2.3.4　两条平行直线间的距离 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“两条平行直线间的距离”，通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从公式应用到综合建模的递进，培养运算能力、推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|距离公式直接应用、平行条件判断、参数计算|选择/填空/解答题结合，如直接套用公式求距离（题1-9），夯实运算能力| |综合运用|动态距离最值、截距与面积综合、倾斜角计算|结合几何性质，如旋转平行直线距离最值（题12），提升数学思维| |拓展提高|方程根与系数关系、多条件点存在性|跨知识融合，如含参数方程距离范围（题15-16），培养创新意识|

2.3.4　两条平行直线间的距离 一、基础巩固 1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 3.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则(　　) A.a=6,d= B.a=-6,d= C.a=-6,d= D.a=6,d= 4.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,4] B.[-16,4] C.[-4,16] D.[4,16] 5.(多选)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为(　　) A.3 B.-17 C.-3 D.17 6.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为(　　) A. B. C.或 D.0或 7.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|等于(　　) A. B. C. D.6 8.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　.  9.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C=　　　　.  10.若直线l1:y=kx+1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2恒过定点　　　　,l1与l2的距离的最大值是　　　　.  11.(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线的方程; (2)求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程. 二、综合运用 12.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的最大值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 13.若某直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则该直线的倾斜角大小为　　　　.  14.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0. (1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离; (2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程. 三、拓展提高 15.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根,且0≤c≤,d为两直线之间的距离,则d的最大值为　　　　.  16.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件: ①P是第一象限的点; ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的; ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 2.3.4　两条平行直线间的距离 一、基础巩固 1.已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1,l2之间的距离为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　d===. 2.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,所以3∶2=6∶m, 所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0, 由两条平行直线间的距离公式可得 d===. 3.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则(　　) A.a=6,d= B.a=-6,d= C.a=-6,d= D.a=6,d= 答案　D 解析　根据两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0, 可得=≠,可得a=6. 可得两条平行直线为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0, 故它们间的距离d==. 4.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离不大于,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,4] B.[-16,4] C.[-4,16] D.[4,16] 答案　B 解析　直线2x+y-3=0化为4x+2y-6=0, 则两直线之间的距离d=≤, 即|a+6|≤10,解得-16≤a≤4,故选B. 5.(多选)若两条平行直线l1:x-2y+m=0与l2:2x+ny-6=0之间的距离是2,则m+n的可能值为(　　) A.3 B.-17 C.-3 D.17 答案　AB 解析　由题意,n≠0,-=, 所以n=-4, 所以l2:2x-4y-6=0,即x-2y-3=0, 由两平行直线间的距离公式得 =2, 解得m=7或m=-13, 所以m+n=3或m+n=-17. 6.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为(　　) A. B. C.或 D.0或 答案　B 解析　∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等, ∴=,∴m=2, ∴直线l1:2x+2y-4-2=0, 即x+y-3=0,∴直线l1与直线l2平行, 则直线l1与直线l2:x+y-1=0间的距离为=. 7.已知正方形的一组对边所在直线的方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在直线的方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|等于(　　) A. B. C. D.6 答案　D 解析　3x+2y+1=0与3x+2y+4=0间的距离d1==, 4x-6y+c1=0与4x-6y+c2=0间的距离 d2==|c1-c2|, 又由正方形特点可知d1=d2, 即=|c1-c2|, 解得|c1-c2|=6. 8.已知P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点,则|PQ|的最小值为　　　　.  答案　 解析　3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0. |PQ|的最小值即为两平行线间距离,为=. 9.若两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为,则C=　　　　.  答案　11或-15 解析　两条平行直线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0,可得A=3, 即两直线方程为6x-4y-2=0,6x-4y+C=0,两平行直线间的距离为, 可得=, 解得C=11或-15. 10.若直线l1:y=kx+1与直线l2关于点(2,3)对称,则直线l2恒过定点　　　　,l1与l2的距离的最大值是　　　　.  答案　(4,5)　4 解析　∵直线l1:y=kx+1经过定点(0,1), 又两直线关于点(2,3)对称, 则两直线经过的定点也关于点(2,3)对称, ∴直线l2恒过定点(4,5), ∴l1与l2的距离的最大值就是两定点之间的距离,即为=4. 11.(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线的方程; (2)求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程. 解　(1)设所求直线的方程为3x+4y+m=0. 由题意知=1, 解得m=3或-7, 所以所求直线的方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0. (2)设所求直线的方程为3x-y+c=0, 由题意,可得点P到直线的距离等于, 即d==, 解得c=9或c=-3, 所以所求直线的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0. 二、综合运用 12.两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),它们分别绕P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间距离的最大值为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 答案　C 解析　当两直线l1,l2与直线PQ垂直时, 两平行直线l1,l2间的最大距离为|PQ|==5. 13.若某直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则该直线的倾斜角大小为　　　　.  答案　15°或75° 解析　由两平行直线的距离公式,可得直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0的距离为 d==, 又直线被两平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2, 即该直线与直线l1所成角为30°, 又直线l1的倾斜角为45°, 则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 14.设直线l1:x-2y-1=0与l2:(3-m)x+my+m2-3m=0. (1)若l1∥l2,求l1,l2之间的距离; (2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程. 解　(1)若l1∥l2,则m≠0且m≠3, ∴=, ∴m=6, ∴l1:x-2y-1=0,l2:x-2y-6=0, ∴l1,l2之间的距离d==. (2)由题意,得, ∴0<m<3, 直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m(3-m)=-+, ∴当m=时,S的最大值为, 此时直线l2的方程为2x+2y-3=0. 三、拓展提高 15.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根,且0≤c≤,d为两直线之间的距离,则d的最大值为　　　　.  答案　1 解析　∵a,b是方程x2+2x+c=0的两个实根,∴a+b=-2,ab=c. 又∵0≤c≤, ∴|a-b|==∈[,2], ∴两条平行直线之间的距离 d=∈,即d的最大值为1. 16.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是. (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件: ①P是第一象限的点; ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的; ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由. 解　(1)l2的方程即为2x-y-=0, ∴l1和l2的距离d==, ∴=.∵a>0,∴a=3. (2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②, 则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0上,且=×, 即c=或c=. ∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0. 若点P满足条件③,由点到直线的距离公式,得=·, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0. ∵点P在第一象限, ∴3x0+2=0不符合题意. 联立方程 解得x0=-3,y0=,应舍去. 联立 解得x0=,y0=. ∴P即为同时满足三个条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $