衔接点04 二次函数的补充（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

衔接点04 二次函数的补充 初中视角 高中展望 初中借助函数图象，仅初步掌握二次函数基础图象与浅层性质，学习无参数、无区间限制的基础题型，根式仅学习基础单项、两项共轭化简，不涉及含参分类、区间最值、函数与方程不等式综合内容。 高中系统搭建二次函数知识体系，串联一元二次方程、一元二次不等式实现数形结合综合应用，新增定轴动区间、定区间动轴含参讨论，拓展多层复合根式、双重根式配方、整体代换求值等高阶代数变形，用集合规范定义定义域、值域，建立完整函数解题逻辑。 衔接引导 初中阶段补齐根式化简短板，熟练共轭根式、双重根式变形，强化整体代换求值；高中阶段建立函数、方程、不等式转化思维，灵活选用三种二次函数解析式，结合、韦达定理处理含参题型，养成先确定定义域再运算的解题规范。 考点阐释 一元二次函数的图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：. (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为，则其解析式. ①顶点坐标推导： 所以，. ②决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的左右平移，且“正右移，负左移”；决定了二次函数图象的上下平移，且“正上移，负下移”. 的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移得到的. (3)两点式：若二次函数的图象与轴的交点为，，则其解析式 . 因为是方程的两根，所以，，即，.所以 这就得到了二次函数的零点式. 2.中的作用 (1)参数：时，开口向上；时，开口向下. 若两抛物线的二次项系数相同，则抛物线的形状、大小相同；起平移作用. (2)参数 ：若同号，则对称轴在轴的左侧；若异号，则对称轴在轴右侧. (3)判别式：决定与轴交点的个数. (4)与轴的交点：当时，在轴正半轴；当时，为原点；当时，在轴负半轴.事实上为抛物线的纵截距. 3.二次函数的图象和性质 解析式 图像 定义域 图象特点 对称轴所在直线方程：； 顶点坐标： 对称轴所在直线方程：； 顶点坐标： 值域 单调性 在上单调递减（随增大而减小）； 在上单调递增（随增大而增大） 在上单调递增（随增大而增大）； 在上单调递减（随增大而减小） 弦长公式 当时，图象与轴有两个交点，，则 含参数的二次函数在闭区间上的最值问题 研究二次函数在闭区间上的最值问题，当含有参数时，解决的关键是要依据对称轴与区间的关系进行数形结合与分类讨论.数形结合与分类讨论是高中数学重要的两大思想方法，要认真领悟，逐步提高解题能力. 知识梳理 1.常见的命题角度 (1)轴定区间求最值. (2)轴动区间定求最值. (3)轴定区间动求最值. 2.解决二次函数图象与性质问题时的注意点 (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者两定一不定，要注意分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，数形结合，事半功倍. (3)最后提炼总结，明确给出所有结果. 3.集合与区间 为方便书写和后续学习，我们经常将实数的取值范围写成集合或区间的形式，如下. 取值范围 集合 区间 所有实数 无解 无 或 或 或 或 4. 二次函数的区间最值结合函数图象的方法总结 当时，如图7-10. 当时， 图号 图1 图2 图3 图4 图5 图像 图号 图6 图7 图8 图9 图10 图像 题型一、二次函数的定义域 写出使得函数的值域为的一个定义域_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出当和2时所对应的值，再根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由得， 即，得， 由得，即或， 则根据二次函数的性质可举例定义域为. 故答案为：. 【方法总结】 整式二次函数定义域为.含根式需满足被开方二次式.含分式需分母二次式.实际问题附加自变量现实约束. 易错点：忽略复合限制条件漏写不等式.解集未规范写成区间或集合形式. 函数的定义域为，值域为，则的值为____________． 【答案】 【详解】由题可得二次函数开口向上故函数的最大值只能在区间端点处取得，当时，则，验证当，定义域为时函数的值域为故成立，当时，则，验证，定义域为时，值域为：故不符合题意，综合得 已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把函数的定义域为转化为对任意实数都成立,然后利用二次函数的性质，对分类讨论，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，要使函数的定义域是, 则对任意实数都成立, 当时显然成立； 当时,需,解得． 综上,的取值范围为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，以及二次函数的性质的应用，其中解答中把函数的定义域转化为对任意实数都成立,然后利用二次函数的性质，对分类讨论求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题． 题型二、求二次函数的值域或最值 函数在区间上的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．1， C．2， D．4， 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质求解可得. 【详解】函数的图像开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 又，所以当时，函数取得最小值. 故选：C 【方法总结】 配成顶点式.全体实数域直接看顶点.闭区间需比对对称轴与区间端点位置. 易错点：区间最值漏比较两端点距对称轴远近.混淆开口方向致最值颠倒. 已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理函数解析式，得到函数对称轴，即可求得函数最大值. 【详解】函数， 二次函数开口向下，且函数对称轴为， ∵， ∴函数的最大值为. 故选：A. 已知二次函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以，且的图象关于直线对称， 所以，且在上是减函数， 故. 故选：A． 函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的定义域，令，再利用二次函数及幂函数的性质，即可求解. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 令，当时，，所以， 则的值域是， 故选：B. 题型三、求二次函数的解析式 已知二次项系数为的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象可得二次函数解析式，代入即可求得结果. 【详解】二次项系数为，由图象可知：， . 故选：C. 【方法总结】 已知三点用一般式.已知顶点用顶点式.已知零点用零点式. 易错点：忽略二次项系数.代入坐标求解方程组易计算出错. 若，且，则______. 【答案】5 【分析】由代入即可求得解析式，再次用代入法即可求解. 【详解】依题得，解得，则， 则. 故答案为：5 一元二次函数的图象经过点，则该函数的表达式为________． 【答案】（或 ） 【分析】根据给定条件，设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】由二次函数的图象经过点，设函数表达式为， 又这个二次函数图象还过点，则，解得， 所以所求函数表达式为. 故答案为： 已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的图象开口方向及与轴的交点和相应一元二次方程的根，可以通过代入根或利用根与系数的关系求待定系数． 【方法一】由题意知二次函数的零点为和3， 所以， 所以． 【方法二】由题意得方程的两根为和3，由根与系数的关系可得 解得所以． 故选：A 题型四、二次函数的图象分析与判断 抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据抛物线求得其顶点坐标判断. 【详解】因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线的顶点在第三象限， 故选：C 【方法总结】 由判开口.对称轴判符号.为纵截距.判断与轴交点个数.赋值判代数式符号. 易错点：对称轴正负判断失误.混淆取值对应的交点情况. 二次函数的部分对应值如表所示： 3 4 0 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数表，结合二次函数性质确定其图象对称轴及开口方向，进而求出不等式的解集. 【详解】在二次函数中，由，得图象的对称轴为直线， 由，得，而，则的图象开口向下， 所以的解集为. 故选：A 对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 【答案】B 【分析】利用二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值逐一分析选项。 【详解】对于A：∵ ，∴抛物线开口向下，选项正确，不符合题意； 对于B：函数图象的对称轴是直线，选项错误，符合题意； 对于C：∵顶点式直接得出顶点为，选项正确，不符合题意； 对于D：∵开口向下，∴当时，y有最大值，选项正确，不符合题意； 故选：B 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 题型五、判断二次函数的单调性和求解单调区间 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 【方法总结】 以对称轴划分区间.左减右增.左增右减.限定定义域取区间交集. 易错点：单调区间端点开闭混用.给定定义域未截取有效区间. 已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数在给定区间内不具有单调性，只需对称轴在给定区间内，列不等式求解即可. 【详解】函数的对称轴为. 因为函数在上不具有单调性，所以，解得. 故选：A. 函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】二次函数是开口向上的抛物线，函数在区间上不单调，说明对称轴落在区间内，因此列出不等式计算即可. 【详解】函数是开口向上的二次函数， 其对称轴为直线： 二次函数在对称轴的一侧单调，若在区间上不单调， 则对称轴需落在区间内，即. 故答案为：. 题型六、与二次函数相关的复合函数问题 函数，则恒成立的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据原函数表示出，化简后解不等式； 【详解】解：由题意得 故 ，解得 故选：B 【方法总结】 换元令.先求内层二次函数取值范围.依据同增异减判复合单调性.根式、对数附加或约束. 易错点：遗漏内层二次不等式定义域限制.颠倒内外层增减关系. 已知函数，则错误的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．方程的解的个数为2 C．在上单调递增 D．的最小值为 【答案】B 【分析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断，令，求出方程的解的个数，判断B，令，，从而判断C，D即可． 【详解】定义域为，显然关于原点对称， 又， 所以是偶函数，关于轴对称，故选项A正确. 令即， 解得：，1，，函数有3个零点，故B错误； 令，，时， 函数，都为递增函数，故在递增，故C正确； 由时，取得最小值，故的最小值是，故D正确． 故选：B． 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，求得函数的定义域，再根据和的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】令， 解得或， 而函数的对称轴为，开口向上， 所以在上递减，在上递增， 由复合函数的单调性得：函数的单调递增区间是， 故选：B 已知函数的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知的两个根为1和5，由韦达定理得出关系，再由即可判断. 【详解】由图可知的两个根为1和5， 则， ，， . 故选：A. 题型七、已知二次函数单调区间求参数值或范围 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数即可求解. 【详解】由题意得：， 又在上是增函数，所以，即. 【方法总结】 写出对称轴.区间整体落在对称轴一侧列不等式求解参数.区分“在区间单调”与“单调区间为该区间”两类约束. 易错点：两类条件约束边界混淆.不等号方向写错. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】函数的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 所以，. 则实数的取值范围是. 题型八、根据二次函数的最值或值域求参数 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得二次函数的对称轴，以及函数的最小值，由，即可得到所求的范围． 【详解】，可得对称轴为， 且且为最小值， 又由， 函数的定义域为，值域为， 可得， 即有的取值范围是， 故选：A． 【方法总结】 分定轴动区间、定区间动轴两类讨论.比对对称轴与区间位置，结合开口方向列最值等式求解参数. 易错点：未分类讨论对称轴位置.端点最值取值判断错误. 已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称性和最值，即可求解. 【详解】，函数的对称轴为， 且， 函数在闭区间上有最大值为3，最小值为， 则. 故选：B 若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 【答案】 【分析】令，即方程有一个根，利用判别式即可求解. 【详解】由题意得：令，即，所以方程有一个根， 所以，解得， 故答案为：. 当时，二次函数的最大值为，则___________． 【答案】 【分析】讨论对称轴与定义域的关系可得答案. 【详解】的图象的对称轴方程为， 当，即时， ， 解得，符合题意； 当，即时， ，解得， 与不符，舍去． 故答案为：． 已知函数，若有最小值-2，则的最大值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据二次函数性质可知函数在上单调递增，根据最小值求出a，再求出最大值. 【详解】由二次函数易得在上单调递增， 所以在的的最小值为，故， 所以，故在的的最大值为， 故选：D. 已知函数，的最值情况为 （   ） A．有最小值 ，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 【答案】B 【分析】分析二次函数在区间上的单调性，可求其最大值和最小值. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为，，故. 故选：B. 若，则有（   ）． A．最小值0，最大值3 B．最小值-1，最大值0 C．最小值-1，最大值1 D．最小值-1，最大值3 【答案】D 【分析】根据二次函数在给定区间上的单调性，计算即可. 【详解】由， 因，函数在上单调递减，在上单调递增， 故时，， 当时，，当时，，故时，. 故选：D. 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性作出判断. 【详解】函数， 当时，；当时，； 又当时，，如图， 可知当时，值域为， 故选：C. 函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性求出函数的最大值. 【详解】因为, 所以函数在上单调递减， 所以当时函数取得最大值，即. 故答案为： 函数在上的值域是___________． 【答案】 【分析】利用二次函数性质即可求解. 【详解】由题函数为二次函数且开口向上，对称轴为， 所以当时，有最小值， 当，单调递减，此时， 当，单调递增，此时， 综上：在上的值域为. 故答案为：. 已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合条件即得. 【详解】由题意可得，或，得或， 故实数的取值范围为 故答案为： 函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间. 【详解】由作图：    可得函数的单调递增区间是， 故答案为： 已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次方程，求出的取值； （2）结合二次函数图象，求出的取值范围； （3）结合二次函数图象，求出的取值范围． 【详解】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或．    （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为．    已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质可求最值； （2）求出对称轴，结合一元二次函数性质可得. 【详解】（1）当时，，其图象开口朝上，且对称轴为， 因， 故在上的最小值为，最大值为； （2）的函数图象开口朝上，对称轴方程为， 因在上单调递增，则，得， 故实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点04 二次函数的补充 初中视角 高中展望 初中借助函数图象，仅初步掌握二次函数基础图象与浅层性质，学习无参数、无区间限制的基础题型，根式仅学习基础单项、两项共轭化简，不涉及含参分类、区间最值、函数与方程不等式综合内容。 高中系统搭建二次函数知识体系，串联一元二次方程、一元二次不等式实现数形结合综合应用，新增定轴动区间、定区间动轴含参讨论，拓展多层复合根式、双重根式配方、整体代换求值等高阶代数变形，用集合规范定义定义域、值域，建立完整函数解题逻辑。 衔接引导 初中阶段补齐根式化简短板，熟练共轭根式、双重根式变形，强化整体代换求值；高中阶段建立函数、方程、不等式转化思维，灵活选用三种二次函数解析式，结合、韦达定理处理含参题型，养成先确定定义域再运算的解题规范。 考点阐释 一元二次函数的图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：. (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为，则其解析式. ①顶点坐标推导： 所以，. ②决定了二次函数图象的开口大小及方向；决定了二次函数图象的左右平移，且“正右移，负左移”；决定了二次函数图象的上下平移，且“正上移，负下移”. 的图象可以看作是将函数的图象作左右平移、上下平移得到的. (3)两点式：若二次函数的图象与轴的交点为，，则其解析式 . 因为是方程的两根，所以，，即，.所以 这就得到了二次函数的零点式. 2.中的作用 (1)参数：时，开口向上；时，开口向下. 若两抛物线的二次项系数相同，则抛物线的形状、大小相同；起平移作用. (2)参数 ：若同号，则对称轴在轴的左侧；若异号，则对称轴在轴右侧. (3)判别式：决定与轴交点的个数. (4)与轴的交点：当时，在轴正半轴；当时，为原点；当时，在轴负半轴.事实上为抛物线的纵截距. 3.二次函数的图象和性质 解析式 图像 定义域 图象特点 对称轴所在直线方程：； 顶点坐标： 对称轴所在直线方程：； 顶点坐标： 值域 单调性 在上单调递减（随增大而减小）； 在上单调递增（随增大而增大） 在上单调递增（随增大而增大）； 在上单调递减（随增大而减小） 弦长公式 当时，图象与轴有两个交点，，则 含参数的二次函数在闭区间上的最值问题 研究二次函数在闭区间上的最值问题，当含有参数时，解决的关键是要依据对称轴与区间的关系进行数形结合与分类讨论.数形结合与分类讨论是高中数学重要的两大思想方法，要认真领悟，逐步提高解题能力. 知识梳理 1.常见的命题角度 (1)轴定区间求最值. (2)轴动区间定求最值. (3)轴定区间动求最值. 2.解决二次函数图象与性质问题时的注意点 (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者两定一不定，要注意分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题，数形结合，事半功倍. (3)最后提炼总结，明确给出所有结果. 3.集合与区间 为方便书写和后续学习，我们经常将实数的取值范围写成集合或区间的形式，如下. 取值范围 集合 区间 所有实数 无解 无 或 或 或 或 4. 二次函数的区间最值结合函数图象的方法总结 当时，如图7-10. 当时， 图号 图1 图2 图3 图4 图5 图像 图号 图6 图7 图8 图9 图10 图像 题型一、二次函数的定义域 写出使得函数的值域为的一个定义域_________． 【方法总结】 整式二次函数定义域为.含根式需满足被开方二次式.含分式需分母二次式.实际问题附加自变量现实约束. 易错点：忽略复合限制条件漏写不等式.解集未规范写成区间或集合形式. 函数的定义域为，值域为，则的值为____________． 已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 已知函数的定义域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二、求二次函数的值域或最值 函数在区间上的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．1， C．2， D．4， 【方法总结】 配成顶点式.全体实数域直接看顶点.闭区间需比对对称轴与区间端点位置. 易错点：区间最值漏比较两端点距对称轴远近.混淆开口方向致最值颠倒. 已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 已知二次函数的最大值为，则（ ） A． B． C． D． 函数的值域是（   ） A． B． C． D． 题型三、求二次函数的解析式 已知二次项系数为的二次函数的图象为如图所示的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 已知三点用一般式.已知顶点用顶点式.已知零点用零点式. 易错点：忽略二次项系数.代入坐标求解方程组易计算出错. 若，且，则______. 一元二次函数的图象经过点，则该函数的表达式为________． 已知二次函数的零点为和3，则（    ） A． B． C．7 D． 题型四、二次函数的图象分析与判断 抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法总结】 由判开口.对称轴判符号.为纵截距.判断与轴交点个数.赋值判代数式符号. 易错点：对称轴正负判断失误.混淆取值对应的交点情况. 二次函数的部分对应值如表所示： 3 4 0 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 对于二次函数，下列说法不正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数图象的顶点坐标为 D．当时，y有最大值 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 题型五、判断二次函数的单调性和求解单调区间 二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 以对称轴划分区间.左减右增.左增右减.限定定义域取区间交集. 易错点：单调区间端点开闭混用.给定定义域未截取有效区间. 已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 已知函数在上不具有单调性，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是_________． 题型六、与二次函数相关的复合函数问题 函数，则恒成立的解集是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 换元令.先求内层二次函数取值范围.依据同增异减判复合单调性.根式、对数附加或约束. 易错点：遗漏内层二次不等式定义域限制.颠倒内外层增减关系. 已知函数，则错误的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．方程的解的个数为2 C．在上单调递增 D．的最小值为 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 已知函数的图象如图，则（    ） A． B． C． D． 题型七、已知二次函数单调区间求参数值或范围 已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 写出对称轴.区间整体落在对称轴一侧列不等式求解参数.区分“在区间单调”与“单调区间为该区间”两类约束. 易错点：两类条件约束边界混淆.不等号方向写错. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________. 题型八、根据二次函数的最值或值域求参数 函数的定义域是，值域是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 分定轴动区间、定区间动轴两类讨论.比对对称轴与区间位置，结合开口方向列最值等式求解参数. 易错点：未分类讨论对称轴位置.端点最值取值判断错误. 已知函数在闭区间上有最大值为3，最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 当时，二次函数的最大值为，则___________． 已知函数，若有最小值-2，则的最大值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 已知函数，的最值情况为 （   ） A．有最小值 ，有最大值 B．有最小值，有最大值 C．有最小值，有最大值 D．有最小值，无最大值 若，则有（   ）． A．最小值0，最大值3 B．最小值-1，最大值0 C．最小值-1，最大值1 D．最小值-1，最大值3 若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 函数的最大值是__________. 函数在上的值域是___________． 已知在[3,15]上具有单调性，则实数的取值范围为___________． 函数的单调递增区间是________. 已知函数， (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 已知二次函数． (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $