2.3.3&2.3.4 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

当且仅当=0y-。时，等号成立， 即4x-3y-10=0. !素养演练·提升技能 综上，所求直线1的方程为x=2或4x 故所求最小值为a,此时点P的坐标为 3y-10=0. 1.AB[直线1：y=2x-1可化为2x-y-1 题点二 =0,依题意得2(1十)-(1十3)-1 ( [典例]解(1)由两直线平行得3= 4 81 2.3.3&2.3.4点到直线的距离 5,整理得=1，所以1=1或1=一1.当 5 .直线6x+8y十6=0即为3x+4y十3： t=1时，点A的坐标为(2,4)；当t=一1 公式两条平行直线间的距离 =0. 时，点A的坐标为(0，一2).综上，点A的 必备知识·自主梳理 两平行直线间的距离d=3+12L 坐标为(0，一2)或(2,4)，故远A、B.] (一) /32+4 2.C[A(1,1),C(4,2), 垂线段 AI+Byo+C 15 =3. .AC=/(4-1)2+(2-1)2=√10，直 √A+B 5 线AC的方程为x-3v十2=0. 即时小练 (2)设所求直线方程为3.x -4y十m=0, 根据点到直线的距离公式，可得，点B(n, 1.(1)×(2)×(3)/2.B 由两平行线间的距离公式得 √m)到直线AC的距离d= 3.B[由题意知PQ的最小值为点P到直： 3 线l的距离。即PQ min 32+(-4)2 m-3/m+2 3×(-2)+4×3+3-9 ,故选B] 解得n=16或m=-14 √10 √/9+16 故所求的直线方程为3x一4y+16=0或1 4y-14=0. ∴S= AC·d=m-3vm+2- :对点训练 公垂线段点到直线 IC-C 512，解得 1,A[由两条直线平行可得品=后 √A'+B m=24.即5.x十12y十10=0，由两条平行 .1m<4,∴.1<√n<2, 即时小练 线间的距离公式得d山=一3-10 =1.] 31 1.A2.√5 √52+129 3.-3或1[由两平行直线间的距离公式得！2.BD[由l1∥L,可得2×m=1×4,解得m d= -1-a=2,即a+1=2,∴a= -2,则直线2的方程为4x十2y一4=0， 12+12 即2x十y-2=0,由 n+2_3 -3或a=1. ,即n十 5 5 “当m=号时，△ABC的面积S最大.故 关键能力·合作探究 2=3,解得n=1或n=-5,故mn=2或 选C.] 题点一 mm=-10,故远B、D.] 3.C [设P(n,n),Q(a,b),则PQ [典例]解由2120，得正方形的题点三 2x十y+1=0, =√(m-a)2+(n-b)2 中心的坐标为（一1,0）.设与直线1：x十3y :[典例] 解 依题意，P,Q两点分别在直线L1:3x十4y 5=0平行的边所在直线的方程为L1:x -6=0与l2:3.x+4y-1=0上 +3y十c-0(c≠-5). 则直线11与12平行，所以PQ的最小值 由点（一1,0）到两直线1，l的距离相等， 2 就是两平行直线间的距离d, 得1-5-1-1+c 若k=1,则d1=(1,1),.OA的方程为 y=x,即x一y=0,则点P到直线OA的距 又d= 12+32√12+3 1-6-(-1)=1,所以 √/3+4 解得c=7或c=一5（舍去）， 离为 2 √2 .l1:x+3y+7=0. √(m一a)十(n一b)的最小值为1，故 2 2 又正方形另两边所在直线均与【垂直， ,∴.设另两边所在直线的方程分别为3x一y 4.BC[点M(5,0)到直线y=x十1的距离 +a=0,3x一y+b=0(a≠b). ..OM 2 2 =√2 ·正方形的中心到四条边所在直线的距 d-6v2 =3√2>4，故A不符合题意；点 (2)直线)A的方程为kx一y=0,.点 2 离相等， P(2,1)到直线OA的距离d= 2k-1 M(5,0)到直线y=2的距离d=2<4,故B -3+a -3+b √k+1 符合题意：点M(5,0)到直线y= /32+(-1)2 W/32+(-1)9 子x的距 -1-5 .OM= (2k-1)2 k2十1 4X5 /12+3 3 1 (2k-1)2 离d= =4,故C符合题意； 解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴.另两边所在直线的方程分别为3x一y十 ·△OMP的面积为2X√ 2+1 9=0,3.x-y-3=0. 2k-1= ,·正方形其他三边所在直线的方程分别 /k2+1 解得=号或6=2 -(告) 5 点M(5,0)到直线y=2x十1的距离d= 为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3.x-y-3:对点训练 2×5+1 1.A 由题意知，点M在直线L1与l2之间 115>4,故D不符合题意.] =0 W1+22 5 对点训练 且与两直线距离相等的直线上，设该直线！5.解(1)由题意知直线1的斜率为1，所求 解由x-3y-4=0, 2 的方程为x十y十c=0(c≠一7且c≠ 直线方程为y-1=x十2，即x一y十3=0. 解得 2 即 14x+3y-6=0, 一5)，则+1-+5，即c=一6，所以 (2)由直线m与直线1平行，可设直线m √2 的方程为x一y十c=0,由点到直线的距离 直线1过点B2,-3 2 点M在直线x十v一6=0上，所以点M到 原点的距离的最小值就是原，点到直线x十 公式得 -2-1+c=2,即c-3=2, √2 ①当1与x轴垂直时，方程为x=2,点 y-6=0的距离，即6=3故 解得c=1或c=5. A(一3,1)到1的距离d=-3-2=5,满 ② 足题意， 所以所求直线m的方程为x一y十1=0或 ②当I与x轴不垂直时，设斜率为k， 2.解设直线2的方程为y=一x十b(b> y十5=0. 则1的方程为y十三=k(x一2)， 1),则A(1,0),D(0,1),B(b,0),C(0,b), 2.4.1 圆的标准方程 所以AD=√2，BC-√2b.梯形ABCD的高 2 即kx-y-2k-3 必备知识·自主梳理 =0, h就是，点A到直线I。的距离，故h= 由点A到1的距离为5，得 1+0-b=b-1=二1(b>1),由梯 √2 √2 √2 定长圆心半径圆心半径(x一 -3k-1-2k-3 a)2十(y-b)2=r2(r>0》 =5,解得=3， 4 形的面积公式得巨，画×行=4，化简即时小练 2. √2 √/k2+(-1) 8 ∴l的方程为3x一一3 3=0, 2 得公9所以6-故直线的方鞋是2日南侣的新分智如国心为1， x十y-3=0. 一5)，半径为.故选B.] 201第二章直线和圆的方程 5.已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC: 上求一点P,使|PA2+PB|2+|PC2最小， 课堂小结 并求此最小值. 重要思想与方法 (1)利用两点间距离公式|PP2=√(x2-x1)2+(y2一y1) 可以解决平面几何问题。 (2)本课时应用的思想方法是数形结合与坐标法， 两点间的 两点间的距离公式 距离公式 坐标法解决平面几何问题 温馨提示 请做课时分层检测（十五） 2.3.3&2.3.4 点到直线的距离公式两条平行直线间的距离 【课标要求】1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程.2.掌握点到直线的距离 公式，并能灵活应用.3.理解两条平行线间的距离公式的推导.4.会求点到直线的距离与两平行直线 间的距离. 【素养要求】1.通过研究点到直线的距离公式，发展数学运算与逻辑推理素养.2.通过研究两平行线 间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)点到直线的距离公式 3.已知点P(-2,3),点Q是直线1：3x+4y十3= 点P到直线1的距离，就是从点P到直线1的 0上的动点，则|PQ的最小值为 () 定义 PQ的长度，其中Q是垂足 A.2 R号 点P(x0yo)到直线1：Ax+By十C=0(A,B不同 公式 时为0)的距离d= C.5 D.5 4.若第二象限内的点P(m,1)到直线x十y十1=0 即时小练 的距离为√2，则m的值为 1.判断正误 (二)两条平行直线间的距离 (1)当点P(x0yo)在直线I:Ax十By+C=0上 时，点到直线的距离公式不适用了. ( 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线 定义 (2)点P(xo,yo)到直线y=k.x十b的距离为 间的 的长 Ikxo+b ( √W1十k2 求法两条平行直线间的距离转化为 的距离 (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值 是点到直线的距离： ( 两条平行直线Ax十By+C1=0与Ax+By十C2 2.点(0,5)到直线y=2x的距离是 ( 公式 0(A,B不同时为0)间的距离为d A.2 B.5 c D. 2 57 数学 选择性必修第一册 即时小练 :2.直线2x一y十1=0与2x一y十6=0之间的距离 为 1.两平行直线x十y+2=0与x十y-3=0的距离 等于 ( ):3.已知直线l1:x+y-1=0,l2:x十y十a=0,且两 R号 C.52 D.√2 直线间的距离为√2，则a= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一点到直线的距离公式及应用 题点二两条平行直线间的距离公式及应用 [典例]已知正方形中心的坐标为直线2x-y+:[典例](1)求两条平行直线3.x十4y一12=0与 2=0,x十y十1=0的交点，正方形一边所在直 m.x十8y十6=0之间的距离； 线1的方程为x+3y一5=0，求正方形其他三边 (2)求到直线3x-4y+1=0的距离为3，且与 所在直线的方程。 此直线平行的直线的方程. [听课记录] [听课记录] /方法技巧/ 计算点到直线的距离的步骤 整理 将直线方程化为一般式，即Ax十By十C=0 将点P(x1,y1)的坐标及A,B,C的值代入公式 /方法技巧/ 代入 Ax+By+Cl 两条平行直线间距离的求法 d= √A2+B (1)当直线的方程为一般式时，可利用两条平 计算 得到d的值 行直线间的距离公式，其步骤如下： 对点训练 整理 将两条直线的方程化为x,y的系数对应相等的 一般式，即l1:Ax+By+C1=0,L2:Ax+By+C20 求经过两直线11：x-3y一4=0与l2:4x+3y一 ICz-Cl 代入 将A,B,C1,C2代入公式d VAB 6=0的交点，且与点A(一3,1)的距离为5的直： 计算得到d的值 线1的方程. 解题时必须注意两直线方程中x,y的系数对 应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代 入公式 (2)当直线的方程为斜截式时，l1:y=kx十b1, :y=kx+b2,且b1≠b2,则d=|61-be √R2+1 (3)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转 化为点到直线的距离， 58 第二章直线和圆的方程 /方法技巧/ 对点训练 距离公式综合应用的三种常用类型 1.已知直线5.x+12y-3=0与直线10.x十my十 (1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的 20=0平行，则它们之间的距离是 ( 距离问题. A.1 B.2 c D.4 ②利用所求式子的几何意义转化为点到直线 的距离 2.(多选)已知直线l1:2x十y十n=0,l2:4x十my: ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数 40互相平行，且4,2之间的距离为 的最值问题，通过配方求最值. (2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数 则mn可能的值为 ( 的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. A.1 B.2 C.-5 D.-10 (3)求方程的问题：立足确定直线的几何要 题点三 距离公式的综合应用 素一点和方向，利用直线方程的各种形式， 结合直线的位置关系（平行直线系、垂直直线 [典例门如图，射线OA所在直线 系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基 的方向向量为d1=(1,k)(k> 础上借助三种距离公式求解。 0),点P在∠AOx内，PM⊥OA 于点M 对点训练 1)若=1，P(受)：求OM的值： 1.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1: (2)若P(2,1),△OMP的面积是号，求女的值， x十y-7=0和l2:x十y-5=0上移动，则AB 的中点M到原点的距离的最小值为 [听课记录] A.3√2 B.25 C.3√3 D.42 2.如图，已知直线11：x十y一1= 0,现将直线1向上平移到直 线12的位置，若12,11和两坐 D 标轴围成的梯形ABCD的面 积为4，求直线12的方程. 59 数学选择性必修第一册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1: (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离 的距离为号则点A的坐标可以是 为√2，求直线m的方程. A.(0,-2) B.(2,4) C.(0,2) D.(1,1) 中 4),C(4,2),当△ABC的面积S最大时，m的 值为 ( ) A.号 B号 c n号 3.已知m,n,a,b∈R,且满足3m+4n=6,3a+4b 课堂小结 =1,则√/(m-a)2十(n一b)2的最小值为 重要思想与方法 ( (1)点P(x,yo)到直线Ax+By+C=0距离为 A.3 B.√2 C.1 n d IAxo+Byo+Cl 4.(多选)已知平面上一点M(5,0),若一条直线上 √A2+B2 (2)两平行直线Ax十By十C1=0,Ax十By+C2=0间的距 存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型！ 直线”.下列直线中是“切割型直线”的是( 离4=lC-Cl √A2+B A.y=x+1 B.y=2 C-= 点到直线的距离 两平行直线间的距离 D.y=2.x+1 5.已知直线l经过点P(-2,1),且与直线x十y=0 定义公式应用 定义公式应用 垂直 (1)求直线1的方程； 温馨提示 请做课时分层检测（十六） 2.4.1 圆的标准方程 【课标要求】1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探素并掌握圆的标准方程.2.会根据 已知条件求圆的标准方程。 【素养要求】通过探索圆的标准方程并运用方程解决问题，培养数学抽象及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)圆的标准方程 即时小练 圆的定义 平面内到一定点的距离等于的点的集 合是圆，定点是，定长是圆的 :1.判断正误 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. 基本要素 确定一个圆的基本要素是和 ( (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( ) 圆的标 圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方 准方程 程是 (3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1， 2),半径是4. 60