精品解析：湖南邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高一下学期第三次诊断性测试数学试卷

2026年上学期高一第三次诊断性测试 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，即，移项整理得, ，所以， 故的虚部为1. 2. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式计算可得答案. 【详解】由， 得， 又， . 3. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 4. 在中，角所对的边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由余弦定理可得：， 因为，所以，则. 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，且当时，， 可得. 6. 冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设半球半径为，圆锥母线长为，由 ，得， 又 ，故， 所以所用塑料的面积至少为 7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可． 【详解】如图， 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ， 所以 ，即，故， 由图象可得，所以，则， 又 ，所以 ，则， 又，所以． 8. 在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析过，，三点的球体积最小时，球心为正三角形的中心，再求出球心到截面的距离，利用求截面圆半径即可得解. 【详解】由题意，是边长为4的正三角形，设过，，三点的球心为，半径为， 则球中过，，三点的截面圆圆心为的中心，截面圆的半径. 设球心到截面圆的距离为，则，要使球的体积最小，则最小， 当时，有最小值为，此时、重合，即球心为的中心， 如图，作出符合题意的图形， 设为正方形的中心，为的中点， 连接、、、，过作，交于点N， 则为正四棱锥的高，， 由知，平面，且， 即球心到截面的距离为， 所以截面圆的半径为， 所以球被平面所截截面的面积为. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据的分位数是 B. 数据的方差是，则的标准差是 C. 若与是任意两个事件，则 D. 若事件与互斥，且，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，所以数据的分位数是，A正确； 设数据，，，的均值为，方差为，记， 则，， 故的标准差是3，B不正确； 若与是任意两个事件，，则，C正确； 因为事件与互斥，且，，所以，D正确. 10. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则边上的中线长为 B. 在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C. 若，则面积的最大值为 D. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，对其两边同时平方，利用向量数量积的定义及运算律求解判断A正确；根据诱导公式和正弦函数单调性可知B正确；利用面积法和基本不等式可求得C错误；根据作圆法可知D正确； 【详解】对于A，设的中点为，所以， 两边取平方得， 则，故A正确. 对于B，为钝角三角形，为锐角，，， ，B正确； 对于C，由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，则，当且仅当“”时取等， 则面积为， 所以面积的最大值为，故C错误； 对于D，如图，若有两解，则，，D正确. 11. 正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A. 的最大值为 B. 当为内部的点，，， 则 C. 点在线段上时， D. 若，则点轨迹长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项ACD利用平面向量的坐标表示可以简化问题，让问题快速解答；对于选项B要综合利用平面向量共线定理及平面向量基本定理，得到的关系，从而求解问题. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，那么 对于A选项，，设，，， 由得，， 所以，即，， 故当时，取得最大值，最大值为，故A选项正确； 对于B选项，设与相交于，则由， 设与相交于，则由可得， 因，，三点共线，故存在实数， 使， 因C，P，N三点共线，故存在实数n， 使得， 所以，解得， 由于， 所以，，所以，B选项正确. 对于C选项，点在线段上时，设，， ，故C选项错误； 对于D选项，由A选项知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为， 所以，D选项错误. 故选：AB 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件相互独立，且，，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为相互独立，所以、也相互独立，又，， 所以. 13. 在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 【答案】28 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可. 【详解】 以为坐标原点，，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 则. 则. 所以. 当时，取得最小值28. 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点，结合条件和余弦定理求出，然后将代入函数解析式即可得出答案. 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴，轴的垂线相交于点， 连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的周期，所以， 由勾股定理得，解得， 由图知，的图象过点，且在递减区间内， 所以即， 因为，点在递减区间内，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了解高一年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图. （1）求的值及这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （2）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率. 【答案】（1），中位数为100，平均数101 （2） 【解析】 【分析】（1）使用频率分布直方图中中位数，平均数的定义计算； （2）使用分层抽样的定义与古典概型概率公式求解. 【小问1详解】 由，解得. 由图知，在区间，，，，的频率分别为0.05，0.25，0.4，0.2，0.1， 因为，， 所以中位数位于区间内，设中位数为， 则有，解得中位数分， 这500名同学数学成绩的平均数为分. 【小问2详解】 由区间的人数为人， 区间的人数为：人， 人数比为1：2，所以在区间应抽取2人，设为，， 在区间应抽取4人，设为，，，， 设事件“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间”， 由样本空间，得， 由事件，得， 所以. 16. 如图①，平面四边形由两个三角形拼接而成，其中，，，现以为轴将向上折起至位置，连结得到如图②的三棱锥是的中点，是的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在（2）条件下，若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 如图②取的中点，连结 是中点，是中点， 在中，由中位线定理得， 又平面平面 平面. 又是中点，是中点， ，又，故在中，得， 又平面平面 平面 由平面平面， 平面平面，又平面， 平面. （2） 如图④，在平面中，过作，为垂足， 平面平面，平面，，平面平面， 平面， 又平面，已知， 又平面平面， 平面，又由平面， . （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线以及比例可证明线线平行，进而可得线面平行以及面面平行，即可根据面面平行的性质求解， （2）根据面面垂直的性质得线面垂直，即可根据线线垂直求证平面得解， （3）利用等体积法求解长度，即可由比例以及体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，又已知，，是面内两相交直线， 面，即为三棱锥的的高，设点到面的高为， 则由得 ，解得， 又由知点到面的高为， 又， . 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）（ⅰ）由，利用正弦定理得到，再根据AD平分，由求得b，c，再利用余弦定理求解； （ⅱ）由和得到，利用“1”的代换，得到的最小值，再由余弦定理，得到的最小值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为，由正弦定理得：， 因为AD平分， 所以， 因为， 所以， 将代入上式得，解得，， 由余弦定理得，解得. （ⅱ）由， 得， 将代入上式得，即，即， 则， 当且仅当时，等号成立，则的最小值为8； 由余弦定理得， ， 令，则， 因为 ，当时，的最小值为， 则的最小值为， 所以周长的最小值为. 18. 如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为，，则，即． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． （2）； （3）存在，为的中点. 【解析】 【分析】（1）利用平行线推导出线线垂直，再结合两个平面垂直的性质，直接证出线面垂直； （2）先构造直三棱柱，利用面面垂直推导出底面，找出线面角，分别求出的长度，最后求出余弦值； （3）线段在底面上的投影为，通过线面垂直得到点的投影在底面的位置，进而推导出为线段的中点, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，取中点，连接. 由得平面，因为，所以平面，平面， 又因为，所以四边形均为矩形， 所以多面体为直三棱柱， 因为为等边三角形，平面平面， 所以平面平面，为等边三角形，即， 因为为的中点，平面平面，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 因为，所以， 所以， 即，所以直线与平面夹角余弦值为. 【小问3详解】 存在，为线段的中点. 取中点，连接，设点在底面的投影为，连接， 由（2）可知，直线在底面上的投影为直线，所以点在线段上. 假设 ，所以平面，即， 在正方形中，当时，为对角线的交点， 即为线段的中点，所以为线段的中点 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ． （1）若，求的值； （2）求证：与的面积相等； （3）设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围． 【答案】（1） （2） 与面积相等首先证明所有为定值： 因此， ， 所以， 故， 三角形面积公式：， 因此：, , 故面积相等，得证. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）代入已知角度到旋转变换公式，得出新向量的坐标，并利用数量积的坐标公式完成计算； （2）结合同角平方关系证得所有向量模长相等，再由向量运算得相邻向量夹角恒为，代入三角形面积公式即可推得面积相等； （3）先由向量加减运算表示出，利用前问结论代入模长与数量积，将恒成立不等式平方后整理为关于的一次函数，最后借助一次函数在区间内恒非负的端点效应转化为关于的不等式组并求解； 【小问1详解】 因为，所以，， 所以 ，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， 不等式等价于， 代入得：， 整理化简得：， 因为，故， 上式是关于的一次函数， 一次函数在恒非负只需端点满足：恒成立； ，解得， 因此存在满足条件的，取值范围为或. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一第三次诊断性测试 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 在中，角所对的边分别为，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据的分位数是 B. 数据的方差是，则的标准差是 C. 若与是任意两个事件，则 D. 若事件与互斥，且，，则 10. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则边上的中线长为 B. 在钝角△ABC中，A，B为锐角，则不等式恒成立 C. 若，则面积的最大值为 D. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 11. 正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A. 的最大值为 B. 当为内部的点，，， 则 C. 点在线段上时， D. 若，则点轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件相互独立，且，，则________. 13. 在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 14. 如图绘制有函数的部分图象，图象与y轴的交点为，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了解高一年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图. （1）求的值及这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （2）现拟在区间，用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求选取的2人均位于区间的概率. 16. 如图①，平面四边形由两个三角形拼接而成，其中，，，现以为轴将向上折起至位置，连结得到如图②的三棱锥是的中点，是的中点，在上，且． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求证：； （3）在（2）条件下，若，求三棱锥的体积． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A． （2）已知AD平分且交BC于点D，． （ⅰ）若，求a； （ⅱ）求周长的最小值． 18. 如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ． （1）若，求的值； （2）求证：与的面积相等； （3）设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $