要向边的外侧延长，不要局限在三角形内部作图. 如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述正确的是（    ） A．是的外心，是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．不是的外心，是的外心 D．不是的外心，不是的外心 【答案】B 【分析】根据三角形的外心的性质，可以证明O是的外心，不是的外心． 【详解】解析：如图，连接，，, ∵是的外心， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是的外心， ∵， ∴不是的外心， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外心的性质，正方形的性质等知识，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的外心 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外心，勾股定理， 根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由勾股定理可知：， 所以点是△的外心， 故选：A． 下列四种说法：①一个三角形有且只有一个外心；②一个圆有且只有一个外切三角形；③一个圆有且只有一个内接三角形；④一个三角形的外心与内心可能重合，其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心的定义以及三角形的外接圆与外心的关系．解题的关键是根据外心是三角形三边的垂直平分线的交点、以及三角形的内心是三个内角角平分线的交点． 根据外心、内心、外切三角形、内接三角形的定义及等边三角形的内心、外心重合的性质，判断各说法的正误． 【详解】解：①一个三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，有且只有一个，故正确； ②一个圆的外切三角形有无数个，故错误； ③一个圆的内接三角形有无数个，故错误； ④等边三角形的外心与内心重合，故正确． ∴ 正确的是①④． 故答案为：D． 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 题型三、三角形的垂心 如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的垂心的概念及性质，三角形内心的定义，四点共圆的判定及圆的性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 利用三角形的垂心的性质推出，从而有C、D、H、E四点共圆，可得，同理可得，再利用直角三角形的性质和等量替换推出，可得平分，进一步可得点是三内角平分线的交点，所以点是的内心． 【详解】点是的垂心， ，，， 由，可得， ， C、D、H、E四点共圆， ， 同理可证B、D、H、F四点共圆， ， 又，， ， ， 平分， 同理可证平分，平分， 点是三内角平分线的交点，即点是的内心． 故选：A． 【方法总结】 1.角度转化：利用共圆模型转移相等角，简化角度证明； 2.线段乘积：用的相交弦性质计算线段长度； 3.外接圆综合：用垂心对称点在外接圆的性质做翻转化简. 易错提醒 钝角三角形高线要向对边延长，不要只画三角形内部的线段. 如果一个三角形的面积和周长都被一直线平分，那么该直线必通过这个三角形的（　　） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内心及角平分线的性质定理，熟练掌握三角形的内心是解题的关键；设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，然后可列方程组进行求解 【详解】解：设直线平分的周长和面积，D，E分别在边和上，作的角平分线交于点P，记P到的距离为r，P到的距离为，如图所示： 于是依题意有： ， 解得，即P为的内心， 故选：A． 为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 【答案】B 【分析】根据三角形垂心的反射性质，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，即可解决． 【详解】A、外心O是外接圆的圆心，关于的对称点到的距离等于O到的距离，但到顶点的距离不一定等于半径，故不一定在上，故此选项不正确； B、根据几何定理，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，故此选项正确； C、内心是角平分线交点，其位置由内角决定，对称点不一定满足外接圆上点到顶点的距离相等，故不在上，故此选项不正确； D、重心是中线的交点，与顶点的距离关系不满足外接圆半径，对称点也不在上，故此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的外心、垂心、内心、重心与其外接圆的关系，熟练掌握它们之间的区别和联系是解题的关键． 我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． 如图，在正方形网格中，点，，均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作出边的高； (2)在图2中作出的垂心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用网格的特征，取格点，连接并延长交于点即可； （2）同理（1）作出边的垂线，交边的垂线于点，点即为垂心． 【详解】（1）解：如图所示，为所作； （2）解：如图所示，点为所作； 题型四、三角形的重心 下列与三角形重心有关的结论中，正确的是（   ） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三角形的重心可能在三角形的一边或外部 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的重心的定义．熟练掌握三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，一个三角形的重心只有一个是解题的关键． 【详解】解：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，一个三角形的重心只有一个， 所以A，C，D错误，B正确． 故选B． 【方法总结】 1.线段计算：直接用2:1比例拆分中线长度； 2.坐标求解：三个顶点坐标直接取算术平均得到重心坐标； 3.面积问题：利用等面积分割特征快速求子区域面积； 易错提醒 比例是到顶点:到中点=2:1，不要颠倒成1:2. 如图，点G是的重心，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】延长交于，由重心得，，即可求解． 【详解】解：延长交于， 点G是的重心，， ，， ， ． 如图，在中，点O是三角形的重心，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，重心的概念，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题． 延长到G，使，连接推出是的中位线，利用三角形中位线定理，求得，，再证明，推出，据此即可得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接 点O是三角形的重心， 点D是的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：A． 如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为．则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线，相似三角形的判定和性质．根据重心的特性作出辅助线是解决问题的关键． 根据为重心确定为中位线，再根据为重心确定，最后证明相似利用比例关系求线段的长度即可． 【详解】解：为重心， 直线经过中点， 为重心， 直线经过中点， 直线和直线交于中点处， 连结，并延长，交于一点，连结，如图所示， 是的重心， ， ， P，Q分别是和的重心， ， ∴ ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 如图，点为的重心，，，，则的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的重心，延长交于点，可得是的中线，，又由已知可得，即得到，进而由即可求解，掌握三角形重心的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点为的重心， ∴是的中线，， ∵，，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：． 如图，在中，点O是的重心，，则四边形的面积是（     ） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】C 【分析】根据重心的性质可得，分别为的中点，再根据比例关系得到面积间的关系即可． 【详解】解：点O是的重心， ，分别为的中点， ， ， ， ， ． 题型五、四点共圆 小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 【方法总结】 1.角度转移：共圆后圆周角相等，可跨点转移相等角，完成平行、垂直、相似证明； 2.线段计算：用相交弦定理、割线定理列乘积等式求边长； 3.四心联动：垂心、内心衍生的垂足组优先用四点共圆转化条件； 如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得． 【详解】解：如图， 以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E）， 以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D）， 以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E）， 以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B）， 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C）， 以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C）， 共6组． 故选D． 【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆． 如图在梯形中，，，，，高为，若，，，四点共圆，则这个圆的半径是__________． 【答案】25 【分析】本题主要考查了等腰梯形、四边形外接圆、勾股定理、垂直平分线的性质等知识，取中点，作，交于，易得垂直平分，，且在上，连接，则，结合题意可知，，然后根据勾股定理可解得，进而得出，即可获得答案． 【详解】解：取中点，作，交于，如下图， ∵， ∴等腰梯形， ∴， 又∵，，， ∴垂直平分，， ∴在上， 连接，如图，则， ∴，， 又∵，，， ∴，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 解得（负值舍去）． 即这个圆的半径为． 故答案为：25． 已知A，B，C，D四点共圆，线段过圆心O，长为2，连接，线段，若为圆O内接正三角形的一边时，_________ 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接三角形，圆周角定理，等边三角形的性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接，先证明，得到，由直角三角形的性质求出，再根据垂径定理求出，，利用勾股定理求出，进而求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设圆O内接正三角形为，设交于点F，连接， 则， ∵线段过圆心O，长为2，即是的直径， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 已知的三条高，，交于点，称为的垂心，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】本题根据垂心的定义，结合四点共圆的性质，推导得到点是三个内角角平分线的交点，再根据内心的定义即可得到结论． 【详解】解：如图： ，，是的三条高，是垂心， ， ， ，，，四点共圆， ， 又， ，，，四点共圆， ， ， 、C、E、F四点共圆， ， ，即平分， 同理可得，平分，平分， 是内角角平分线的交点，根据内心定义，是的内心， 故选：A． 已知点O是的外心，作正方形，下列说法：①点O是的外心；②点O是的外心；③点O是的外心；④点O是的外心．其中说法一定正确的是（    ） A．②④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB，根据正方形的性质得出OA=OC＜OD，求出OA=OB=OC=OE≠OD，再逐个判断即可． 【详解】解：连接OB、OD、OA， ∵O为三角形ABC的外心， ∴OA=OC=OB， ∵四边形OCDE为正方形， ∴OE=OC＜OD， ∴OA=OB=OC=OE≠OD， ∴OA=OE=OB，即O是△AEB的外心，故①正确； OA=OC≠OD，即O不是△ADC的外心，故②错误； OB=OC=OE，即O是△BCE的外心，故③正确； OB=OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 如图，在中，，点是的重心，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心性质及直角三角形面积公式，首先根据直角三角形面积公式求出 的面积，再利用三角形重心的性质：重心与三个顶点连线将三角形分成面积相等的三个三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵ 点 是的重心， ∴， ∵， ∴． 如图，O是的重心．若的面积是12，则阴影部分的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ， ， 故选：D． 如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形的内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键．根据内心定义得出即可求出结论． 【详解】解：∵点为的内心， ， ， ， 故答案为：． 如图，I是的内心，，则_____． 【答案】/115度 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点I是的内心， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两个部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“”为一个单位长度，建立平面直角坐标系． （1）矩形的重心的坐标为______，矩形的重心的坐标为_____； （2）此“”形平面组合图形的重心坐标为_____． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了图形与坐标，中点坐标公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，，可得，，，，，，然后通过中点公式即可求解； （）先求出，，然后代入，即可求解． 【详解】解：（）∵，，，， ∴，，，，，， ∵，分别是矩形，矩形重心， ∴，，即，， 故答案为：，， （），， 由（）得：，， ∴，，，， ∴，， ∴此“”形平面组合图形的重心坐标为， 故答案为：． 在中，点H为垂心． (1)证明正弦定理． (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理；解直角三角形—三边关系；相似三角形的判定与性质． （1）利用圆周角定理可得，进而证得． （2）利用圆周角定理可得进而证得与相似，通过相似三角形的性质可得，由锐角三角函数可得，进而证得． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点M，连接， ， ， ， ， 同理可得． （2）证明：如图， 点H为垂心 ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得， ， 同理可得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $